1、 2020 届高三数学（理）“大题精练”1 17已知 n S为数列 n a的前 n 项和，且满足 41 33 nn Sa 1求数列 n a的通项； 2令 11 2 nn blog a ，证明： 1 22 33 4111 1111 nnn n bbb bb bb bbb 18互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机 Smartphone技术不断成熟，价 格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具.中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个 群体之一.逐渐地， 越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们 的生活更便捷的同时会带来些问题， 同学们为了解手机在中学生中的使用情况，
2、对本校高二 年级 100 名同学使用手机的情况进行调查.针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐 活动的时间”进行分组整理得到如图 4 的饼图、(注：图中(1,i i 2，7)(单位：小时)代表 分组为1,ii 的情况) 1求饼图中 a 的值； 2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替， 试估计样本中的 100 名学生每天 平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论) 3从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机 进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由 19如图，已知在四棱锥 SAFCD 中，平面 SCD平面
3、AFCD，DAFADC90 ， AD1，AF2DC4， 2SCSD ，B，E 分别为 AF，SA 的中点 （1）求证：平面 BDE平面 SCF （2）求二面角 ASCB 的余弦值 20过抛物线外一点 M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点 M 对应的切点弦已知 抛物线为 2 4xy，点 P，Q 在直线 l：1y 上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为 AB， CD 1当点 P 在 l 上移动时，直线 AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果 没有，请说明理由 2当ABCD时，点 P，Q 在什么位置时，PQ取得最小值？ 21已知函数 1a f xalnxaR x ， （1）讨
4、论 f（x）的单调性； （2）证明：当1a0 时，f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0随着 a 的增大而增大 22已知曲线 E 的参数方程为 2 ( 3 xcos ysin 为参数)，以直角坐标系 xOy 的原点 O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1求曲线 E 的直角坐标方程； 2设点 A 是曲线 E 上任意一点，点 A 和另外三点构成矩形 ABCD，其中 AB，AD 分别与 x 轴，y 轴平行，点 C 的坐标为3,2，求矩形 ABCD 周长的取值范围 23 1解不等式2x 1x23 ； 2设 a，b，c0且不全相等， 若abc1， 证明： 222 abcbcacab6 202
5、0 届高三数学（理）“大题精练”1（答案解析） 17已知 n S为数列 n a的前 n 项和，且满足 41 33 nn Sa 1求数列 n a的通项； 2令 11 2 nn blog a ，证明： 1 22 33 4111 1111 nnn n bbb bb bb bbb 解： 41 1 33 nn Sa， 可得 111 41 33 aSa，解得 1 1a ， 2n时， 11 4141 3333 nnnnn aSSaa ， 即有 1 1 4 nn aa ，故数列 n a是以 1 1a 为首项，以 1 4 为公比的等比数列， 则 1 1 ( ) 4 n n a ； 2证明： 2 111 22 1
6、 ( )2 2 n nn blog alogn ， 1 111 11 22141 nn b bnnnn ， 1 22 31 111111111 1 42231 n n bbb bb bnn 11 1 4141 n nn ， 11 2 2141 n nnn bbnn ， 则 1 22 33 4111 1111 nnn n bbb bb bb bbb 18互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机 Smartphone技术不断成熟，价 格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具.中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个 群体之一.逐渐地， 越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让
7、我们 的生活更便捷的同时会带来些问题， 同学们为了解手机在中学生中的使用情况， 对本校高二 年级 100 名同学使用手机的情况进行调查.针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐 活动的时间”进行分组整理得到如图 4 的饼图、(注：图中(1,i i 2，7)(单位：小时)代表 分组为1,ii 的情况) 1求饼图中 a 的值； 2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替， 试估计样本中的 100 名学生每天 平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论) 3从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机 进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率
8、；若不能，请说明理由 解： 1由饼图得：16%9%27% 12% 14%3%29%a 2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替， 估计样本中的 100 名学生每天平 均使用手机的平均时间在第 4 组 3样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机 进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，若抽取的同学是高二年级的学生， 则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48， 若抽到高一、 高三 的同学则不能估计 19如图，已知在四棱锥 SAFCD 中，平面 SCD平面 AFCD，DAFADC90 ， AD1，AF2DC4， 2SCSD
9、，B，E 分别为 AF，SA 的中点 （1）求证：平面 BDE平面 SCF （2）求二面角 ASCB 的余弦值 （1）证明：DAFADC90 ，DCAF， 又 B 为 AF 的中点，四边形 BFCD 是平行四边形，CFBD， BD平面 BDE，CF平面 BDE， CF平面 BDE， B，E 分别是 AF，SA 的中点，SFBE， BE平面 BDE，SF平面 BDE， SF平面 BDE， 又 CFSFF，平面 BDE平面 SCF （2）取 CD 的中点 O，连结 SO， SCD 是等腰三角形，O 是 CD 中点，SOCD， 又平面 SCD平面 AFCD，平面 SCD平面 AFCDCD， SO平面
10、 AFCD，取 AB 的中点 H，连结 OH， 由题设知四边形 ABCD 是矩形，OHCD，SOOH， 以 O 为原点，OH 为 x 轴，OC 为 y 轴，OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（1，1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1）， CA（1，2，0），CS （0，1，1），CB （1，0，0）， 设平面 ASC 的法向量m （x，y，z）， 则 20 0 m CAxy m CSyz ，取 y1，得m （2，1，1）， 设平面 BSC 的法向量n （x，y，z）， 则 0 0 n CBx n CSyz ，取 y1，得n （0，1，1）， cos 23 3
11、62 m n mn m n ， ， 由图知二面角 ASCB 的平面角为锐角， 二面角 ASCB 的余弦值为 3 3 20过抛物线外一点 M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点 M 对应的切点弦已知 抛物线为 2 4xy，点 P，Q 在直线 l：1y 上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为 AB， CD 1当点 P 在 l 上移动时，直线 AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果 没有，请说明理由 2当ABCD时，点 P，Q 在什么位置时，PQ取得最小值？ 解： 1设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 0, 1 P x ， 则 2 11 4xy， 2 22 4xy，
12、抛物线的方程可变形为 2 1 4 yx，则 2 x y ， 直线 PA 的斜率为 0 1 | 2 PAx x x ky ， 直线 PA 的方程 1 11 2 x yyxx，化简 11 2x xyy， 同理可得直线 PB 的方程为 22 2x xyy， 由 0, 1 P x 可得 0 11 x21 022 21 xy x xy ， 直线 AB 的方程为 0 21x xy，则 0 1 x y 是方程的解， 直线 AB 经过定点0,1 2设, 1 P P x，, 1 Q Q x， 由 1可知 2 P AB x k， 2 Q CD x k， ABCD， 1 4 PQ ABCD x x kk ，即 4
13、PQ x x ， P x， Q x异号， 不妨设0 P x ，则0 Q x ，且 4 Q P x x ， 4 4 PQPQP P PQxxxxx x ，当且仅当2 P x ，2 Q x 时取等号， 即当2, 1P ，2, 1Q 时，PQ取得最小值 4 21已知函数 1a f xalnxaR x ， （1）讨论 f（x）的单调性； （2）证明：当1a0 时，f（x）存在唯一的零点 x0，且 x0随着 a 的增大而增大 解：（1）f（x）的定义域为（0，+）； 22 11 axaaa f x xxx ； 当 a0 时， 2 1 0f x x ，则 f（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0 时，
14、2 1 a a x a f x x ，而 1 0 a a ； 则 f（x）在 1 0 a a ，上单调递减，在 1a a ，上单调递增； 当1a0 时，f（x）0，则 f（x）在（0，+）上单调递减； 当 a1 时，f（x）在 1 0 a a ，上单调递增，在 1a a ，上单调递减； 综上，当 a1 时，f（x）在 1 0 a a ，上单调递增，在 1a a ，上单调递减； 当1a0 时，f（x）0，则 f（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0 时，f（x）在 1 0 a a ，上单调递减，在 1a a ，上单调递增； （2）由（1）得当1a0 时，f（x）在（0，+）上单调递减； f（x
15、）至多有一个零点； 又1a0； 1 1 a ，f（1）a+10， 1 1faalna a ； 令 g（x）x1lnx，则 11 1 x g x xx ； g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增； g（x）g（1）0，即 x1lnx0，当且仅当 x1 时取等号； 1 10faalna a ； f（x）存在唯一得零点 0 1 1x a ，； 由 f（x0）0，得 0 0 1 0 a alnx x ，即 0 00 11 a lnx xx ； x0（1，+）， 0 0 1 0lnx x ； 0 0 0 1 1 x a lnx x ，即 a 是 x0的函数； 设 1 1 x h x ln
16、x x ，x（1，+），则 22 1 0 1 () lnx h x x lnx x ； h（x）为（1，+）上的增函数； a随 0 x增大而增大，反之亦成立. x0随着 a 的增大而增大 22已知曲线 E 的参数方程为 2 ( 3 xcos ysin 为参数)，以直角坐标系 xOy 的原点 O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1求曲线 E 的直角坐标方程； 2设点 A 是曲线 E 上任意一点，点 A 和另外三点构成矩形 ABCD，其中 AB，AD 分别与 x 轴，y 轴平行，点 C 的坐标为3,2，求矩形 ABCD 周长的取值范围 解： 1曲线 E 的参数方程为 2 ( 3 xco
17、s ysin 为参数)， 转换为直角坐标方程为： 22 1 43 xy 2设点 A 的坐标为2, 3cossin，3, 3Bsin，2,2Dcos， 所以；3232ABcoscos ，2323ADsinsin， 2102 7lABADsin， 所以矩形的周长的取值范围为102 7,102 7 . 23 1解不等式2x 1x23 ； 2设 a，b，c0且不全相等， 若abc1， 证明： 222 abcbcacab6 解： 1原不等式等价于 x2 2x 1x23 或 1 2 2 2123 x xx 或 1 2 2123 x xx ， 解得：x2 或2x0 或 2 x 3 ， 故原不等式的解集是 2 ,0, 3 ； 2证明： 22 bc2bc，c0，abc1， 22 a bc2abc2， 同理 22 b ca2abc2， 22 c ab2abc2， 又 a，b，c0且不全相等， 故上述三式至少有 1 个不取“”， 故 222 abcbcacab 222222 a ba cb cb ac ac b 222222 a bcb cac ab6
