1、 百师联盟百师联盟 20212021 届高三一轮复习联考届高三一轮复习联考( (四）全国卷四）全国卷 文文科数学试卷科数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为考试时间为 120120 分钟分钟，满分满分 150150 分分 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共
2、6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1.已知复数z满足 2i z i ，其中i是虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 已知集合21,0,1,2U ，集合 2 0,Ax xxxU，则 U C A （ ） A0,1,2 B2, 1,2 C2, 1,1 D0,1 3. 若 3 5sin2cos0, 2 ，则 2 cos 的值为（ ） A 2 29 29 B 25 29 C 2 29 29 D 25 29 4. 等差数列 n a的前n项和为 n S，
3、且满足 48 12aa，则 11 S（ ） A30 B48 C66 D72 5. 若正整数N除以正整数p后的余数为, q则记为Nq modp，例如1225mod.如图程序框图的 算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理.执行该程序框图，则输出的i等于（ ） A7 B15 C31 D63 6. 已知命题p:存在实数 0 x，对任意实数, x使得 0 0cosxcos xx恒成立；q:若函数1f x为偶 函数，则函数 yf x的图象关于直线1x 对称，则下列命题为假命题的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 7. 已知过点1,1M的直线l与椭圆 22 1 84 xy 交于,A B两点， 且满足,
4、AMBM则直线l的方程为 （ ） A30 xy B230 xy C2230 xy D230 xy 8. 设 3 2,2alnblog，则（ ） Aababab Bababab Cababab Dababab 9. 已知动点A在圆 22 1: 1Cxy上运动，当过点A可作圆 2 2 2 13 :2 22 Cxy 的切线时，设 切点为B，则AB的最大值为（ ） A1 B2 C3 D2 10. 设函数 221 6 f xsinx 的图象为,C则下列结论中正确的个数有（ ） 图象C关于直线 3 x 对称； 图象C关于点(),0 12 中心对称； 图象C可由函数 2g xsin x的图象向左平移 6 个
5、单位长度得到； 函数 f x在 5 , 4 上单调递增. A1 B2 C3 D4 11. 已知函数 f xxxa，若函数 f x在R上恒有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A0a B0a或 1 4 a C0a或 1 4 a D 1 0 4 a 12. 已知ABC的三个顶点均在球心为的球面上， 若2,2 3,ACBCAB球心到平面ABC的距 离为5,则该球的体积为（ ） A24 B32 C100 3 D36 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.若, a b是两个不共线的向量，已知2 ,2,3MNab P
6、Nakb PQab，若,M N Q三点共 线，则k _ 14.若, x y满足约束条件 320 60 240 xy xy xy ，若20 xym恒成立，则实数m的取值范围 是 15.设函数 1 1 x f x e 图象上任意一点处的切线为 1 l，总存在函数图象 0g xasinxx a上一点 处的切线 2 l，使得 12 / /ll，则实数a的最小值为_ 16.已知数列 n a满足 * 11 ,211(), nn ac aannnN ，若 1 2, nn naa 对任意的恒成立，则实数 c的取值范围是 三解答题三解答题: :共共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答
7、应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17211721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答. . ( (一一) )必考题必考题:60:60 分分. . 17. 在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c，已知 2 22sin BsinBsinCsinAsinCsinAsinC 1求cosA的值； 2若2,bABC的面积为15，求a的大小. 18.已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足: * 123 12 23, 3 n n nn aaana
8、nN . 1求数列 n a的通项公式； 2设 1 n S 的前n项和为 n T，求 n T. 19. 如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 四边形 11 AAC C为正方形，,D E分别为线段 11, AB BC的中点，AB 平面ADC. 1证明:/ /BE平面ADC； 2若1,2ABAC，求四棱锥 1 CBB DA的体积. 20. 已知函数 2 1,f xlnxxaxaR. 1当0a 时，求函数 f x的单调区间； 2对任意0,x 证明:当1a时， 0f x 恒成立.20.693ln 21. 已知点1,0A ， 点B在曲线 2 1616yx上运动， 动点C满足2ACAB， 记点C的轨迹
9、为曲线E. 1求曲线E的方程； 2过曲线E上位于x轴两侧的点,P Q(直线PQ的斜率存在)，分别作直线:1l x 的垂线，垂足记为 11 ,P Q，直线l交x轴于点D，记 11 ,DPPDPQDQQ的面积为 123 ,S SS，若 2 S是 1 2S和 3 2S的等比中 项，证明:直线PQ过定点. ( (二二) )选考题选考题:10:10 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中选定一题作答题中选定一题作答，并用并用 2B2B 铅笔在答题卡上将所选题铅笔在答题卡上将所选题 目对应的题号方框涂黑目对应的题号方框涂黑. .按所涂题号进行评分按所涂题号进行评分，多涂、错涂、漏涂均不给
10、分多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多答，则按如果多答，则按 所答第一题评分所答第一题评分. . 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 _23 1 2 1 t x t y t (t为参数)，曲线 2 C的参数方程为 2xcos ysin (为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系. 1求 1 C的普通方程和 2 C的极坐标方程； 2求曲线 2 C上的点到曲线 1 C距离的最小值. 23. 选修 45:不等式选讲(10 分) 若, ,a b c为正实数，且满足231abc. 1求abc的最大值； 2证明: 111 123 abc .
11、百师联盟百师联盟 20212021 届高三一轮复习联考届高三一轮复习联考( (四）全国卷四）全国卷 文科数学参考答案及评分意见文科数学参考答案及评分意见 一、选择题一、选择题 1. D【解析】 2 22 1 2 i ii zi ii ， 所以z在复平面对应的点(1,)2位于第四象限， 故选D. 2. D【解析】 2 0, 10,21,2Ax xxxUx xxxU 或， 所以0,1 U C A， 故选D. 3.C【解析】因为52cos0,sinaa 结合 22 1sin acos a 解得 2 4 29 sin a 因为 3 , 2 a 所以0,sina 即 2 29 sin 229 cos a
12、a ， 故选C. 4.C【解析】根据等差数列的性质， 4866 2126,aaaa 所以 116 1166,Sa 故选C. 5.B【解析】初始值10,1ni. 3,13in，不满足模3余2； 7,20in，不满足模2余1； 15,35in，满足模2余1，满足模3余2. 输出15i . 故选B. 6. D【解析】取 0 x， 则0cosxcos x恒成立， 所以命题p为真命题； 因为函数1f x为偶函数， 即(1)1f xfx， 用1x替换x得， 2()f xfx， 故 f x关于直线1x 对称， 所以命题q为假命题， 则pq为假命题， 故选D. 7. D【解析】设 1122 ,A x yB x
13、y，直线l斜率为k， 则有 22 11 22 22 1 84 1 84 xy xy 得 12121212 0 84 xxxxyyyy 因为,AMBM 所以点M为AB中点， 1212 2,2xxyy 1212 0 42 xxyy ， 即 12 12 1 2 yy k xx ， 所以直线l的方程为 1 11 2 yx ， 整理得230,xy 故选D. 8.C【解析】 33 02 1,0 231lnalnebloglog， 所以0ab且abab； 因为 20,ababb 所以,abab 因为 3 21 2222 10 ln3ln3 ln ablnloglnln 则 3 ln 11ln31ln3 1
14、1 ln2ln2ln2ln2 ab e abba 所以,abab 综上,ababab， 故选C. 9.B【解析】设, ,02A cossin， 则 2 2 2 2 13 sin, 22 ACcos 因为圆 2 C的半径为2,R 所以 22 2 2 3 322, 3 ABACRsincossintan 当且仅当1sin时取“” ， 故此时AB最大值为2， 故选B. 10.B【解析】当 3 x 时， max 3 1ff x ， 故正确； 当 12 x 时， 3 0 122 f 所以错误； 函数 2g xsin x的图象向右平移 6 个单位长度得到的函数为 22 63 ()h xsinxsinx 所
15、以错误； 当 11735 2, 663 5 2 , 42 ,xx . 易知正确. 故正确的序号为:. 故选B. 11. B【解析】作出yx和yx的简图如图所示， 要使函数 f x在R上恒有两个零点， 即函数 g xx与 h xxa的图象有两个交点， 易知当0a时，满足题意； 当0a 时，有三个交点，不满足题意； 当0a 时，考虑yxa与yx相切时， 设切点坐标为 00 ,x xa， 所以 00 0 1 1 2 xax x ， 解得 0 1 4 1 4 x a ， 所以当 1 4 a 时，有两个交点，满足题意； 当 1 0 4 a时，有四个交点，不满足题意； 当 1 4 a 时，无交点，不满足题
16、意 综上，实数a的取值范围为0a或 1 4 a ， 故选B. 12.D【解析】在ABC中，因为2,2 3ACBCAB， 由余弦定理知 2 22 222 3 2 2 2 cosC 所以 3 2 sinC ， 设ABC的外接圆半径为, r 则由正弦定理知 2 3 24, sin3 2 AB r C 所以2,r 设球的半径为,R 则有 2 2 523R ， 所以球体积 3 4 36 3 VR， 故选D. 二、填空题二、填空题 13. 1【解析】由题意知，1NQPQPNakb， 因为,M N Q三点共线， 故,MNNQ 即21abakb ， 解得1,1k. 故答案为1. 14. 16,【解析】由约束条
17、件作出可行域如图， 易知10,4C， 令2,zxy 则2,yxz 当直线2yxz经过可行域的顶点C时， 该直线在y轴上的截距最小， 此时z取最大值， 即 max 2 10416z， 所以16,m 则实数m的取值范围是 16, 故答案为 16,. 15. 5 4 【解析】因为 1 1 x f x e ， 则 2 1 1 1 2 x x x x e fx e e e 因为 1 2,? x x e e ， 所以 1 ,0 4 f x 而 sin,1cos1,1,g xaxx gxaxaa 要使题意成立， 则有 1 1 4 a 且10a， 解得 5 , 4 a 所以实数a的最小值为 5 4 故答案为
18、5 4 16. 1 3 , 2 2 【解析】因为1n时， 1 21 nn aan ， 故 21 23 nn aan ， 得 2 2 nn aa 又因为 123 ,3,2ac ac ac， 所以 22213 2121,212, nn aanncaannc 对任意的 1 2, nn naa 恒成立， 所以212211ncncnc 解得 13 22 c 故答案为 1 3 , 2 2 三、解答题三、解答题 17. 【解析】 1因为 2 22sin BsinBsinCsinAsinCsinAsinC， 所以由正弦定理得: 222 222bbcac， 整理得 222 1 2 abcbc， 由余弦定理有 2
19、22 2abcbccosA， 解得 1 4 cosA 2由 1知 1 4 cosA， 因为0,A 所以sin0,A 即 2 15 1 4 sinAcos A， 所以 1115 215 224 ABC SbcsinAc ， 解得4,c 所以 22 24abcbccosA. 18.【解析】 1因为 123 3 12 23 n n nn aaana 所以 1 3 1 2 3 2,a 当2n时， 1231 11 231 3 n n nn aaana 得 2 1 1 3 11 3 n n nnn n n nan n 所以1 n an，而 1 a也适合此式， 所以 * 1. n annN 2 122211
20、 21333 n Snnn nnn 所以 21111111 1 3425123 n T nnnn 211111 1 323123nnn 2 11111 36123nnn 19. 【解析】 1设AC中点为,F连接,EF DF， 因为,E F分别为,BC AC的中点， 所以/ /,EFAB且 1 2 EFAB， 因为D为 11 A B中点， 所以 111 1 2 B DAB， 因为 11 / /ABAB且 11 ABAB， 所以 11 / /,EFB D EFB D， 所以四边形 1 B EFD为平行四边形， 所以 1 / /,B EDF 因为DF 平面 1 ,ADC B E 平面,ADC 所以
21、1 / /B E平面ADC 2因为AB 平面,ADC AC 平面,ADC 所以,ABAC 因为四边形 11 AAC C为正方形， 所以 1 ,AAAC 因为 1 ABAAA， 所以AC 平面 11 BB A A， 所以AC为四棱锥 1 CBB DA的高，. 因为 11 ,/ /ADAB ABAB， 所以 11, ADAB 所以 22 11 15 2 ADAAAD 所以 1 1 115 32 15 28 BB DA S 四边形 所以 1 1315 152 384 C BB DA V 四棱锥 20. 【解析】 1当0a 时， 2 2 1 2 1, x f xlnxxfx x ， 令 2 0 2 f
22、xx或 2 2 x (舍)， 当 2 0, 2 x 时， 0,fxf x单调递增； 当 2 , 2 x 时. 0, fxfx单调递减； 所以 f x的增区间为 2 0, 2 减区间为 2 , 2 . 2对任意 0,0 xf x恒成立可得 2 1xlnx a x ， 令 22 2 1ln , lnxxx g xg x x xx 令 2 1 , 20hlnx hx x xxx. 所以 h x在(0,)单调递增，存在唯一 0 0,x 使得 000 0h xxlnx， 即 2 00 xlnx ， 而 11 ln20.250.6930,11110 24 hhln ， 所以 0 1 ,1 2 x ； 当
23、0 0,xx时， 0,gxg x单调递减； 当 0 (),xx时， 0,gxg x单调递增； 所以 22 000 00 000 ln1211 2 xxx g xg xx xxx ， 因为 0 1 ,1 2 x ， 所以 0 0 1 21,1x x 即必有1a. 综上，对任意0 x ，当1a时， 0f x 恒成立. 21. 【解析】 1设 00 ,C x yB x y， 由2ACAB可得， 00 22,21,xyxy， 所以 0 0 221 2 xx yy 即 0 0 21 2 xx yy 因为点B在曲线 2 1616yx上运动， 所以 2 00 1616,yx 代入得曲线E的方程为 2 8yx
24、. 2设 1122 ,P x yQ xy， 则 12 ()1,1,PyQy， 设直线():0PQ xmyt m， 代入 2 8yx中得 2 880ymyt， 所以 1212 8 ,80yym y yt ， 因为 11132212 11 1,1,0 22 SxySxyx x 所以 2 2 13121212121212 4111()()1118S Sxxy ymytmyty ym y ytm yytt 2 22 22 88118881m tmttttmt 又 2 2 2121212 111 11416432 222 Styytyyy ytmt 因为 2 S是 1 2S和 3 2S的等比中项， 所以
25、 2 213 4SS S 即 22 22 1 64381 1 4 281tmttmtt 所以直线恒过点1,0. 22.【解析】 1由 23 2 1 1 t y t x t 所以 211231 2 111 tt x ttt ， 得2,x 消去参数t得 1 C的普通方程为240()2xyx； 由 2cos sin xa ya 得 2 222 2 1ycos asi x n a ， 整理得曲线 2 C的普通方程为 2 2 1 2 x y， 将,xcosysin代入得其极坐标方程为 2 2 2 1sin 2设曲线 2 C上任意一点的坐标为 2,cosa sina， 则曲线 2 C上的点到曲线 1 C的距离 2 2cossin4 3sin4 55 aa a d 其中2 2tan 当1()sin a时， 5 5 min d 23.【解析】 1因为, ,a b c为正实数，231,abc 所以 33 1233 3233 6abcabcabc 即 1 162 abc 当且仅当 1 23 3 abc时等号成立， 所以abc的最大值为 1 162 2由柯西不等式: 2 2 111111 233123abcabc abcabc 即 111 123 abc 当且仅当23abc， 即 111 , 123226336 abc 时取等号.
