1、. 5立体几何立体几何 1几何体的三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图下面，侧(左)视图放在正(主)视图右面， “长对正，高平齐，宽相等” 由几何体的三视图确定几何体时，要注意以下几点： (1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体 (2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线 (3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视 图比较，通过调整准确画出原几何体 问题 1 如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于 2 的等腰直 角三角形，则该几何体的体积为_ 答案 4 3 2空间几何体表面积和体积的求法 几
2、何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的 体积常用公式法、割补法、等积变换法 问题 2 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为 1 的正方形，侧(左) 视图是一个直径为 1 的圆，那么这个几何体的表面积为( ) A4 B3 C2 D.3 2 答案 D 3空间平行问题的转化关系 . 平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段 成比例(三角形相似)、平行四边形等 问题 3 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”号，错误的画“”号 (1)如果 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任
3、何平面( ) (2)如果直线 a 和平面 满足 a，那么 a 与 内的任何直线平行( ) (3)如果直线 a，b 和平面 满足 a，b，那么 ab.( ) (4)如果直线 a，b 和平面 满足 ab，a，b?，那么 b.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 4空间垂直问题的转化关系 线线垂直 线面垂直的判定 线面垂直的定义 线面垂直 面面垂直的判定 面面垂直的性质 面面垂直 垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有： 等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等 问题 4 已知两个平面垂直，下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； 一个平面内的已知
4、直线必垂直于另一个平面的无数条直线； 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数是( ) A3 B2 C1 D0 答案 C 5多面体与球接、切问题的求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点) 或线作截面， 把空间问题转化为平面问题， 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系， 或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已 知量的关系，列方程(组)求解 (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC
5、两两互相垂直，且 PAa，PB b，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则 4R2a2b2c2求解 . 问题 5 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32 3 ， 那么这个三棱柱的体积是( ) A96 3 B16 3 C24 3 D48 3 答案 D 解析 如图，设球的半径为 R，由4 3R 332 3 ，得 R2. 所以正三棱柱的高 h4. 设其底面边长为 a， 则1 3 3 2 a2， 所以 a4 3， 所以 V 3 4 (4 3)2448 3. 6求平面的法向量的方法 (1)性质法：根据线面垂直的判定找出与平面垂直的直线，则此直线的方向向量就
6、是平面的法 向量 (2)赋值法：在平面内取两个不共线向量，设出平面的法向量建立方程组，通过赋值求出其中 的一个法向量 7“转化法”求空间角 (1)设两条异面直线 a，b 所成的角为 ，两条直线的方向向量分别为 a，b. 因为 (0， 2，故有 cos |cosa，b| a b |a|b|. (2)设直线 l 和平面 所成的角为 ，l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面 的法向量，则 sin |cosl，n| l n |l|n|. (3)设二面角 l 的大小为 ，n1，n2是二面角 l 的两个半平面的法向量，则|cos | |cosn1，n2|，两个角之间的关系需要根据二面角的取值范围来确定 问
7、题 6 在三棱锥 PABC 中，ABBC，ABBC1 2PA，点 O，D 分别是 AC，PC 的中点， . OP底面 ABC，求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值 解 OP平面 ABC，OAOC，ABBC， OAOB，OAOP，OBOP. 以 O 为原点，射线 OP 为 z 轴正方向，OA 为 x 轴正方向，OB 为 y 轴正方向，建立空间直角 坐标系 Oxyz(如图) 设 ABa，则 A( 2 2 a,0,0)，B(0， 2 2 a,0)，C( 2 2 a,0,0)， 设 OPh，则 P(0,0，h)，由1 2PAAB，则 PA2a， 则 P(0,0, 7 2a)，PA ( 2 2
8、a,0， 7 2a) 可求得平面 PBC 的一个法向量为 n(1，1， 1 7)， cosPA ，nPA n |PA |n| 210 30 ， 设 PA 与平面 PBC 所成的角为 ， 则 sin |cosPA ，n|210 30 . 8求点到平面的距离的方法 (1)“等积法”：求解点到面的距离常转化为锥体的高，利用三棱锥体积公式求点到平面的距 离 (2)“向量法”：如图，设 P 在平面 外，n 为平面 的法向量，在平面 内任取一点 Q，则 点 P 到平面 的距离 d|PQ n| |n| . 问题 7 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，O 是底面 A1B1C1D1的中心，则点 O
9、到平面 ABC1D1的距离为_ . 答案 2 4 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O? ? ? ? 1 2， 1 2，1 . 设平面 ABC1D1的法向量为 n(x，y，z)，则 ? ? ? ? ? n AB 0， n AD1 0， ? ? ? ? y0， xz0. 令 z1，得 ? ? ? ? x1， y0， n(1,0,1)， 又OD1 ? ? ? ? 1 2， 1 2，0 ， O 到平面 ABC1D1的距离 d|n OD1 | |n| 1 2 2 2 4 . 易错点 1 三视图识图不准 例 1 如图为某
10、几何体的三视图，则该几何体的表面积为_ 易错分析 解本题易出现的错误有：(1)还原空间几何体的形状时出错，不能正确判断其对应 的几何体；(2)计算时不能准确把三视图中的数据转化为对应几何体中的线段长度，尤其侧视 图中的数据处理很容易出错 解析 该几何体为一个四棱锥，如图所示 . CD底面 PAD，BA底面 PAD， PAAD，PAADCD2，AB1. PC2 3，PB 5，BC 5. SPBC1 22 3 2 6. 该几何体的表面积 S?12?2 2 1 221 1 22 22 1 222 662 2 6. 答案 62 2 6 易错点 2 旋转体辨识不清 例 2 如图所示(单位：cm)，求图中
11、阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的体积 易错分析 注意这里是旋转图中的阴影部分，不是旋转梯形 ABCD.在旋转的时候边界形成一 个圆台，并在上面挖去了一个“半球”，其体积应是圆台的体积减去半球的体积解本题易 出现的错误是误以为旋转的是梯形 ABCD，在计算时没有减掉半球的体积 解 由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得 V圆台1 3(2 22552)452(cm3)， V半球4 32 31 2 16 3 (cm3) 所以旋转体的体积为 V圆台V半球5216 3 140 3 (cm3) 易错点 3 线面关系把握不准 例 3 设 a，b 为两条直线， 为两个平面，且 a?，a?，则下列结
12、论中不成立的是( ) A若 b?，ab，则 a . B若 a，则 a C若 ab，b，则 a D若 ，a，ba，则 b 易错分析 本题易出现的问题就是对空间点、线、面的位置关系把握不准，考虑问题不全面， 不能准确把握题中的前提a?，a?，对空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理中的 条件把握不准导致判断失误如 A 项中忽视已知条件中的 a?，误以为该项错误等 解析 对于选项 A，若有 b?，ab，且已知 a?，所以根据线面平行的判定定理可得 a， 故选项 A 正确；对于选项 B，若 a，则根据空间线面位置关系可知 a? 或 a， 而由已知可知 a?，所以有 a，故选项 B 正确；对于选项 C，
13、若 ab，b，所以 a? 或 a，而由已知可得 a?，所以 a，故选项 C 正确；对于选项 D，由 a，ba 可得 b，又因为 ，所以 b? 或 b，故不能得到 b，所以选项 D 错，故选 D. 答案 D 易错点 4 线面关系论证不严谨 例 4 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 DD1，DB 的中点 (1)求证：EF平面 ABC1D1； (2)求证：EFB1C. 易错分析 利用空间线面关系的判定或性质定理证题时，推理论证一定要严格按照定理中的 条件进行，否则出现证明过程不严谨的问题 证明 (1)连接 BD1，如图所示 在DD1B 中，E，F 分别为 DD1，D
14、B 的中点，则 ? ? ? ? ? EFD1B D1B?平面ABC1D1 EF?平面ABC1D1 ?EF平面 ABC1D1. (2)ABCDA1B1C1D1为正方体?AB平面 BCC1B1 ? ? ? ? ? ? B1CAB B1CBC1 AB，BC1?平面ABC1D1 ABBC1B . ? ? ? ?B1C平面ABC1D1 BD1?平面ABC1D1 ? ? ? ?B1CBD1 EFBD1 ?EFB1C. 易错点 5 混淆空间角与向量夹角 例 5 如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 ABBCBD2，ABCDBC 120 ，E，F 分别为 AC，DC 的中点 (1)求证：EFBC； (2)求二面角 EBFC 的正弦值 易错分析 本题易错点在于认为两个平面法向量的夹角等于所求二面角的大小根据向量计 算出二面角的余弦值的绝对值后，其大小还要通过二面角的取值范围确定 (1)证明 由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴，BC 所在 直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 易得 B(0,0,0)，A(0，1， 3)，D( 3，1,0)，C(0,2,0)， 因而 E(0，1 2， 3 2 )，F( 3 2 ，1 2，0)， 所以E
