1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”2 17.已知等比数列 n a的各项均为正数， n S为等比数列 n a的前n项和，若 2 2 3 a ， 346 2a aa. (1) n St恒成立，求t的最小值； (2)设 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n T. 18.为迎接 2022 年北京冬季奥运会， 普及冬奥知识， 某校开展了“冰 雪答题王”冬奥知识竞赛活动现从参加冬奥知识竞赛活动的学生 中随机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分 为 6 组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100， 得到如图所示的频
2、率分布直方图 （1）求a的值； （2）估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ； （3）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀”，比赛成绩低于 80 分为“非优秀”请 将下面的 2 2 列联表补充完整，并判断是否有 99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计 100 参考公式及数据： 2 2 () , ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd 2 0 ()P KK 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 K 2.
3、706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.如图， 在三棱锥PABC中，2 2 ABBC ，4PAPBPCAC， O为AC的中点 （1）证明：PO 平面ABC ； （2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离 20.已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左右顶点分别为 ,0Aa，,0B a， 点P是椭圆C上异于A、 B的任意一点，设直线PA，PB的斜率分别为 1 k、 2 k，且 12 1 3 k k ，椭圆的焦距长为 4. （1）求椭圆C的离心率； （2）过右焦点F且倾斜角为30的直线l交椭圆C于M、N两点，分别记ABM，ABN
4、的面积 为 1 S、 2 S，求 12 SS的值. 21在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 22 12 xt yt （t为参数） ，以原点O为极点，以x轴正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2cos 4 . （1）判断曲线 1 C与曲线 2 C的位置关系； （2）设点,M x y为曲线 2 C上任意一点，求2xy的最大值. 22已知实数正数 x, y 满足1xy （1）解关于 x 的不等式 5 2 2 xyxy； （2）证明： 22 11 119 xy 2020 届高三数学（文） “大题精练”2（答案解析） 17.已知等比数列 n a的各项均为正数， n S为
5、等比数列 n a的前n项和，若 2 2 3 a ， 346 2a aa. (1) n St恒成立，求t的最小值； (2)设 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n T. 【解】(1)因为 n a为等比数列，所以 3416 a aa a，所以 34166 2a aa aa， 6 0a ，所以 1 2a ， 又 2 2 3 a ，所以 1 3 q ，所以 1 2 1 3 1 3 13 1 3 1 3 n n n S ， 因为 n St恒成立，所以3t ，即t的最小值是 3. (2)由(1)可知 2 2 1 2 3 n n n aaq ，所以 1 3 2 n n n b ， 故 011
6、1 3233 222 n n n T 1 12 131 32 33 3 2222 n n n nn T -得： 011 1 3333 2 2222 nn n n T ， 1 0 3 1 3 1 313 221 32 n n n 整理得， 21 31 8 n n n T 18.为迎接 2022 年北京冬季奥运会， 普及冬奥知识， 某校开展了“冰 雪答题王”冬奥知识竞赛活动现从参加冬奥知识竞赛活动的学生 中随机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分 为 6 组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100， 得到如图所示的频率分布直方
7、图 （1）求a的值； （2）估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ； （3）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀”，比赛成绩低于 80 分为“非优秀”请 将下面的 2 2 列联表补充完整，并判断是否有 99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计 100 参考公式及数据： 2 2 () , ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd 2 0 ()P KK 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 K 2.706 3
8、.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解】 （1）由题可得0.0050.0100.0200.0300.010101a ，解得0.025a （2）平均成绩为：45 0.05 55 0.1 65 0.275 0.3 85 0.25 95 0.174 （3）由（2）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有100 0.3535人，由此可得完整的22列 联表： 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 女生 25 25 50 合计 35 65 100 2 K 的观测值 2 10010 2525 40900 9.89010.828 35 65 50 5091 k ， 没有99
9、.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关” 19.如图， 在三棱锥PABC中，2 2 ABBC ，4PAPBPCAC， O为AC的中点 （1）证明：PO 平面ABC ； （2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离 【解】 （1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP=2 3 连结 OB因为 AB=BC= 2 2 AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB= 1 2 AC=2 由 222 OPOBPB知，OPOB由 OPOB，OPAC 知 PO平面 ABC （2）作 CHOM，垂足为 H又由（1）可得 OPCH，所以 CH平
10、面 POM 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离 由题设可知 OC= 1 2 AC=2，CM= 2 3 BC= 4 2 3 ，ACB=45 所以 OM= 2 5 3 ，CH= sinOC MCACB OM = 4 5 5 所以点 C 到平面 POM 的距离为 4 5 5 20.已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左右顶点分别为 ,0Aa，,0B a， 点P是椭圆C上异于A、 B的任意一点，设直线PA，PB的斜率分别为 1 k、 2 k，且 12 1 3 k k ，椭圆的焦距长为 4. （1）求椭圆C的离心率； （2）过右焦点F且倾斜角为30的直线l交椭圆C于M、N两点
11、，分别记ABM，ABN的面积 为 1 S、 2 S，求 12 SS的值. 【解】 （1）设点 000 ,P x yxa ，则 22 00 22 1 xy ab ， 2 000 12 22 000 1 3 yyy kk xa xaxa ， 联立得 2222 0 30baxa， 22 0 3aabx ， 222 2 22 12 1 33 ab e aa c ， 6 3 e . （2）由题意知，24c ，即2c ，由（1）知， 22 3ab=， 2222 4abcb， 2 2b ， 2 6a ，椭圆C的方程为： 22 1 62 xy ，由已知得l： 3 2 3 yx. 联立 22 3 2 3 1 6
12、2 yx xy ，可得 2 210 xx .设 11 ,M x y， 22 ,N xy，根据韦达定理，得 12 2xx， 于是 121212 134 2 663 233 SSyyxx 2 362 2 3 . 21.在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 22 12 xt yt （t为参数） ，以原点O为极点，以x轴正半 轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2cos 4 . （1）判断曲线 1 C与曲线 2 C的位置关系； （2）设点,M x y为曲线 2 C上任意一点，求2xy的最大值. 【解】 （1）消去t得 1 C的普通方程为10 xy ，由 2cos 4 得2co
13、s2sin， 2 2 cos2 sin，即 22 220 xxyy，化为标准方程为 22 22 1 22 xy ， 即曲线 2 C是以 22 , 22 为圆心，半径为 1 的圆，圆心到直线10 xy 的距离 22 1 22 2 1 22 d ，故曲线 1 C与曲线 2 C相交. （2）由,M x y为曲线 2 C上任意一点，可设 2 cos 2 2 sin 2 x y ， 则 22 22cossin5sin 22 xy，其中tan 2， 2xy的最大值是 2 5 2 . 22.已知实数正数 x, y 满足1xy （1）解关于 x 的不等式 5 2 2 xyxy； （2）证明： 22 11 11
14、9 xy 【解】 （1）1,0,0 xyxy且 01 5 2 5 2221 2 x xyxy xx 01 01 111 2121 222 x x xxxxx ，解得 1 1 6 x，所以不等式的解集为 1 ,1 6 （2）解法 1： 1,xy且0,0 xy， 22 22 2222 11 11 xyxxyy xyxy 22 22 22xyyxyx xy 22 22 22yyxx xxyy 22 5 xy yx 22 259 xy yx . 当且仅当 1 2 xy时，等号成立. 解法 2： 1,xy且0,0 xy ， 22 2222 1111 11 xy xyxy 22 1111xxyy xy 22 11x yy x xy 1xyxy xy 2 1 xy 2 2 19 2 xy ， 当且仅当 1 2 xy时，等号成立.
