1、数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 数列数列 1 64个格子个格子 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 6 6 7 7 8 8 你想得到 什么样的 赏赐？ 陛下，赏小 人一些麦粒 就可以。 OK 请在第一个格 子放1颗麦粒 请在第二个格 子放2颗麦粒 请在第三个格 子放4颗麦粒 请在第四个格 子放8颗麦粒 依次类推 2 4 5 6 7 8 1 5 6 7 8 1 2 3 3 4 2 64个格子 你认为国王你认为国王 有能力满足有能力满足 上述要求吗上述要求吗 每个格子里的麦粒数都是每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 且共有 64 格子格
2、子 2 21 3 2 63 2 2 0 2 1 2 ? ? 18446744073709551615 3 三角形三角形数数 1, 3, 6, 10, . 正方形数正方形数 1, 4, 9, 16, 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题： 提问：这些数有什么规律吗？提问：这些数有什么规律吗？ 4 上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数： 6332 22221， ， 4 1 3 1 2 1 1 354321， 1，2，3，4的倒数排列成的一列数：的倒数排列成的一列数： 高一（高一（4）班每次考试的
3、名次由小到大排成的一列数：）班每次考试的名次由小到大排成的一列数： -1的的1次幂，次幂，2次幂，次幂，3次幂，次幂，排列成一列数：排列成一列数： 1111， ，1111 无穷多个无穷多个1排列成的一列数：排列成的一列数： 三角形数：三角形数：1，3，6，10， 正方形数：正方形数：1，4，9，16， 5 6332 22221， 354321， 1111， ， 1111 共同特点：共同特点： 1. 都是一列数；都是一列数； 2. 都有一定的顺序都有一定的顺序 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 ， 4 4 1 1 ， 3 3 1 1 ， 2 2 1 1 1，1， 1，3，6，10， 1，4
4、，9，16， 6 定义：按一定顺序排列着的一列数称为定义：按一定顺序排列着的一列数称为 问问1： 数列数列 ，2 ， 改为改为 1 3 ， ， ，35 , 2 ， ， ， ，35 3 3 3 1 请问：是不是同一数列？请问：是不是同一数列？ 问问2: 数列数列 4 4 改为：改为： -1，1，-1，1 1，-1，1，-1， 请问：是不是同一数列？请问：是不是同一数列？ (数列具有数列具有有序性有序性) 7 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 ， 1111 354321， ， 4 1 3 1 2 1 1 6332 22221， 1111， 数列中的每一个数叫数列中的每一个数叫 做这个数列的做
5、这个数列的项项。 各项依次叫做这个数列各项依次叫做这个数列 的的第第1项项，第第2项项， ， 第第n项项， 数列的分类数列的分类 (1)按按项数项数分：分： 项数有限的数列叫项数有限的数列叫有穷数列有穷数列 项数无限的数列叫项数无限的数列叫无穷数列无穷数列 (2)按按项之间的大小项之间的大小关系：关系： 递增数列，递增数列， 递减数列，递减数列， 摆动数列摆动数列， 常数列。常数列。 有穷数列有穷数列 无穷数列无穷数列 有穷数列有穷数列 无穷数列无穷数列 无穷数列无穷数列 递增数列递增数列 递增数列递增数列 递减数列递减数列 摆动数列摆动数列 常数列常数列 8 1 1 2 2 3 3 4 4
6、5 5 数列的一般形式数列的一般形式可以可以 写成：写成： 简记为简记为 ,其中其中 ， n aaaa 321 是数是数 n a n a 第第1项项 第第2项项 第第3项项 第第n项项 的第的第n项项 与项数之间的关系可以用一与项数之间的关系可以用一 个公式来表示，个公式来表示， 1 1 1 1- 1 2, , , , , 2 2 , 1 2 n 63 2 , , 2 1 3 1 n 1 , , 23n , , , ,35 11- n )1- ( , , , , 11 , , , 1 , 1 a 2 a 3 a n a n a 列的第列的第n项。项。 0 2 1 2 1 1 1 2 n )64
7、,( * nNn n 1 n )35,( * nNn 那么这个那么这个 公式就叫做这个数列的公式就叫做这个数列的 通项公式通项公式。 如果数列如果数列 n a 1 2 n n a n 1 n a n n a n )1(- =1 n a )( * Nn )( * Nn )( * Nn 9 三三.数列数列 的表示方的表示方 法法 第第n项项 数列的一般形式数列的一般形式： 或简记为或简记为 . , 321n aaaa n a 与与 的的 区别是什么？区别是什么？ n a n a 表示数列表示数列 ， 而而 只表示这个数列的第只表示这个数列的第n项项. n a , 321n aaaa n a 第第1
8、项项(或首项或首项) 序序号号 1.列举法列举法 10 2 序号序号n 1 2 3 4 20 2 2 3 2 4 2 20 2 项项 n a 2n n a 数列的数列的通项公式通项公式. n a n a 数列数列 的第的第n项项 与与 n 之间的关系之间的关系 (公式公式) 数列可以看作是一个定义域为正整数集数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限（或它的有限 子集子集1，2，n）的函数，那么数列的通项公式也就是相）的函数，那么数列的通项公式也就是相 应函数的解析式应函数的解析式. 1 a 2 a 3 a 2.通项公式法通项公式法 11 1 2 3 4 5 6 7 10 9 8 7
9、6 5 4 3 2 1 y x * 2,20 n n anN n 特点：特点：它们都是一群孤立的点它们都是一群孤立的点. 1 2 3 4 5 6 7 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y x 7,3 * nNnnan且 3.图象法图象法 12 （1） （2） 1 n n an na n n 1 n a 例例1 根据下面数列根据下面数列 的的 通项公式，写出它的前通项公式，写出它的前5项：项： 解：解：（1）在通项公式中依次取 n =1，2， 3，4，5，得到数列 的前5项为 n a . 6 5 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 （2）在通项公式中依次取n=1，2， 3，4
10、，5，那么数列 的前5项为 n a 1，2， 3，4， 5. 13 例例2 写出数列的一个通项公式，写出数列的一个通项公式， 使它的前使它的前4项分别是下列各数：项分别是下列各数： （1）1，3，5，7； 解：此数列的前四项解：此数列的前四项1，3，5，7都都 是序号的是序号的2倍减去倍减去1，所以通项公式，所以通项公式 是：是： 12nan 14 （2） ; 5 15 , 4 14 , 3 13 , 2 12 2222 解：解：此数列的前四项的分母都此数列的前四项的分母都 是序号加是序号加1，分子都是分母的平方减，分子都是分母的平方减 去去1，所以通项公式是：，所以通项公式是： 1 2 1
11、11 2 n nn n n an 15 （3） . 54 1 , 43 1 , 32 1 , 21 1 解：解：此数列的前此数列的前4项的绝对值都等项的绝对值都等 于序号与序号加上于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数的积的倒数，且奇数 项为负，偶数项为正，所以通项公式是：项为负，偶数项为正，所以通项公式是： 1 1 nn a n n 16 观察下面数列的特点，用适当的数填空，并观察下面数列的特点，用适当的数填空，并 写出每个数列的一个通项公式：写出每个数列的一个通项公式： 128), ( ,32,16), ( ,4,2)1( 49), ( ,25,16,9,4), )(2( ) ( , 6 1
12、 , 5 1 - , 4 1 ), ( , 2 1 1,-)3( 7), ( ,5, 2), ( , 2, 1 )4( 864 136 3 1 - 7 1 - 36 17 数列的通项公式唯一吗？是否每数列的通项公式唯一吗？是否每 个数列都有通项公式？个数列都有通项公式？ 基础知识梳理基础知识梳理 【思考【思考 提示】提示】 不唯一，如数不唯一，如数 列列1,1，1,1，的通项公式可的通项公式可 以 为以 为an ( 1)n或或an 1 (n为奇数为奇数) 1 (n为偶数为偶数) ，有的数列没有，有的数列没有 通项公式通项公式 18 1 2 2.5 4 4.5 3 4 5 6 7 a1 a2 a
13、3 a4 a5 1 2 3 4 5 x y n an 通项公式：通项公式：数列数列an的第的第n项项an与与n的关系式的关系式 数列是一种特殊函数！数列是一种特殊函数！ 定义域是 N*(或它的 有限子集) 19 （1）数列）数列an中是一列数，而集合中的元素中是一列数，而集合中的元素 不一定是数；不一定是数； （2） 数列数列an中的数是有一定次序的，而集中的数是有一定次序的，而集 合中的元素没有次序；合中的元素没有次序； （3） 数列数列an中的数可以重复，而集合中的中的数可以重复，而集合中的 元素不能重复。元素不能重复。 思考：数列与集合的概念有何区别 20 问题问题：如果一个数列如果一个
14、数列an的首项的首项a1=1，从第二，从第二 项起每一项等于它的前一项的项起每一项等于它的前一项的2倍再加倍再加1， 即即 an = 2 an-1 + 1（nN，n1），（），（） 你能写出这个数列的前三项吗？你能写出这个数列的前三项吗？ 像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，像上述问题中给出数列的方法叫做递推法， 其中其中an=2an-1+1(n1)称为称为递推公式递推公式。递推公。递推公 式也是数列的一种表示方法。式也是数列的一种表示方法。 21 定义定义 已知数列已知数列an的第一项的第一项(或前几项或前几项)， 且任一项且任一项an与它的前一项与它的前一项an 1(或前几 或前几 项项
15、)间的关系可以用一个公式来表示，间的关系可以用一个公式来表示， 这个公式就叫做这个数列的这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式. 22 递推公式是数列所特有的表示递推公式是数列所特有的表示 法，它包含两个部分，一是递法，它包含两个部分，一是递 推关系，一是初始条件，二者推关系，一是初始条件，二者 缺一不可缺一不可 23 例例1.已知数列已知数列an的第一项是的第一项是1，以后，以后 的各项由公式的各项由公式 讲解范例讲解范例: 1 1 1 n n a a 写出这个数列的前五项写出这个数列的前五项. 给出，给出， 24 例例1.已知数列已知数列an的第一项是的第一项是1，以后，以后 的各项由公
16、式的各项由公式 讲解范例讲解范例: 1 1 1 n n a a 写出这个数列的前五项写出这个数列的前五项. 给出，给出， . 5 8 , 3 5 , 2 3 , 2, 1 25 小结：小结： 则则项之和为项之和为的前的前若记数列若记数列, nn Sna 1)( 2)( 1 1 nS nSS a nn n 26 课堂小结课堂小结 1. 递推公式递推公式的概念；的概念； 27 课堂小结课堂小结 1. 递推公式递推公式的概念；的概念； 2. 递推公式递推公式与数列的与数列的通项公式通项公式的区别是：的区别是： 28 课堂小结课堂小结 1. 递推公式递推公式的概念；的概念； 2. 递推公式递推公式与数
17、列的与数列的通项公式通项公式的区别是：的区别是： (1)通项公式通项公式反映的是反映的是项与项数之间的关系项与项数之间的关系， 而而递推公式递推公式反映的是反映的是相邻两项相邻两项(或或n项项)之之 间的关系间的关系. 29 课堂小结课堂小结 1. 递推公式递推公式的概念；的概念； 2. 递推公式递推公式与数列的与数列的通项公式通项公式的区别是：的区别是： (1)通项公式通项公式反映的是反映的是项与项数之间的关系项与项数之间的关系， 而而递推公式递推公式反映的是反映的是相邻两项相邻两项(或或n项项)之之 间的关系间的关系. (2)对于对于通项公式通项公式，只要将公式中的，只要将公式中的n依次取
18、依次取1, 2, 3, 4,即可得到相应的项，而即可得到相应的项，而递推公式递推公式 则要已知首项则要已知首项(或前或前n项项)，才可依次求出其，才可依次求出其 他项他项. 30 课堂小结课堂小结 1. 递推公式递推公式的概念；的概念； 2. 递推公式递推公式与数列的与数列的通项公式通项公式的区别是：的区别是： (1)通项公式通项公式反映的是反映的是项与项数之间的关系项与项数之间的关系， 而而递推公式递推公式反映的是反映的是相邻两项相邻两项(或或n项项)之之 间的关系间的关系. (2)对于对于通项公式通项公式，只要将公式中的，只要将公式中的n依次取依次取1, 2, 3, 4,即可得到相应的项，而即可得到相应的项，而递推公式递推公式 则要已知首项则要已知首项(或前或前n项项)，才可依次求出其，才可依次求出其 他项他项. 3. 用用递推公式递推公式求通项公式的方法：求通项公式的方法： 观察法、累加法、迭乘法观察法、累加法、迭乘法. 31 思考题：思考题： 1、 写出下列数列的一个通项公式：写出下列数列的一个通项公式： （1）1，1，1，1； （2）2，0，2，0； （3）9，99，999，9999； （4）0.9，0.99，0.999，0.9999。 答案： （1） （2） （3） （4） n n n n n n n n a a a a 101 110 11 1 1 1 32
