1、. 高考小题分项练高考小题分项练 6 平面向量平面向量 1已知平面向量 a，b 满足|a|b|1，a(a2b)，则|ab|等于( ) A0 B. 2 C2 D. 3 答案 D 解析 a(a2b)，a (a2b)0， a b1 2a 21 2， |ab| ?ab?2 a22a bb2 1221 21 2 3. 2已知向量 a，b，其中 a(1， 3)，且 a(a3b)，则 b 在 a 上的投影为( ) A.4 3 B4 3 C.2 3 D2 3 答案 C 解析 由 a(1， 3)，且 a(a3b)， 得 a (a3b)0a23a b43a b，a b4 3， 所以 b 在 a 上的投影为a b
2、|a| 4 3 2 2 3，故选 C. 3 在平面直角坐标系中， 已知点 A， B 分别是 x 轴， y 轴上的一点， 且|AB|1， 若点 P(1， 3)， 则|AP BPOP |的取值范围是( ) A5,6 B6,7 C6,9 D5,7 答案 D 解析 设 A(cos ，0)，B(0，sin )， 则AP BPOP (3cos ，3 3sin )， |AP BPOP |2(3cos )2(3 3sin )2 376(cos 3sin )3712sin( 6)， 即可求得范围是5,7 . 4已知向量 a(1，x)，b(1，x)，若 2ab 与 b 垂直，则|a|等于( ) A. 2 B. 3
3、 C2 D4 答案 C 解析 a(1，x)，b(1，x)， 2ab2(1，x)(1，x)(3，x)， 由(2ab)b?3(1)x20， 解得 x 3或 x 3， a(1， 3)或 a(1， 3)， |a|12? 3?22 或|a|12? 3?22. 故选 C. 5如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC 3，BE 2EC，点 F 在边 CD 上，若AB AF3， 则AE BF的值为( ) A4 B.8 3 3 C0 D4 答案 D 解析 如图所示，BE 2EC?BE2 3BC 2 3 3 ， AB AF3?AFcosBAF1?DF1， 以点 A 为原点建立平面直角坐标系，AD 所在直线为 x
4、轴，AB 所在直线为 y 轴，则 B(0,3)， F( 3，1)，E(2 3 3 ，3)， 因此BF ( 3，2)，AE BF2 3 3 323264. 6在梯形 ABCD 中，ADBC，已知 AD4，BC6，若CD mBA nBC (m，nR)，则m n 等于( ) . A3 B1 3 C.1 3 D3 答案 A 解析 如图，作 AEDC，交 BC 于点 E，则 ADCE 为平行四边形，EA CD mBA nBC， 又EA EBBABA1 3BC ， 所以 ? ? ? ? ? m1， n1 3， 故m n3. 7在 RtABC 中，CACB3，M，N 是斜边 AB 上的两个动点，且 MN 2
5、，则CM CN 的 取值范围为( ) A3,6 B4,6 C2，5 2 D2,4 答案 B 解析 以点 C 为坐标原点， CA 所在直线为 x 轴， CB 所在直线为 y 轴， 建立平面直角坐标系， 则 A(3,0)，B(0,3)， AB 所在直线的方程为：x 3 y 31， 则 y3x. 设 N(a,3a)，M(b,3b)， 且 0a3,0b3，不妨设 ab， MN 2，(ab)2(ba)22， ab1，ab1，0b2， CM CN (b,3b) (a,3a) 2ab3(ab)92(b22b3) 2(b1)24,0b2， . 当 b0 或 b2 时有最大值 6； 当 b1 时有最小值 4.
6、CM CN 的取值范围为4,6，故选 B. 8ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 a，b，c，设向量 n( 3ac，sin Bsin A)， m(ab，sin C)，若 mn，则角 B 的大小为( ) A. 6 B.5 6 C. 3 D.2 3 答案 B 解析 若 mn，则(ab)(sin Bsin A)sin C( 3ac)0， 由正弦定理可得：(ab)(ba)c( 3ac)0， 化为 a2c2b2 3ac， cos Ba 2c2b2 2ac 3 2 . B(0，)，B5 6 ，故选 B. 9如图，在直角梯形 ABCD 中，AB2AD2DC，点 E 为 BC 边上一点，BC 3EC
7、，点 F 为 AE 的中点，则BF 等于( ) A.2 3AB 1 3AD B.1 3AB 2 3AD C2 3AB 1 3AD D1 3AB 2 3AD 答案 C 解析 如图，取 AB 的中点 G，连接 DG，CG，则 DGBC， BC GD AD AG AD 1 2AB ， AE ABBEAB2 3BC AB2 3(AD 1 2AB ) . 2 3AB 2 3AD ， 于是BF AFAB1 2AE AB 1 2( 2 3AB 2 3AD )AB 2 3AB 1 3AD ， 故选 C. 10 设点 P 是ABC 所在平面内的一点， 且CP 2PA， 则PAB 与PBC 的面积之比是( ) A
8、13 B12 C23 D34 答案 B 解析 依题意，得 CP2PA，设点 B 到 AC 之间的距离为 h， 则PAB 与PBC 的面积之比为S BPA SBCP 1 2PA h 1 2PC h 1 2. 11在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，m(a， 3b)，n(sin B，cos A)， mn，b2，a 7，则ABC 的面积为( ) A. 3 B.3 3 2 C. 3 2 D2 3 答案 C 解析 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c， m(a， 3b)，n(sin B，cos A)，mn，b2，a 7， m nasin B 3bcos A
9、7sin B2 3cos A0， sin B2 3cos A 7 ， 由正弦定理得 7 sin A 2 2 3cos A 7 ， 整理得 sin A 3cos A， . sin2Acos2A4cos2A1，cos A0)，如果在直线 3x4y250 上存在点 P，使得APB 90 ，则 m 的取值范围是_ 答案 5，) 解析 点 P 在直线 3x4y250 上， 设点 P(x，3x25 4 )， . AP (xm，3x25 4 )，BP (xm，3x25 4 ) 又APB90 ， AP BP(xm)(xm)(3x25 4 )20， 即 25x2150x62516m20. 由 0，即 15024
10、25(62516m2)0， 解得 m5 或 m5. 又 m0，m 的取值范围是5，) 15设向量AB (1，3)，BC(2sin ，2)，若 A，B，C 三点共线，则 cos 2_. 答案 7 9 解析 向量AB (1，3)，BC(2sin ，2)， A，B，C 三点共线，6sin 2，sin 1 3， cos 212sin27 9. 16 在ABC中， AB4 6 3 ， cos B 6 6 ， 点D在边AC上， BD 5， 且BD ( BA |BA |sin A BC |BC |sin C) (0)，则 sin A 的值为_ 答案 70 14 解析 如图， 过点B作BEAC， 垂足为E，
11、取AC中点F， 连接BF， 则BD ( BA |BA |sin A BC |BC |sin C) (0) ( BA |BE | BC |BE |) 2BF |BE | ， BD 和BF 共线，点 D 和点 F 重合， D 是 AC 的中点 BD 1 2(BA BC)， . |BD |21 4(|BA |2|BC|22BA BC) |BC |2 4 2 3|BC |8 35. 又 AC2AB2BC22AB BC cos B， 即 AC232 3 BC28 6 3 BC 6 6 ， 解方程可得 BC2，AC2 21 3 ， 由正弦定理 BC sin A AC sin B， 且 sin B 1cos2B11 6 30 6 ， 可得 sin ABC sin B AC 2 30 6 2 21 3 70 14 .
