1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”3 17 （本小题满分 12 分） 记首项为 1 的数列 n a的前n项和为 n S，且 1 2 331 nn nn Sa （1）求证：数列 n a是等比数列； （2）若 2 9 ( 1)log n nn ba ，求数列 n b的前2n项和 18 （本小题满分 12 分） 如图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P，PA平面 ABCD，E、F 分别是 AB、PC 的中点 （1）求证：EF平面 PAD； （2）求证：EFCD； 19 （本小题满分 12 分） 环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试， 以确定它的行车里程的等级， 右表是对 100 辆 新
2、车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果 （）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组； （）用分层抽样的方法从行车里程在区间38，40)与40，42)的新车模型中任取 5 辆，并 从这 5 辆中随机抽取 2 辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在40，42)内的概率 20 （本小题满分 12 分） 记抛物线 2 : 2Cyx 的焦点为F，点M在抛物线上，( 3,1)N ，斜率为k的直线l与抛 物线C交于PQ，两点 （1）求|MNMF的最小值； （2）若( 2,2)M ，直线MPMQ，的斜率都存在，且 20 MPMQ kk ；探究：直线l是 否过定点，若是，求出定
3、点坐标；若不是，请说明理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 ( )(1)2, 2 x f xxeaxax aR (1)讨论 ( )f x极值点的个数； (2)若 00 (2)x x 是( )f x的一个极值点，且 -2 ( 2)ef ，证明： 0 ()ef ，证明： 0 ()1f x 【解析】 （1） 222 xx fxxeaxaxea 当0a 时，0 x ea，当 , 2x 时， 0fx； 当2,x 时， 0fx， f x在, 2 上单调递减；在2,上单调递增， 2x 为 f x的唯一极小值点，无极大值点，即此时 f x极值点个数为：1个； 当0a 时，令 0fx ，解得：
4、 1 2x ， 2 lnxa， 当 2 ae 时， 12 xx， 1 ,xx 和 2, x 时， 0fx； 12 ,xx x时， 0fx ， f x在 1 ,x， 2, x 上单调递增；在 12 ,x x上单调递减， 1 xx为 f x的极大值点， 2 xx为 f x的极小值点，即 f x极值点个数为：2个； 当 2 ae 时， 12 xx，此时 0fx恒成立且不恒为0， f x在R上单调递增，无极值点，即 f x极值点个数为：0个； 当 2 0ea 时， 12 xx， 2 ,xx 和 1, x 时， 0fx； 21 ,xx x时， 0fx ， f x在 2 ,x， 1, x 上单调递增；在
5、21 ,x x上单调递减， 2 xx为 f x的极大值点， 1 xx为 f x的极小值点，即 f x极值点个数为：2个 综上所述：当 2 ae 时， f x无极值点；当0a 时， f x有1个极值点；当 2 ae 或 2 0ea 时， f x有2个极值点 （2）由（1）知，若 00 2xx 是 f x的一个极值点，则 22 ,0aee ， 又 22 22feae ，即 2 ae ， 2 ,ae ， 0 2x ， 0 lnxa， ln22 0 11 ln1ln2 lnln2ln2 22 a f xaeaaaaaaa ， 令 ln2,ta ，则 t ae ， 2 1 22 2 t g te tt
6、，2,t ， 则 2 11 44 22 tt g te ttt te ， 当2t 时，40t ， 0 t e ，当2,0t 时， 0g t ； 当0,t时， 0g t ， g t在2,0上单调递增； 在0,上单调递减， max 01g tg， 即 1g t ， 0 1f x 22选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程是 tan() 2 yx，曲线 1 C的参数方 程是 cos sin xaa ya （为参数） 在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中， 曲线 2 C的极坐标方程是2 sinb （1）写出l及 1 C的极坐标方程
7、； （2）已知 1 2 a ，1b ，l与 1 C交于,O M两点，l与 2 C交于,O N两点，求 2 2|OMOMON的最大值 【解析】 （1）把cosx，siny代入 tanyx 得 tantan() 2 ， 所以l的极坐标方程是 (,) 2 R， 1 C的普通方程是 22 20 xyax，其极坐标方程是2 cosa （2） 1 C：cos， 2 C：2sin，分别代入 1 C， 2 C得|cosOM ， | 2sinON 所以 22 2| 2cos2cossin1 cos2sin22sin(2 ) 1 4 OMOMON 因为 2 ，所以 73 2 444 ，则当 7 8 时， 3 2
8、42 ，此时 2sin(2 ) 1 4 取得最大值为 21 ，所以 2 2|OMOMON的最大值为 21 23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知函数( ) |3|1|f xxx （）解关于x的不等式( )1f xx ； （）若函数 ( )f x的最大值为M，设0,0ab ，且(1)(1)abM，求ab的最 小值 【解析】 （）由题意 (3)(1),34,3 ( )(3)(1), 3122, 31 (3)(1),14,1 xx xx f xxxxxx xxxx ， 当3x 时，41x，可得5x ，即5x ； 当31x 时，221xx，可得1x ，即11x ； 当1x 时，41x，可得3x ，即13x 综上，不等式( )1f xx 的解集为(, 5 1,3 （）由（）可得函数 ( )f x的最大值 4M ，且14abab ， 即 2 3()() 2 ab abab ，当且仅当ab时“=”成立， 可得 2 (2)16ab，即2ab，因此ab的最小值为 2
