1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 章末检测章末检测（基础基础） 注：本检测满分 150 分。其中 8 道单选题，4 道多选题，4 道填空题，6 道解答题。 一、单选题一、单选题 1抛物线 2 1 2 xy的焦点坐标为（ ） A 1 0 2 ， B 1 0, 2 C 1 ,0 8 D 1 0, 8 2 若双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的渐近线和圆 22 430 xyx相切， 则该双曲线的离心率 为（ ） A 2 3 3 B 4 3 C 2 D2 3已知双曲线 22 1 22 11 :1 xy C ab （ 11 0,0ab）与双曲线 22 2 22 22 :1 y
2、x C ab （ 22 0,0ab）有相 同的渐近线2yx ，则下列关系中正确的是（ ） A 121 2 a abb B 2 11 2 2a bab C 1212 aabb D 1212 22aabb 4已知 12 ,F F分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，点 P 为渐近线上一点，O为坐 标原点，若 2 POFV为等边三角形，则 C的离心率为（ ） A2 B 3 C 5 2 D 10 5已知点 P 为抛物线 C： 2 4yx上的一个动点，PM 垂直 C的准线，垂足为 M，A点坐标为（7， 8） ，则| |PAPM的最小值是（ ） A7 B8 C9 D1
3、0 6已知椭圆 1 C与双曲线 2 C有相同的左右焦点，分别为 1 F、 2 F，椭圆 1 C的离心率为 1 e，双曲线 2 C 的离心率为 2 e，且两曲线在第二象限的公共点为点 P，且满足 1122 :2:3:4PFFFPF ，则 21 21 2 2 ee ee 的值为（ ） A3 B4 C5 D6 7设 1 F， 2 F为双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a，0b ）的左、右焦点，双曲线 C 与圆 222 xyr的 一个交点为 P，若 12 PFPF r 的最大值为4 2，则双曲线的离心率 e 为（ ） A 2 B3 C2 2 D2 3 8抛物线 2 8xy焦点为 F，准线为
4、l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足，如果直线AF的倾 斜角等于60，那么PF等于( ) A2 3 B4 3 C 8 3 D3 二、多选二、多选题题 9已知双曲线的方程为 2 2 1 4 x y，则双曲线的（ ） A离心率为 5 2 B渐近线方程为 1 4 yx C共轭双曲线为 2 2 1 4 y x D焦点在曲线 22 50 xxtytR上 10 已知直线:23l yx被椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 截得的弦长为7， 则下列直线中被椭圆 C截得的弦长一定为7的有（ ） A 23yx B21yx C 23yx D23yx 11 （多选）已知 1 F、 2 F分别为双曲线
5、22 22 1 xy ab （0a ，0b 且a b）的左右焦点，P为双 曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点下面四个命题正确的是（ ） A 12 PFF的内切圆的圆心必在直线xa上 B 12 PFF的内切圆的圆心必在直线xb上 C 12 PFF的内切圆的圆心必在直线OP上 D 12 PFF的内切圆必经过点( ,0)a 12已知P是椭圆 22 :1 84 xy E上一点， 1 F， 2 F为其左右焦点，且 12 FPF的面积为3，则下列 说法正确的是（ ） AP点纵坐标为3 B 12 2 FPF C 12 FPF的周长为 421 D 12 FPF的内切圆半径为 3 21 2 三、填空题三
6、、填空题 13若双曲线 22 1 5 xy mm 的一个焦点到坐标原点的距离为 3，则 m 的值为_. 14椭圆规是画椭圆的一种工具，如图 1 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一 根旋杆将两个滑标成一体，4MN ，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间， 且3NDMD， 当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出 椭圆，记该椭圆为C.如图 2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在 的直线为y轴，建立平面直角坐标系.则椭圆C的普通方程为_. 15已知双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为
7、1 F， 2 F，过右焦点 2 F作其渐近 线的垂线，垂足为M，交双曲线C右支于点P，若 2 2F PPM，且 12 120FPF，则双曲线C 的离心率为_ 16过抛物线 2 :4C yx的焦点 F的弦 AB满足 3AFFB uuu ruur （点 A在 x轴上方） ，则以 AB 为直径的 圆与该抛物线准线的公共点的坐标为_. 四、解答题四、解答题 17如图，若 12 ,F F是双曲线 22 1 916 xy 的两个焦点. （1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； （2）若P是双曲线左支上的点，且 12 32PF PF，试求 12 FPF的面积. 18探照
8、灯反射镜（如图）的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直 径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标 19如图，椭圆 W： 22 22 1(0) xy ab ba 的焦距与椭圆 ： 2 4 x +y 21 的短轴长相等，且 W 与 的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为 A，直线 l 经过 在 y 轴正半轴上的顶点 B 且与 直线 OA（O 为坐标原点）垂直，l 与 的另一个交点为 C，l 与 W 交于 M，N 两点 （1）求 W 的标准方程： （2）求 BC MN 20椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的两个焦点 1 0Fc ， 2 0F
9、c，设P，Q分别是椭圆C的上、 下顶点，且四边形 12 PFQF的面积为2 3，其内切圆周长为 3. （1）求椭圆C的方程； （2）当bc时，A，B为椭圆C上的动点，且PAPB，试问：直线AB是否恒过一定点？若 是，求出此定点坐标，若不是，请说明理由. 21已知过椭圆方程 2 2 1 2 x y右焦点F、斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点. （1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积； （2）当直线l的斜率为 1 时，求POQ的面积； （3）在线段OF上是否存在点,0M m，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在， 求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 22 在平面直
10、角坐标系xOy中， 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （0ab） 过点 1 3, 2 ， 离心率为 3 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 M是椭圆 C 上一点，且 M 点不在坐标轴上，点,0A a，0,Bb，已知直线MA与 y轴交 于点 P，直线MB与 x轴交于点 Q.求证：AQBP为定值，并求出该定值. 第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 章末检测章末检测（基础基础）解析版解析版 注：本检测满分 150 分。其中 8 道单选题，4 道多选题，4 道填空题，6 道解答题。 一、单选题一、单选题 1抛物线抛物线 2 1 2 xy的焦点坐标为（的焦点坐标为（ ） A
11、1 0 2 ， B 1 0, 2 C 1 ,0 8 D 1 0, 8 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 由解析式可求出焦点的位置，以及 1 4 p ，继而可求出焦点坐标. 【详解】 解：由题意知， 1 2 2 p ，解得 1 4 p ，焦点在y轴正半轴，所以焦点坐标为 1 0, 8 ， 故选:D. 【点睛】 本题考查了已知抛物线的方程求焦点坐标，属于基础题. 2若双曲线若双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的渐近线和圆的渐近线和圆 22 430 xyx相切，则该双曲线的离心相切，则该双曲线的离心 率为（率为（ ） A 2 3 3 B 4 3 C 2 D2 【答案】
12、【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 根据直线和圆线相切，可得圆心到渐近线的距离dr，再结合双曲线的性质，代入即可得解. 【详解】 易知双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的一条渐近线为 0axby， 圆 22 430 xyx的圆心为2,0，半径1r ， 由题意得：圆心到渐近线的距离 22 2 1 a dr ab ， 又因为 222 cab，代入可得： 2 1 a c ， 所以=2 c e a ， 故选：D. 【点睛】 本题考查了求双曲线的离心率，考查了直线和圆的位置关系以及双曲线的性质，考查了计算能力， 这类题型的解题思路是根据条件直接得到, ,a b c之间的关系即可求得
13、离心率，本题属于中档题. 3已知双曲线已知双曲线 22 1 22 11 :1 xy C ab （ 11 0,0ab）与双曲线）与双曲线 22 2 22 22 :1 yx C ab （ 22 0,0ab）有相）有相 同的渐近线同的渐近线2yx ，则下列关系中正确的是（，则下列关系中正确的是（ ） A 121 2 a abb B 2 11 2 2a bab C 1212 aabb D 1212 22aabb 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 根据双曲线方程求渐近线方程，结合条件列方程，即得结果 121 2 a abb，即可选择. 【详解】 22 1 22 11 :1 xy C ab
14、的渐近线方程为 1 1 b yx a ， 22 2 22 22 :1 yx C ab 的渐近线方程为 2 2 a yx b ， 由题意可知 1 1 2 b a ， 2 2 2 a b ，所以 121 2 a abb， 故选：A. 【点睛】 本题考查根据双曲线方程求渐近线方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 4已知已知 12 ,F F分别是双曲线分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，点的左、右焦点，点 P为渐近线上一点，为渐近线上一点，O为坐为坐 标原点，若标原点，若 2 POFV为等边三角形，则为等边三角形，则 C的离心率为（的离心率为（ ） A2 B3
15、 C 5 2 D 10 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 画出双曲线的图像，利用等边三角形的性质可知渐近线的斜率为3，即3 b a ，从而可求离心率. 【详解】 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的图像如下图， 由 2 POFV为等边三角形可知，渐近线 OP 的倾斜角为 2 3 POF ，则渐近线的斜率为 3， 即3 b a ，则 2 12 cb e aa . 故选：A. 【点睛】 本题考查双曲线求离心率的方法，注意充分利用几何性质可简化计算，属基础题. 5已知点已知点 P为抛物线为抛物线 C： ： 2 4yx上的一个动点，上的一个动点，PM垂直垂直 C的准
16、线，垂足为的准线，垂足为 M，A点坐标为（点坐标为（7， 8） ，则） ，则| |PAPM的最小值是（的最小值是（ ） A7 B8 C9 D10 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 根据抛物线定义得| |PMPF,再根据三角形不等式关系确定最小值. 【详解】 设抛物线 C： 2 4yx焦点为F，则| | |,(1,0)PMPFF 所以 22 | | |(7 1)810PAPMPAPFAF 故选：D 【点睛】 本题考查利用抛物线定义求最值，考查数形结合思想方法，属基础题. 6已知椭圆已知椭圆 1 C与双曲线与双曲线 2 C有相同的左右焦点，分别为有相同的左右焦点，分别为 1 F、 2
17、 F，椭圆，椭圆 1 C的离心率为的离心率为 1 e，双曲线，双曲线 2 C 的离心率为的离心率为 2 e，且两曲线在第二象限的公共点为点，且两曲线在第二象限的公共点为点 P，且满足，且满足 1122 :2:3:4PFFFPF ，则，则 21 21 2 2 ee ee 的值为（的值为（ ） A3 B4 C5 D 6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 根据题意，由双曲线与椭圆的定义，结合离心率的概念，分别求出 1 e， 2 e，即可得出结果. 【详解】 因为 1122 :2:3:4PFFFPF ，不妨令 1 2PFm， 12 3FFm， 2 4PFm， 因为点 P 是椭圆与双曲线位
18、于第二象限的交点，记椭圆的长半轴长为 1 a，双曲线的实半轴长为 2 a， 两曲线的焦距为 12 2FFc， 根据椭圆与双曲线的定义可得： 121 26PFPFam， 212 22PFPFam， 因此 1 1 21 22 c e a ， 2 2 23 22 c e a ， 所以 21 21 3 1 2 2 5 3 2 1 2 ee ee . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查求椭圆与双曲线的离心率，属于基础题型. 7设设 1 F， 2 F为双曲线为双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a，0b ）的左、右焦点，双曲线）的左、右焦点，双曲线 C与圆与圆 222 xyr的的 一个交点为一个交
19、点为 P，若，若 12 PFPF r 的最大值为的最大值为4 2，则双曲线的离心率，则双曲线的离心率 e 为（为（ ） A 2 B3 C2 2 D2 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 设 () cos , sinP rrqq，则由双曲线的焦半径公式可得 12 2 cos PFPF e r ，即可得出最大值， 求出e. 【详解】 设 () cos , sinP rrqq，则由双曲线的焦半径公式， 有 12 coscos 2 cos PFPFe rae ra e rr ， 当0时， 12 PFPF r 取得最大值2 4 2e = ，即 2 2e = . 故选：C. 【点睛】 本题
20、考查双曲线的性质，考查焦半径公式的应用，属于中档题. 8抛物线抛物线 2 8xy焦点为焦点为 F，准线为，准线为 l，P为抛物线上一点，为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线为垂足，如果直线AF的的 倾斜角等于倾斜角等于60，那么，那么PF等于等于( )( ) A2 3 B4 3 C 8 3 D3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 根据抛物线几何性质及三角函数关系，结合等腰三角形性质即可求得PF. 【详解】 根据题意，可得抛物线及直线的线段关系如下图所示： 抛物线 2 8xy焦点为 F，则0,2F，准线方程为2x ， 直线AF的倾斜角等于60，即60FAB， 而PAl，所以
21、30FAP ， 由抛物线定义可知PFPA， 因而 30FAPPFA ， 作FEPA于E，则4EA， 60FPE ， 所以 4 3 tan30 3 EFEA， 所以在FEP中， 4 3 8 3 sin6033 2 EF PF ， 故选：C. 【点睛】 本题考查了抛物线标准方程及几何性质的简单应用，属于基础题. 二、多选题二、多选题 9已知双曲已知双曲线的方程为线的方程为 2 2 1 4 x y，则双曲线的（，则双曲线的（ ） A离心率为离心率为 5 2 B渐近线方程为渐近线方程为 1 4 yx C共轭双曲线为共轭双曲线为 2 2 1 4 y x D焦点在曲线焦点在曲线 22 50 xxtytR上
22、上 【答案】【答案】AD 【解析】【解析】 【分析】 由双曲线的离心率的定义，可判定 A正确；由双曲线的渐近线方程，可判定 B不正确；由双曲线的 共轭双曲线的定义，可判定 C 不正确；根据双曲线的焦点为(5,0)F ，代入验证，可判定 D正确. 【详解】 由双曲线的方程为 2 2 1 4 x y，可得 2,1ab，且 22 5cab ， 所以双曲线的离心率为 5 2 c e a ，故 A 正确； 双曲线的渐近线方程为 1 2 b yxx a ，所以 B不正确； 由双曲线的方程为 2 2 1 4 x y，则其共轭双曲线为 2 2 1 4 x y ，所以 C 不正确； 由双曲线的方程为 2 2 1
23、 4 x y的焦点为(5,0)F ，代入曲线 22 50 xxtytR，满足方 程，所以 D正确. 故选：AD. 【点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质，以及共轭双曲线的定义的应用，其中解答中熟记双 曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 10已知直线已知直线: 23l yx被椭圆被椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 截得的弦长为截得的弦长为7，则下列直线中被椭，则下列直线中被椭 圆圆C截得的弦长一定为截得的弦长一定为7的有（的有（ ） A 23yx B21yx C 23yx D23yx 【答案】【答案】ACD 【解析】【解析】 【分析】 根据椭
24、圆的对称性可得出合适的选项. 【详解】 由于椭圆C关于原点、x轴、y轴对称. 对于 A选项，直线23yx与直线l关于原点对称，则直线23yx截椭圆C所得弦长为7，A 选项合乎要求； 对于 B选项，直线21yx与直线l平行，直线21yx截椭圆C所得弦长大于7，B选项不合 乎要求； 对于 C选项，直线23yx 与直线l关于x轴对称，则直线23yx 截椭圆C所得弦长为7， C选项合乎要求； 对于 D选项，直线23yx 与直线l关于y轴对称，则直线23yx 截椭圆C所得弦长为7， D选项合乎要求. 故选：ACD. 【点睛】 本题考查直线截椭圆的弦长问题，考查椭圆对称性的应用，属于基础题. 11 （多（
25、多选）选）已知已知 1 F、 2 F分别为双曲线分别为双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b 且且a b）的左右焦点，）的左右焦点，P为为 双曲线右支上异于顶点的任意一点，双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点下面四个为坐标原点下面四个命题正确的是（命题正确的是（ ） A 12 PFF的内切圆的圆心必在直线的内切圆的圆心必在直线xa上上 B 12 PFF的内切圆的圆心必在直线的内切圆的圆心必在直线xb上上 C 12 PFF的内切圆的圆心必在直线的内切圆的圆心必在直线OP上上 D 12 PFF的内切圆必经过点的内切圆必经过点( ,0)a 【答案】【答案】AD 【解析】【解析】
26、【分析】 设 12 PFF的内切圆分别与 1 PF、 2 PF切于点A、B，与 12 FF切于点M，则可知PAPB， 11 F AFM， 22 F BF M，点 P 在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得 12 2PFPFa，因此 12 2FMF Ma，设M点坐标为,0 x，代入即可求得 x，又因为OP 是 12 PFF的边 12 FF上的中线，所以 12 PFF的内切圆的圆心不一定在中线OP上，最后得出结论 即可 【详解】 设 12 PFF的内切圆分别与 1 PF、 2 PF切于点A、B，与 12 FF切于点M， 则PAPB， 11 F AFM， 22 F BF M， 又点P在双曲线的右支上，
27、所以 12 2PFPFa， 又 11 PAPFAF， 22 PBPFBF， 所以 212112 2PAPBPFPFAFBFAFBFa， 故 12 2FMF Ma， 设点M的坐标为( ,0)x，可得( )()2xccxa ，解得x a ， 所以 12 PFF的内切圆必经过点( ,0)a， 显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴， 所以 12 PFF的内切圆的圆心必在直线xa上， 所以选项 A和 D 正确，B错误， 又因为OP是 12 PFF的边 12 FF上的中线，所以 12 PFF的内切圆的圆心不一定在中线OP上，选 项 C 错误. 故选：AD 【点睛】 本题考查双曲线的应用，考查逻辑思维能力
28、和运算求解能力，属于常考题. 12已知已知P是椭圆是椭圆 22 :1 84 xy E上一点，上一点， 1 F， 2 F为其左右焦点，且为其左右焦点，且 12 FPF的面积为的面积为3，则下列，则下列 说法正确的是（说法正确的是（ ） AP点纵坐标为点纵坐标为3 B 12 2 FPF C 12 FPF的周长为的周长为 421 D 12 FPF的内切圆半径为的内切圆半径为 3 21 2 【答案】【答案】CD 【解析】【解析】 【分析】 设( , )P m n， 利用 12 1 2 2 F PF Scn以及椭圆方程可求出P点坐标， 即可判断 A； 求出 1 PF， 2 PF， 利用韦达定理可判断 B
29、；根据椭圆的定义可判断 C；根据内切圆半径和面积的关系，可判断 D. 【详解】 解：由已知2 2,2,2abc，不妨设( , ),0,0P m n mn， 则 12 1 23 2 F PF Scn 3 2 n，故 A 错； 2 2 3 2 1 84 m ，得 14 2 m ， 14 3 , 22 P ， 2 2 1 14939 22 14 244 PF ， 2 2 2 14939 22 14 244 PF 22 2 12 397 (2 )2 160 42 PFPFc ， 22 2 12 12 (2 ) cos 2 0 L PFPFc FPF PFPF ， 12 2 FPF ，故 B 错； 由椭
30、圆定义， 12 FPF的周长 224 24ac ，故 C正确； 设 12 FPF的内切圆半径为r， 1 (4 24)3 2 r， 3 ( 21) 2 r ，故 D 正确； 故选：CD. 【点睛】 本题考查椭圆的定义，针对焦点三角形的计算要熟练，考查学生计算能力，是中档题. 三、填空题三、填空题 13若双曲线若双曲线 22 1 5 xy mm 的一个焦点到坐标原点的距离为的一个焦点到坐标原点的距离为 3，则，则 m的值为的值为_. . 【答案】【答案】7或2 【解析】【解析】 【分析】 先确定3c ，再根据焦点位置分类讨论，结合双曲线方程列等量关系，解得结果. 【详解】 依题意可知3c ， 当双
31、曲线的焦点在 x 轴上时， 2 5,59mcmm，所以7m ； 当双曲线的焦点在 y 轴上时， 2 0,59mcmm ，所以2m 综上，7m 或2m . 故答案为：7或2 【点睛】 本题考查双曲线方程与几何性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 14椭圆规是画椭圆的一种工具，如图椭圆规是画椭圆的一种工具，如图 1 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一，有一 根旋杆将两个滑标成一体，根旋杆将两个滑标成一体，4MN ，D为旋杆上的一点且在为旋杆上的一点且在M，N两点之间， 且两点之间， 且3NDMD， 当滑标当滑标M在滑槽在滑槽EF内作内作往复运动
32、，滑标往复运动，滑标N在滑槽在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出处可画出 椭圆，记该椭圆为椭圆，记该椭圆为C.如图如图 2 所示，设所示，设EF与与GH交于点交于点O，以，以EF所在的直线为所在的直线为x轴，以轴，以GH所在所在 的直线为的直线为y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系.则椭圆则椭圆C的普通方程为的普通方程为_. 【答案】【答案】 2 2 1 9 x y 【解析】【解析】 【分析】 由已知得出椭圆C的长半轴长为 3，短半轴长为 1，可得出椭圆的方程. 【详解】 由题意得：3ND ，1MD ，所以椭圆C的长半轴长为 3，短半轴长为 1，所
33、以椭圆C的普通 方程为 2 2 1 9 x y， 故答案为： 2 2 1 9 x y. 【点睛】 本题考查求椭圆的方程，关键在于将生活中的数据转化为椭圆的长半轴长和短半轴长，属于基础题. 15已知双已知双曲线曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过右焦点，过右焦点 2 F作其渐近作其渐近 线的垂线，垂足为线的垂线，垂足为M，交双曲线，交双曲线C右支于点右支于点P，若，若 2 2F PPM，且，且 12 120FPF，则双曲线，则双曲线C 的离心率为的离心率为_ 【答案】【答案】 13 2 【解析】【解析】 【分析】 由 2 F
34、 MOM，OM是渐近线，求出 2 F M，从而可得 2 F P，由双曲线定义得 1 FP，然后用余 弦定理得出, ,a b c的等式，从而求得离心率 【详解】 由题意 2( ,0) F c，渐近线方程为 b yx a ，即0bxay， 2 22 bc F Mb ab ， 2 2F PPM， 22 22 33 PFMFb， 由双曲线定义得 12 2PFPFa， 1 2 2 3 PFab， 又 12 2FFc， 12 120FPF， 在 12 PFF中由余弦定理得 222 42221 4(2 )2(2 ) () 93332 cbbabba ， 又 222 cab， 化简得23ba，即 3 2 b
35、a ， 22 2 13 1 ( ) 2 cabb e aaa 故答案为： 13 2 【点睛】 本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于, ,a b c的等式，考查了学生的运算求解能力 16过抛物线过抛物线 2 :4C yx的焦点的焦点 F的弦的弦 AB满足满足 3AFFB uuu ruur （点（点 A在在 x轴上方） ，则以轴上方） ，则以 AB为直径为直径 的圆与该抛物线准线的公共点的坐标为的圆与该抛物线准线的公共点的坐标为_. 【答案】【答案】 2 3 1, 3 【解析】【解析】 【分析】 如图先利用辅助线确定公共点位置，再联立方程得到其坐标即可. 【详解】 如图所示，取 AB 中点
36、 M，分别过 A，B，M 作准线的垂线，垂足依次为 C，D，N， 则 AC/MN/CD，MN是梯形 ABDC 中位线， 根据抛物线定义得，2ABAFBFACBDMN，即 N在以 AB 为直径的圆上， 即 N 即是以 AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点，易见直线 AB 不平行 x轴，方程可设为 1xmy，设 1122 ,A x yB xy 联立方程 2 1 4 xmy yx 得 2 440ymy， 则 1212 4 ,4yym y y ， 又依题意 3AFFB uuu ruur （点 A在 x轴上方） ，故 112 0,3yyy ，解得 12 2 3 2 3, 3 yy ，故 3 3 m .
37、易见 N点坐标为 12 1, 2 yy ，即1,2m，即公共点的坐标为 2 3 1, 3 . 故答案为： 2 3 1, 3 . 【点睛】 本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的综合应用，属于中档题. 四、解答题四、解答题 17如如图，若图，若 12 ,F F是双曲线是双曲线 22 1 916 xy 的两个焦点的两个焦点. （1）若双曲线上一点）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于到它的一个焦点的距离等于16，求点，求点M到另一个焦点的距离；到另一个焦点的距离； （2）若）若P是双曲线左支上的点，且是双曲线左支上的点，且 12 32PF PF，试求，试求 12 FPF的面积的面积. 【答案】
38、【答案】 （1）10或22（2） 12 16 F PF S 【解析】【解析】 【分析】 （1）设点M到另一个焦点的距离为m，由双曲线定义即可求得m的值. （2）由双曲线定义及 12 32PF PF，可证明 222 1212 PFPFFF，即 12 FPF为直角三角形， 即可求得 12 FPF的面积. 【详解】 （1） 12 ,F F是双曲线 22 1 916 xy 的两个焦点， 则3,4,5,abc 设点M到另一个焦点的距离为m， 由抛物线定义可知1626ma， 解得10m 或22m ， 即点M到另一个焦点的距离为10或22. （2）P是双曲线左支上的点， 12 26PFPFa， 则 22 1
39、122 236PFPF PFPF， 代入 12 32PF PF， 可得 2 2 1 2 32 321006PFPF ， 即 22 121 2 2 100PFPFF F， 所以 12 FPF为直角三角形， 所以 12 12 1 1 2 3216 2 F PF SPF PF . 【点睛】 本题考查了双曲线定义及性质的的简单应用，交点三角形面积求法，属于基础题. 18探照探照灯反射镜（如图）的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直灯反射镜（如图）的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直 径为径为60cm，灯深，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标，求
40、抛物线的标准方程和焦点坐标 【答案】【答案】标准方程为 2 45 2 yx，焦点坐标是 45 ,0 8 【解析】【解析】 【分析】 以探照灯的顶点为原点，x轴垂直于灯口直径，建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为 2 2(0)ypx p，然后将点A的坐标(40,30)代入求解. 【详解】 如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点（即抛物线的顶点）与 原点重合，x轴垂直于灯口直径 设抛物线的标准方程为 2 2(0)ypx p， 所以点A的坐标是(40,30)，且在抛物线上，代入方程，得 2 30240p， 解得 45 4 p 故所求抛物线的标准方程为 2 45 2 y
41、x，焦点坐标是 45 ,0 8 【点睛】 本题主要考查抛物线方程的求法，属于基础题. 19如图，椭圆如图，椭圆 W W： 22 22 1(0) xy ab ba 的焦距与椭圆的焦距与椭圆 ： 2 4 x +y+y 2 2 1 1 的短轴长相等，且的短轴长相等，且 W W 与与 的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为 A A，直线，直线 l l 经过经过 在在 y y 轴正半轴上的顶点轴正半轴上的顶点 B B 且与且与 直线直线 OAOA（O O 为坐标原为坐标原点）垂直，点）垂直，l l 与与 的另一个交点为的另一个交点为 C C，l l 与与
42、 W W 交于交于 M M，N N 两点两点 （1 1）求）求 W W 的标准方程：的标准方程： （2 2）求）求 BC MN 【答案】【答案】 （1） 22 1 43 yx ； （2） 31 10 185 . 【解析】【解析】 【分析】 （1）由题意可得 2 22 4 1 a ab ，求出 a2，b2，即可得到 W的标准方程， （2）先求出直线 l的方程为 y3x+1，分别与椭圆 W和椭圆 ，联立方程组，求出 BC和 MN，比 较即可 【详解】 （1）由题意可得 2 22 4 1 a ab ， 2 2 4 3 a b 故 W的标准方程为 22 1 43 yx （2）联立 22 2 2 1 4
43、3 1 4 yx x y 得 2 2 36 13 4 13 x y 2 2 1 9 y x ， 1 3 OA k， 易知 B（0，1）， l的方程为 y3x+1 联立 2 2 31 1 4 yx x y ，得 37x224x0， x0 或 24 37 ， 22424 10 130 3737 BC ， 联立 22 31 1 43 yx yx ，得 31x218x90， 设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 则 12 18 31 xx， 12 9 31 x x ， 22 1212 120 134 31 MNxxx x ， 故 31 10 185 BC MN 【点睛】 本题考查了椭圆的方程和直线
44、和椭圆的位置关系，以及弦长公式，考查了运算能力和转化能力，属 于中档题 20椭圆椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的两个焦点的两个焦点 1 0Fc ， 2 0Fc，设，设P，Q分别是椭圆分别是椭圆C的上、的上、 下顶点，且四下顶点，且四边形边形 12 PFQF的面积为的面积为2 3，其内切圆周长为，其内切圆周长为 3. . （1 1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程； （2 2）当）当bc时，时，A，B为椭圆为椭圆C上的动点，且上的动点，且PAPB，试问：直线，试问：直线AB是否恒过一定点？若是否恒过一定点？若 是，求出此定点坐标，若不是，请说明理由是，求出此定点坐标，若不是，请说明
45、理由. . 【答案】【答案】 （1） 22 1 43 xy 或 2 2 1 4 x y； （2）恒过定点 3 0 7 ， . 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据条件，求出 b，c 的值，从而求出椭圆的方程； （2）设直线AB方程为ykxm，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理及 0AP PB ，求出 m，可得直线AB恒过定点 【详解】 （1）依题意，四边形 12 PFQF的面积为2 3， 则 1 42 3 2 b c ，即 3bc 又四边形 12 PFQF的内切圆周长为 3，记内切圆半径为r， 由2 3r ，得 3 2 r ， 由3bcar得2a ， 又 222 4abc，且3bc ， 故
46、3 1 b c 或 1 3 b c 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy 或 2 2 1 4 x y. （2）因为bc，所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy ，则 03P， 设 11 A xy， 22 B xy，由题意知直线AB斜率存在，设直线AB方程为ykxm， 则由 22 1 43 xy ykxm 得 222 4384120kxkmxm， 则 12 2 8 43 km xx k 2 12 2 412 43 m x x m 2222 64434120 *k mkm， 由PAPB，可得 0AP PB ，即 1212 00330 xxyy 即 121212 330 x xy yyy，又 11 ykxm， 22 ykxm 所以 2222 22 412412 4343 mk mk kk 222 2 22 88 3 2 330 4343 k mk m mm kk 整理得 2 2 76 33 0 43 mm k 解得3m （舍去）或 3 7 m 又 3 7 m 满足 *式 故直线AB方程为 3 7 yk
