1、. (三三)概率与统计概率与统计 1某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题规定正确 回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分 别是3 4， 1 2， 1 4，且各阶段通过与否相互独立 (1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率； (2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为 ，求 的分布列与均值 解 (1)记“该选手通过初赛”为事件 A， “该选手通过复赛”为事件 B， “该选手通过决赛” 为事件 C，则 P(A)3 4，P(B) 1 2，P(C) 1 4. 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率 PP(A B )P(A)P( B )3 4(1
2、 1 2) 3 8. (2) 可能取值为 1,2,3. P(1)13 4 1 4，P(2) 3 4(1 1 2) 3 8， P(3)3 4 1 2 3 8. 故 的分布列为 1 2 3 P 1 4 3 8 3 8 的均值为 E()11 42 3 83 3 8 17 8 . 2(2016 山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语， 在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是3 4，乙每轮猜对的概 率是2 3；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互
3、不影响假设“星队”参加两轮 活动，求： (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和均值 E(X) 解 (1)记事件 A：“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一轮猜对”， 记事件 C：“甲第二轮猜对”，记事件 D：“乙第二轮猜对”， . 记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语” 由题意， EABCD A BCDA B CDAB C DABC D . 由事件的独立性与互斥性， P(E)P(ABCD)P( A BCD)P(A B CD)P(AB C D)P(ABC D ) P(A)P(B)P(C)P(D)P( A )P(B)P(C)P(D)P(A)P( B
4、 )P(C)P(D)P(A)P(B)P( C )P(D) P(A)P(B)P(C)P( D ) 3 4 2 3 3 4 2 32? ? 1 4 2 3 3 4 2 3 3 4 1 3 ? ? 3 4 2 3 2 3. 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为2 3. (2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 P(X0)1 4 1 3 1 4 1 3 1 144， P(X1)2? ? ? ? 3 4 1 3 1 4 1 3 1 4 2 3 1 4 1 3 10 144 5 72， P(X2)3 4 1 3 3 4 1 3 3 4 1 3 1 4
5、 2 3 1 4 2 3 3 4 1 3 1 4 2 3 1 4 2 3 25 144， P(X3)3 4 2 3 1 4 1 3 1 4 1 3 3 4 2 3 12 144 1 12， P(X4)2? ? ? ? 3 4 2 3 3 4 1 3 3 4 2 3 1 4 2 3 60 144 5 12， P(X6)3 4 2 3 3 4 2 3 36 144 1 4. 故随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 1 144 5 72 25 144 1 12 5 12 1 4 所以均值 E(X)0 1 1441 5 722 25 1443 1 124 5 126 1 4 23
6、6 . 3(2016 四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居 民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x(吨)，一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了 某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0,0.5)，0.5,1)，?，4,4.5)分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 . (1)求直方图中 a 的值； (2)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过
7、标准 x(吨)，估计 x 的值，并说明理由 解 (1)由频率分布直方图知，月均用水量在0,0.5)中的频率为 0.080.50.04. 同 理 ， 在 0.5,1) ， 1.5,2) ， 2,2.5) ， 3,3.5) ， 3.5,4) ， 4,4.5) 中 的 频 率 分 别 为 0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. 由 0.040.080.5a0.200.260.5a0.060.040.021，解得 a0.30. (2)由(1)，知 100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.060.040.020.12. 由以上样本的频率分布，可以估计全市 30 万居
8、民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 0000.1236 000. (3)因为前 6 组的频率之和为 0.040.080.150.200.260.150.880.85， 而前 5 组的频率之和为 0.040.080.150.200.260.730.85. 所以 2.5x3.由 0.30(x2.5)0.850.73， 解得 x2.9. 所以，估计月用水量标准为 2.9 吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准 4(2016 课标全国甲)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保 人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3
9、4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 解 (1)设 A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”， 则事件 A 发生当且仅当一年 内出险次数大于 1，故 P(A)0.20.20.10.050.55. . (2)设 B 表示事件“一
10、续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”， 则事件 B 发生当且仅当一 年内出险次数大于 3，故 P(B)0.10.050.15. 又 P(AB)P(B)， 故 P(B|A)P?AB? P?A? P?B? P?A? 0.15 0.55 3 11. 因此所求概率为 3 11. (3)记续保人本年度的保费为 X，则 X 的分布列为 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a. 因此续保人本年度的平均保费与基
11、本保费的比值为 1.23. 5(2016 课标全国丙)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折 线图 注：年份代码 17 分别对应年份 20082014 (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01)，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 附注： 参考数据：? i1 7 yi9.32，? i1 7 tiyi40.17, ? i1 7 ?yi y ?20.55, 72.646. 参考公式：相关系数 r ? i1 n ?ti t ?yi y ? ? i1
12、n ?ti t ?2? i1 n ?yi y ?2 ，回归方程y a b t 中斜率和截距最小 二乘估计公式分别为b ? i1 n ?ti t ?yi y ? ? i1 n ?ti t ?2 ，a y b t . . 解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t 4，? i1 7 (ti t )228, ? i1 7 ?yi y ?20.55， ? i1 7 (ti t )(yi y )? i1 7 tiyi t? i1 7 yi40.1749.322.89，r 2.89 0.5522.6460.99. 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99， 说明 y 与 t 的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归 模型拟合 y 与 t 的关系 (2)由 y 9.32 7 1.331 及(1)得b ? i1 7 ?ti t ?yi y ? ? i1 7 ?ti t ?2 2.89 28 0.103.a y b t 1.331 0.10340.92. 所以 y 关于 t 的回归方程为y 0.920.10t. 将 2016 年对应的 t9 代入回归方程得y 0.920.1091.82. 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨
