1、 第 1 页 共 14 页 初三数学初三数学 二次函数二次函数 知识点知识点总结总结 一一、二次函数二次函数概念概念： 1 二次函数的概念： 一般地， 形如 2 yaxbxc（abc， ，是常数，0a ） 的函数， 叫做二次函数。 这 里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实 数 2. 二次函数 2 yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二、二、二次函二次函数的基本形式数的基本形式 1. 二次函数基本形式： 2 yax的性质： a
2、 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 yaxc的性质： 上加下减。 3. 2 ya xh的性质： 左加右减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 00， y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随 x的增大而减小；0 x 时，y有最小值0 0a 向下 00， y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随 x的增大而增大；0 x 时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c， y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随 x的增大而减小；0 x 时，y有最小值c 0a 向下 0c， y轴 0 x 时，y
3、随x的增大而减小；0 x 时，y随 x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值0 0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值0 第 2 页 共 14 页 4. 2 ya xhk的性质： 三、三、二次函数图象的平移二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线 2 yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具
4、体平移方法如下： 向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax2+ky=ax2 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： cbxaxy 2 沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy 2 变成 mcbxaxy 2 （或mcbxaxy 2 ） cbxaxy 2 沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy 2 变成 cmxbmxay)()( 2 （或cmxbmxay)()( 2 ）
5、四四、二次函数、二次函数 2 ya xhk与与 2 yaxbxc的比较的比较 从解析式上看， 2 ya xhk与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前 者，即 2 2 4 24 bacb ya x aa ，其中 2 4 24 bacb hk aa ， a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a 向下 hk， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值k 第 3 页 共 14 页 五五、二次函数、二次函数 2 yaxb
6、xc图象的画法图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴 的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点 1 0 x ， 2 0 x ，（若与x轴 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六六、二次函数、二次函数 2 yaxbxc的性质的性质 1. 当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb
7、 aa ， 当 2 b x a 时，y随x的增大而减小；当 2 b x a 时，y随x的增大而增大；当 2 b x a 时，y有最小 值 2 4 4 acb a 2. 当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ，当 2 b x a 时，y随 x的增大而增大；当 2 b x a 时，y随x的增大而减小；当 2 b x a 时，y有最大值 2 4 4 acb a 七七、二次函数解析式的表示方法、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 yaxbxc（a，b，c为常数，0a ） ； 2. 顶点式： 2 ()ya xhk（a，h，k为常数，0
8、a ） ； 3. 两根式： 12 ()()ya xxxx（0a ， 1 x， 2 x是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即 2 40bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式 的这三种形式可以互化. 八八、二次函数的图象与各项系数之间的关系、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a 时，抛物线开口向下，a的值越小
9、，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a 的前提下， 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 第 4 页 共 14 页 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b 时，0 2
10、b a ，即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴 a b x 2 在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是 “左同右异” 总结： 3. 常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定：二次函数解析式的确定
11、： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 九九、二次函数图象的对称、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 ya xb xc关于x轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc ； 2 ya xhk
12、关于x轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 2. 关于y轴对称 2 ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 3. 关于原点对称 2 ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc ； 2 ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 第 5 页 共 14 页 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180） 2 ya xb xc关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a ； 2 ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ya
13、xhk 5. 关于点mn，对称 2 ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求 抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式 十十、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）： 一元二次方程 2 0axbxc是二次函数 2 yaxbxc当函
14、数值0y 时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： 当 2 40bac 时，图象与x轴交于两点 12 00A xB x， ， 12 ()xx，其中的 12 xx，是一元二次 方程 2 00axbxca的两根这两点间的距离 2 21 4bac ABxx a . 当0 时，图象与x轴只有一个交点； 当0 时，图象与x轴没有交点. 1 当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y ； 2 当 0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2. 抛物线 2 yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，) c； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点
15、坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 2 yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号 判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一 个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 2 (0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数； 下面以0a 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 第 6 页 共 14 页 二次函数二次函数图像参考：图像参考：
16、 十一十一、函数的应用、函数的应用 二次函数应用 刹车距离 何时获得最大利润 最大面积是多少 0 抛物线与x轴有 两个交点 二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. y=2(x-4)2-3 y=2(x-4)2y=2x2 y= x2 2 y=2x2 y=x2 y=-2x2 y= -x2 y= - x2 2 y=2x2-4 y=2x2+2 y=2x2 y=3(x+4)2 y=3(x-2)2 y=3x2 y=-2(x+3)
17、2 y=-2(x-3)2 y=-2x2 第 7 页 共 14 页 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数2)2( 22 mmxmy的图像经过原点， 则m的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查 两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图， 如果函数bkxy的图像在第一、 二、 三象限内， 那么函数1 2 bxkxy的图像大致是 （ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关
18、习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选 拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 3 5 x，求这条抛物线的解析式。 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线 2 yaxbxc（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是3 2 （1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例 1 （1）二次函数 2 yaxbxc的图像如图 1，则点),( a
19、c bM在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示，则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键 例 2.已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交 点在点(O， 2)的下方 下列结论： abO； 4a+c
20、O， 其中正确结论的个数为( ) A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D4 个 会用待定系数法求二次函数解析式 第 8 页 共 14 页 例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案：C 例 4、如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2 （1）写出 y 与 x 的关系式； （2）
21、当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？ （3） 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例 5、已知抛物线 y= 1 2 x2+x- 5 2 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴 （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长 【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的 关系 例 6、 “已知函数cbxxy 2 2 1 的图象经过点 A（c，2） ， 求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据已知和结论
22、中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程， 并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结 论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2） ” ，就可以列出两个 方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给 出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添 加出不同的条件，
23、可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点 的坐标等。 解答 （1）根据cbxxy 2 2 1 的图象经过点 A（c，2） ，图象的对称轴是 x=3， 得 , 3 2 1 2 , 2 2 1 2 b cbcc 解得 . 2 , 3 c b 所以所求二次函数解析式为. 23 2 1 2 xxy图象如图所示。 （2）在解析式中令 y=0，得023 2 1 2 xx，解得. 53, 53 21 xx 第 9 页 共 14 页 所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+)0 , 5”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是 ).0 , 53( 令 x=3 代入
24、解析式，得, 2 5 y 所以抛物线23 2 1 2 xxy的顶点坐标为), 2 5 , 3( 所以也可以填抛物线的顶点坐标为) 2 5 , 3( 等等。 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数； 将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函
25、数的知识有机的结合在一起，能很好考查学 生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间 例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系 如下表： x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 1525, 220 kb kb 解得 k=-1，b=40，即一次函数表达 式为 y=
26、-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元 w=（x-10） （40-x）=-x2+50 x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： （1）设未知数在“当 某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要设为函数； （2） 问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程 第 10 页 共 14 页 二次函数对应练习试题二次函数对应练习试题 一、选择题一、选择题 1. 二次函数 2 47yxx的
27、顶点坐标是( ) A.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3） 2. 把抛物线 2 2yx 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ） A. 2 2(1)yx B. 2 2(1)yx C. 2 21yx D. 2 21yx 3.函数 2 ykxk和(0) k yk x 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 4.已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象如图所示,则下列结论: a,b 同号; 当1x 和3x 时,函数值相等;40ab当2y 时, x的值只能取 0.其中正 确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个 5.已知二次函数 2 (
28、0)yaxbxc a的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图), 由图象可知关于x的一元二次方程 2 0axbxc的两个根分别是 12 1.3xx和 （ ） . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，则点(,)ac bc在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7.方程 2 2 2xx x 的正根的个数为（ ） A.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个 8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为 A. 2 2yxx B. 2 2yxx C. 2 2yxx
29、或 2 2yxx D. 2 2yxx 或 2 2yxx 第 11 页 共 14 页 二、填空题二、填空题 9二次函数 2 3yxbx的对称轴是2x ，则b _。 10已知抛物线 y=-2（x+3） +5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是_. 11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当x0 时，函数值y随自变量x的增大而增大； 满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可） 。 12抛物线 2 2(2)6yx的顶点为 C，已知直线3ykx 过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成的 三角形面积为 。 13. 二次函数 2 241yxx的图象是由 2 2yxbxc的图
30、象向左平移1个单位,再向下平移2个单位 得到的,则 b= ,c= 。 14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地 方，桥的高度是 (取 3.14). 三、解答题：三、解答题： 15.已知二次函数图象的对称轴是30 x ,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0, 5 2 ). (1)求这个二次函数的解析式; (2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0? (3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随 x 的增大而增大? 16.某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式 2 0 1 2 hv
31、 tgt （0t2） ，其中重 力加速度 g 以 10 米/秒 2计算这种爆竹点燃后以 v 0=20 米/秒的初速度上升， （1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？ （2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 第 15 题图 第 12 页 共 14 页 17.如图，抛物线 2 yxbxc经过直线3yx与坐标轴的两个交 点 A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D. （1）求此抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使 APC S： ACD S5 ：4 的点 P 的坐标。 18. 红星建材店
32、为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行 结算，未售出的由厂家负责处理） 当每吨售价为260 元时，月销售量为 45 吨该建材店为提高经营利润， 准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7. 5 吨 综合考虑各种因素， 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元 设每吨材料售价为 x （元） ， 该经销店的月利润为 y（元） （1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量； （2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨
33、多少元？ （4）小静说： “当月利润最大时，月销售额也最大 ”你认为对吗？请说明理由 第 13 页 共 14 页 练习试题答案练习试题答案 一，选择题、 1A 2C 3A 4B 5D 6B 7C 8C 二、填空题、 94b 10 x-3 11如 2 24,24yxyx 等（答案不唯一） 121 13-8 7 1415 三、解答题 15(1)设抛物线的解析式为 2 bxcyax,由题意可得 解得 15 ,3, 22 abc 所以 2 15 3 22 yxx (2)1x 或-5 (2)3x 16 （1）由已知得， 2 1 152010 2 tt，解得 12 3,1tt当3t 时不合题意，舍去。所以
34、当爆竹点燃 后 1 秒离地 15 米 （2）由题意得， 2 520htt 2 5(2)20t，可知顶点的横坐标2t ，又抛物 线开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升 17 （1）直线3yx与坐标轴的交点 A（3，0） ，B（0，3） 则 930 3 bc c 解得 2 3 b c 所以此抛物线解析式为 2 23yxx （2）抛物线的顶点 D（1，4） ，与x轴的另一个交点 C（ 1，0）.设 P 2 ( ,23)a aa，则 2 11 (423):(4 4)5:4 22 aa .化简得 2 235aa 当 2 23aa0 时， 2 235aa得4,2aa
35、 P（4，5）或 P（2，5） 当 2 23aa0 时， 2 235aa即 2 220aa，此方程无解综上所述，满足条件的点的 坐标为（4，5）或（2，5） 3 2 6 5 2 b a abc c 第 14 页 共 14 页 18 （1）5 . 7 10 240260 45 =60（吨） （2） 260 (100)(457.5) 10 x yx ，化简得： 2 3 31524000 4 yxx （3）24000315 4 3 2 xxy 2 3 (210)9075 4 x 红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元 （4）我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额 )5 . 7 10 260 45( x xW 2 3( 160)19200 4 x 来说， 当 x 为 160 元时，月销售额 W 最大当 x 为 210 元时，月销售额 W 不是最大小静说的不对 方法二：当月利润最大时，x 为 210 元，此时，月销售额为 17325 元； 而当 x 为 200 元时，月销售额 为 18000 元1732518000， 当月利润最大时，月销售额 W 不是最大小静说的不对
