1、 专题专题 18 例谈构造位似圆法在解题中的运用例谈构造位似圆法在解题中的运用 【专题综述】 图形的动态变化类问题是中考复习需要重点突破的专题.我们知道，一种方法解几道题远比几种方法解一道 题来得高明，本专题所介绍的方法在双动点问题中具有广泛的应用.只要两个动点满足到一定点的距离之比 为一定值，且在运动过程中这两点与定点的连线的夹角保持不变即可，条件的识别也很容易，看似很难， 然而构造位似圆的方法不但非常巧妙地把它们解决了，而且也揭示了问题的本质，这样才能大大提高学生 的学习效率. 【方法解读】 例 1：如图，已知ABC为等腰三角形，90 ,2BACAC，以点C为圆心，1 为半径作圆，点P为
2、C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转 90 得到 AP ，连结 CP ，则 AP 的取值范围是 . 例 2：如图，在等腰Rt ABC中，2 2ACBC，点P在以斜边AB为直径的半圆O上，点M为PC 的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是( ) A.2 B. C.2 2 D.2 解析：由点M为PC的中点，可知 1 2 CM CP ，并且在点P的运动过程中该值保持不变，从而联想位似图形 的定义和性质构造半圆O的位似图形.分别取,AC BC的中点,D E，连结DE，以DE为直径作半圆N， 则半圆N是半圆O的以点C为位似中心、1 2 为位似比的位似图形.根据位似图形的定义和性质
3、可知， 当点P 运动时，CP与半圆N交点始终是CP的中点，即为点M，因此，点M的运动路径就是半圆N.易求得其 长度为，因此选择 B. 【解读】从例 1 可以看出，当两个动点与一定点的连线的夹角为一定值时，可以通过旋转主动点所在图形 得到从动点的运动轨迹.同样，从例 2 可以看出，当两个动点与一定点在同一条直线上(实为两个动点与一定 点的连线的夹角为 0 )，且它们到定点的距离之比为一定值时，可以通过构造主动点所在图形的位似图形得 到从动点的运动轨迹.很多题目中的主动点、从动点同时具备上述两个条件，那么，我们就可以同时运用位 似变换和旋转变换进行求解.学科*网 【举一反三】 如图，在平面直角坐标
4、系中，已知坐标原点O是正ABC的AB边的中点，且点A是M上的一个动点， 点M的坐标为(3,3) ,M的半径为 2，当点A在M上运动一周时，求点C的运动路径长. 【答案】4 3 则N的半径为 23.延长OA交N于点D,由位似图形的定义和性质可知，3ODOAOC，从而 可将点C看作是由点D绕点O逆时针旋转 90 而得.从集合观点看，点C的运动轨迹为N绕点O逆时针 旋转 90 而得，记为P，如图. 因此，当点A在M上旋转一周时，由位似性质可知点D在N上也旋转一周，由旋转变换可知，点C 在P上旋转一周，且P的半径为 23.因此，点C的运动路径长为P的周长，即4 3.学科%网 【强化训练】 1 （201
5、5 贵港）如图，已知 P 是O 外一点，Q 是O 上的动点，线段 PQ 的中点为 M，连接 OP，OM若 O 的半径为2，OP=4，则线段 OM 的最小值是（ ） A0 B1 C2 D3 【来源】2015 中考真题分项汇编 第 1 期 专题 12 圆的问题 【答案】B 【解析】 考点：1点与圆的位置关系；2三角形中位线定理；3最值问题；4轨迹 2如图，AB 为O 的直径， 4AB ，点 C 为半圆 AB 上动点，以 BC 为边在O 外作正方形 BCDE， （点 D 在直线 AB 的上方）连接 OD，当点 C 运动时，则线段 OD 的长（ ） A. 随点 C 的运动而变化，最大值为22 2 B.
6、 不变来源:学科网 C. 随点 C 的运动而变化，最小值为2 2 D. 随点 C 的运动而变化，但无最值 【来源】中学联盟湖北省武汉市梅苑学校 2016 届九年级 3 月月考数学试题 【答案】A 【解析】试题解析：通过旋转观察如图可知当 DOAB 时，DO 最长，设 DO 与O 交于点 M，连接 CM， 在EMD 和EMB 中， DEBC MEDMEB MEME ， MEDMEB， DM=BM= 2222 = 22 =2 2OMOB， OD 的最大值=2+22 故选 A 3如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 经过点 A（6，0）、B（0，6），O 的半径为 2（O 为坐标 原点），
7、点 P 是直线 AB 上的一动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ，Q 为切点，则切线长 PQ 的最小值为 （ ） A. B. 3 C. 3 D. 【来源】2016 届江苏省苏州市吴中区九年级上学期期末数学试卷（带解析） 【答案】D 当 POAB 时，线段 PQ 最短； 又A（6，0）、B（0，6）， OA=OB=6， AB=6 OP=AB=3， OQ=2， PQ=， 故选：D 考点：切线长定理 4如图，O 的直径为 10，弦 AB 长为 8，点 P 在 AB 上运动，则 OP 的最小值是_ 【来源】2016 届江苏省徐州市九年级下学期第一次质检数学试卷（带解析） 【答案】3 在 RtOAP中
8、，AP=4，OA=5， 则根据勾股定理知 OP=3，即 OP 的最小值为 3 考点：1垂径定理；2勾股定理 5如图，O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切O 于点 Q，则 PQ 的最小值为 【来源】2016 届浙江省杭州市保俶塔实验学校九年级 12 月质量监测数学试卷（带解析） 【答案】2 2 【解析】 当 OP 最小时，PQ 最小， 点 O 到直线 l 的距离为 3，来源:学科网 OP 的最小值为 3，来源:Z xx k.Com PQ 的最小值为9 12 2 考点：切线的性质 6如图，RtAOB 中，O=90 ，OA=OB=32，O 的
9、半径为 1，P 是 AB 边上的动点，过点 P 作O 的 切线 PQ，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值为 【来源】2015 届江苏省扬州市宝应县九年级上学期期末测试数学试卷（带解析） 【答案】2 2 【解析】 试题分析：首先连接 OP、OQ，根据勾股定理知 PQ2=OP2-OQ2，可得当 OPAB 时，即线段 PQ 最短，然 后由勾股定理即可求得答案 试题解析：连接 OP、OQ PQ 是O 的切线， OQPQ； 根据勾股定理知 PQ2=OP2-OQ2， 考点：切线的性质学 1 科&网 7（2015 秋惠山区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为 1 的A 的圆心与坐标原点 O 重合，线段
10、BC 的端点分别在 x 轴与 y 轴上，点 B 的坐标为（6，0），且 sinOCB= （1）若点 Q 是线段 BC 上一点，且点 Q 的横坐标为 m 求点 Q 的纵坐标；（用含 m 的代数式表示）来源:学科网 ZXXK 若点 P 是A 上一动点，求 PQ 的最小值； （2）若点 A 从原点 O 出发，以 1 个单位/秒的速度沿折线 OBC 运动，到点 C 运动停止，A 随着点 A 的运 动而移动 点 A 从 OB 的运动的过程中，若A 与直线 BC 相切，求 t 的值； 在A 整个运动过程中，当A 与线段 BC 有两个公共点时，直接写出 t 满足的条件 【来源】2016 届江苏省无锡市惠山区
11、九年级上学期期末数学试卷（带解析） 【答案】（1） m+8；PQ最小=OQ最小1=3.8；（2）t=时，A 与直线 BC 相切；t5 或 7t15 时，A 与线段 BC 有两个公共点 【解析】 解：（1）点 B 的坐标为（6，0），tanOCB= ， BC=10，OC=8， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， ， 解得， 点 Q 的横坐标为 m， 点 Q 的纵坐标为 m+8； 如图 1，作 OQAB 交A 于 P，则此时 PQ 最小， AB OQ= BO CO，来源:Zxxk.Com 解得，OQ=4.8， PQ最小=OQ最小1=3.8； （2）如图 2，A 与直线 BC 相切于 H， 则
12、 AHBC，又BOC=90 ， BHABOC， =，即= ， 解得，BA= ， 则 OA=6 =， t=时，A 与直线 BC 相切； 故t5 或 7t15 时，A 与线段 BC 有两个公共点 考点：圆的综合题 8如图所示, Rt ABC中，BAC=90 ，C=30 ，BC=2，O 是ABC 的外接圆，D 是 CB 延长线上一 点，且 BD=1，连接 DA，点 P 是射线 DA 上的动点。 (1)求证 DA 是O 的切线； (2)DP 的长度为多少时，BPC 的度数最大，最大度数是多少？请说明理由。 (3)点 P 运动的过程中，（PB+PC）的值能否达到最小，若能，求出这个最小值，若不能，说明理
13、由. 【来源】2017 届广东省深圳市坪山新区九年级下学期第二次调研数学试卷（带解析） 【答案】（1）证明见解析；（2）DP= 3；90 ；（3）7 试题解析：(1)、连接 AO，易知： ABOABBD1是等边三角形， 1 ADCDABABO30AOC60 2 故，而， DAO90DA ，是o 的切线； (2)、当点 P 运动到 A 处时，即DPDA3时， BPC的度数达到最大，为90. 理由如下：若点 P 不在 A 处时，不妨设点 P 在 DA 的延长线上的时， 连接 BP，与o 交于一点，记为点 E，连接 CE，则BPCBECBAC90 . (3)、作点 C 关于射线 DA 的对称点 C
14、，则BP PC BP PC,当点C ,P,B三点共线时， BPPC的 值达到最小，最小为 BC .过点 C 作 DC 的垂线，垂足记为点 H，连接 DC ， 在RTDCPPDC30 中，所以 DCC为等边三角形，故 H 为 DC 的中点， 131 BHDHDBCDDB1 222 ， 3 C H3DH3 2 ， 由勾股定理求出BC7. 所以BPPC（）的最小值为7. 9.如图, O的半径为 4 , Rt ABC的顶点,A B在O上，90B ，且 3 tan 4 A，当点A在O上 运动时，求OC的最小值. 【答案】4 则 3 3 4 BDBO.设AB与D的交点为G，由位似图形的定义和性质可知， 3
15、 4 BGBA，根据 3 tan 4 A得， 3 4 BGBA，所以BCBG，从而可将点C看作是由点G绕点B逆时针旋转 90 度而得. 从集合观点看，点C的运动轨迹为D绕点B逆时针旋转 90 而得，记为E，如图. 因此，当点A在O上旋转一周时，由位似性质可知点G在D上也旋转一周，由旋转变换可知，点C在 E上旋转一周.连结,OE BE，则OBE为直角三角形，易知，5OE ，当点C在线段OE上时，OC取 最小值，最小值为 5-1=4.学 2 科&网 10.如图, AB是O的直径，点C在AB的延长线上，10ABBC，点P是O上一动点，连结PC， 以PC为斜边在PC的上方作Rt PCD，使90PDC
16、, 3 tan 4 DPC，连结OD，则线段OD长 的最小值是 . 【答案】9 则其半径为 3.设CP与M的交点为E，由位似图形的定义和性质，可知 3 5 CE CP .因此CECD，从而 点D可看作是把点E绕点C顺时针方向旋转DCP的大小得到.从集合观点看， 点D的运动轨迹就是把 M绕点A顺时针方向旋转DCP的大小得到，设为N，由旋转不变性可知，N的半径为 3.此时， 问题变成了N外一定点O到N上一动点之间距离的最小值，连结ON，交N于点F，则OF的长 即为所求最小值.连结CN，则9,15CNCMCO，则 3 5 CNCD COCP .又NCODCP，所以 NCODCP:，得90ONC.利用勾股定理，算得12ON ，则9OFONNF，因此填 9.
