1、. 2.函数与导数函数与导数 1求函数的定义域，关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解， 如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有 的不等式，不应遗漏 对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同 问题 1 函数 f(x) 1 1xlg(1x)的定义域是_ 答案 (1,1)(1，) 2分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一 个函数，而不是几个函数 问题 2 已知函数 f(x) ? ? ? ? ?12a?x3a，x0， ln 112a3a， 所以 ? ? ? ? ? a0，
2、 |x2|20 得定义域为(1,0)(0,1)， f(x) lg?1x2? ?x2?2 lg?1x2? x . f(x)f(x)，f(x)为奇函数 5函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对 称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 (2)若 f(x)为偶函数，则 f(x)f(x)f(|x|) (3)若奇函数 f(x)的定义域中含有 0，则必有 f(0)0. “f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件 问题 5 设 f(x)lg? ? ? ? 2 1xa 是奇函数，且在 x0 处有意义，则该函数为( ) A(，)上的
3、减函数 B(，)上的增函数 C(1,1)上的减函数 D(1,1)上的增函数 答案 D 解析 由题意可知 f(0)0，即 lg(2a)0， 解得 a1， 故 f(x)lg 1x 1x，函数 f(x)的定义域是(1,1)， . 在此定义域内 f(x)lg 1x 1xlg(1x)lg(1x)， 函数 y1lg(1x)是增函数，函数 y2lg(1x)是减函数，故 f(x)y1y2是增函数选 D. 6判断函数单调性的常用方法 (1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察 (2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性判断问 题 (3)对于解析式较复杂的，一般用导数 (4)对于
4、抽象函数，一般用定义法 问题 6 函数 y|log2|x1|的递增区间是_ 答案 0,1)，2，) 解析 y ? ? ? ? |log2?x1?|?x1?， |log2?1x?|?x0)，则 f(x)的周期 Ta；(2)f(xa) 1 f?x?(f(x)0)或 f(xa)f(x)，则 f(x)的周期 T2a. 问题 7 设 f(x) 是 定义 在 R 上的 周 期为 3 的 函数 ，当 x 2,1) 时 ， f(x) ? ? ? ? 4x22，2x0， x，00， f(x)的零点在区间(1,2)内 10二次函数问题 (1)处理二次函数的问题勿忘数形结合二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“
5、两看 法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系 (2)若原题中没有指出是“二次”方程、 函数或不等式， 要考虑到二次项系数可能为零的情形 问题 10 若关于 x 的方程 ax2x10 至少有一个正根，则 a 的取值范围为_ 答案 ? ? ? ? ，1 4 11利用导数研究函数单调性的步骤 (1)确定函数 yf(x)的定义域 (2)求导数 yf(x) (3)解方程 f(x)0 在定义域内的所有实根 (4)将函数 yf(x)的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起 来，分成若干个小区间 (5)确定 f(x)在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性 特
6、别提醒：(1)多个单调区间不能用“”连接； (2)f(x)为减函数时 f(x)0 恒成立，但要验证 f(x)是否恒等于 0. 问题 11 函数 f(x)ax32x2x1 在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是_ 答案 4 3，) 解析 f(x)ax32x2x1 的导数 f(x)3ax24x1. 由 f(x)0，得 ? ? ? ? a0， 1612a0， 解得 a4 3. a4 3时，f(x)(2x1) 20， . 且只有 x1 2时，f(x)0， a4 3符合题意 12导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数 f(x)x3，有 f(0)0，但 x0 不是极值 点 问题 12 函数 f(x)1
7、 4x 41 3x 3的极值点是_ 答案 x1 13利用导数解决不等式问题的思想 (1)证明不等式 f(x)0. 解析 由 x25x60 知x|x3 或 x2令 ux25x6，则 ux25x6 在(，2) 上是减函数， 2 1 2 log (56)yxx 的单调增区间为(，2) 答案 (，2) 例 2 已知奇函数 f(x)是定义在(3,3)上的减函数，且满足不等式 f(x3)f(x23)3x2，即 x2x60，解得 x2 或 x0.73 Blog0.50.4log0.50.6 C0.75 0.1lg 1.4 答案 C 解析 构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于 A，构造幂函数 yx3，为增
8、函数，故 A 正确；对于 B、D，构造对数函数 ylog0.5x 为减函数，ylg x 为增函数，B、D 都正确；对 于 C，构造指数函数 y0.75x，为减函数，故 C 错 5函数 f(x)2x4sin x，x 2， 2的图象大致是( ) 答案 D 解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以排除 A、B. f(x)24cos x，令 f(x)24cos x0， 得 x 3，所以选 D. 6已知 yf(x)是定义在 R 上的可导函数，当 x0 时，f(x)f?x? x 0，则关于 x 的函数 g(x) f(x)1 x的零点个数为( ) A1 B2 C0 D0 或 2 答案 C 解析 因为函数 g(
9、x)f(x)1 x，可得 x0， 所以 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的， 故我们考虑 xg(x)xf(x)1 的零点， 由于当 x0 时，f(x)f?x? x 0， 当 x0 时，(xg(x)(xf(x)xf(x)f(x)x(f(x)f?x? x )0， 在(0，)上，函数 xg(x)单调递增 又 f(x)在 R 上可导， 当 x(0，)时，函数 xg(x)xf(x)11 恒成立， . 因此，在(0，)上，函数 xg(x)xf(x)1 没有零点 当 x1 恒成立，故函数 xg(x)在(，0)上无零点 综上可得，函数 g(x)f(x)1 x在 R 上的零点个数为 0. 7若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(，0上是减函数，且 f(2)0，则使得 f(x)0 恒成立，设 af(1 2)， bf(2)，cf(3)，则 a，b，c 的大小关系为_ 答案 b0， 知 yf(x)在1，)上是增函数， 又 f(1 2)f( 5 2)，且 20 时，f(x)的单调递减区间是(3m，m)，若 f(x)在区间(2,3)上是减函数，则 ? ? ? ? 3m2， m3， 解得 m3. 当 m0，m0， 当 x(1，e时，G(x)0， G(x)在(1，e上单调递减，G(x)在(1，e上的最小值为 G(e) 4e e21， 则 m 的取值范围是(， 4e e21)
