1、. 高考大题纵横练高考大题纵横练(二二) 1(2016 天津)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 asin 2B 3bsin A. (1)求 B； (2)若 cos A1 3，求 sin C 的值 解 (1)在ABC 中，由 a sin A b sin B， 可得 asin Bbsin A. 又由 asin 2B 3bsin A， 得 2asin Bcos B 3bsin A 3asin B， 所以 cos B 3 2 ，所以 B 6. (2)由 cos A1 3，可得 sin A 2 2 3 ，则 sin Csin(AB)sin(AB)sin? ? ? ? A
2、6 3 2 sin A1 2cos A 2 61 6 . 2为了了解某校今年高三男生的身体状况，随机抽查了部分男生，将测得的他们的体重(单 位：千克)数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)已知图中从左到右的前 3 个小组的频 率之比为 123，其中第 2 小组的频数为 12. (1)求该校随机抽查的部分男生的总人数； (2)以这所学校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市高三男生中任选 3 人，设 X 表示 体重超过 55 千克的学生人数，求 X 的均值 解 (1)设该校随机抽查的部分男生的总人数为 n，前 3 个小组的频率分别为 P1、P2、P3，则 ? ? ? ? ? P22P1， P
3、33P1， P1P2P3?0.037 50.012 5?51， . 解得 ? ? ? ? ? P10.125， P20.25， P30.375. 因为 P20.2512 n ，所以 n48. 故该校随机抽查的部分男生的总人数为 48. (2)由(1)可得，一个男生体重超过 55 千克的概率为 PP3(0.037 50.012 5)55 8. 所以 XB(3，5 8)， 所以 P(Xk)Ck3(5 8) k(3 8) 3k，k0,1,2,3. 随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 512 135 512 225 512 125 512 则 E(X)0 27 5121 135 5
4、122 225 5123 125 512 15 8 .(或 E(X)35 8 15 8 ) 3(2016 四川)如图，在四棱锥 PABCD 中，PACD，ADBC，ADCPAB90 ， BCCD1 2AD. (1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由； (2)证明：平面 PAB平面 PBD. (1)解 取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点，理由如下： 因为 ADBC，BC1 2AD. 所以 BCAM，且 BCAM. 所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CMAB. . 又 AB?平面 PAB，CM?平面 PAB. 所以 CM平面
5、 PAB. (说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (2)证明 由已知，PAAB，PACD. 因为 ADBC，BC1 2AD，所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA平面 ABCD， 从而 PABD. 连接 BM，因为 ADBC，BC1 2AD，M 为 AD 的中点， 所以 BCMD，且 BCMD. 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BMCD1 2AD，所以 BDAB. 又 ABAPA，所以 BD平面 PAB. 又 BD?平面 PBD，所以平面 PAB平面 PBD. 4(2016 山东)已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数列，
6、且 anbnbn1. (1)求数列bn的通项公式； (2)令 cn?an1? n1 ?bn2?n ，求数列cn的前 n 项和 Tn. 解 (1)由题意知，当 n2 时，anSnSn16n5. 当 n1 时，a1S111，符合上式 所以 an6n5. 设数列bn的公差为 d， 由 ? ? ? ? a1b1b2， a2b2b3， 即 ? ? ? ? 112b1d， 172b13d， 解得 ? ? ? ? b14， d3. 所以 bn3n1. (2)由(1)知 cn?6n6? n1 ?3n3?n 3(n1) 2n 1 又 Tnc1c2cn， 得 Tn32 223 23(n1) 2n 1， . 2Tn
7、32 233 24(n1) 2n 2， 两式作差，得 Tn32 2223242n 1(n1) 2n2 3? ? ? ? ? 44?12 n? 12 ?n1?2n 2 3n 2n 2. 所以 Tn3n 2n 2. 5(2015 陕西)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点(c,0)，(0， b)的直线的距离为1 2c. (1)求椭圆 E 的离心率； (2)如图，AB 是圆 M：(x2)2(y1)25 2的一条直径，若椭圆 E 经过 A，B 两点，求椭圆 E 的方程 解 (1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为 bxcybc0， 则原点 O 到该
8、直线的距离 d bc b2c2 bc a ， 由 d1 2c，得 a2b2 a 2c2，解得离心率c a 3 2 . (2)方法一 由(1)知，椭圆 E 的方程为 x24y24b2. 依题意，圆心 M(2,1)是线段 AB 的中点，且|AB| 10. 易知，AB 与 x 轴不垂直，设其方程为 yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k 1)24b20， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28k?2k1? 14k2 ， x1x24?2k1? 24b2 14k2 ， 由 x1x24，得8k?2k1? 14k2 4，解得 k1 2， 从而 x1x282b2. 于是
9、|AB| 1? ? ? ? 1 2 2|x 1x2| 5 2 ?x1x2?24x1x2 10?b22?， . 由|AB| 10，得 10?b22? 10，解得 b23， 故椭圆 E 的方程为x 2 12 y2 31. 方法二 由(1)知，椭圆 E 的方程为 x24y24b2， 依题意，点 A，B 关于圆心 M(2,1)对称，且|AB| 10，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x214y21 4b2，x224y224b2， 两式相减并结合 x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0， 易知 AB 与 x 轴不垂直，则 x1x2， 所以 AB 的斜率 kABy1y2 x1x
10、2 1 2， 因此直线 AB 的方程为 y1 2(x2)1， 代入得 x24x82b20， 所以 x1x24，x1x282b2， 于是|AB| 1? ? ? ? 1 2 2|x 1x2| 5 2 ?x1x2?24x1x2 10?b22?. 由|AB| 10，得 10?b22? 10，解得 b23， 故椭圆 E 的方程为x 2 12 y2 31. 6已知函数 f(x)aln x1 2bx 2(ab)x. (1)当 a1，b0 时，求 f(x)的最大值； (2)当 b1 时， 设 ， 是 f(x)的两个极值点， 且 0，f(x)在(0,1)上是增函数； 当 x1 时，f(x)0，f(x)在(1，)
11、上是减函数 故 f(x)在 x1 处取得最大值 f(1)1. (2)证明 当 b1 时，f(x)aln x1 2x 2(a1)x， 求导数，得 f(x)a xx(a1) . x 2?a1?xa x ?x1?xa? x ， 令 f(x)0，解得 x1 或 xa. ， 是 f(x)的两个极值点，且 ，(1，e， 1，a(1，e， 当 x，时，f(x)0， f(x)在，上单调递减， f(x)maxf(1)，f(x)minf(a)， 对任意的 x1，x2， |f(x1)f(x2)|f(1)f(a) 1 2(a1) 1 2a 2aln aa(a1) 1 2a 2aln a1 2. 令 g(a)1 2a 2aln a1 2，则 g(a)a1ln a， 由(1)知 ln xx1，即 ln xx1， g(a)0，g(a)在(1，e上单调递增， g(a)g(e)1 2e 2e1 2e( 1 2e1) 1 23( 3 21) 1 21. 故对任意的 x1，x2，|f(x1)f(x2)|1.
