1、 1 20202020 年西山高中数学竞赛年西山高中数学竞赛 高一试卷高一试卷 一、一、 选择题（本大题共选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 3 32 2 分，每小题有且仅有一个正确的答案）分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1已知集合21 |B,0 2 1 |A xx x x x，则 AB（ ） A21 | xxB21 | xxC21 | xxD21 | xx 2函数1 1 1 x y的图象是下列图象中的（ ） 3设)(xf是R上的偶函数，且在, 0上单调递增，则下列正确的是（ ） A)0()3(ff B)3()2(ff C) 1 ()2(ff D)
2、2- ()3(ff来 4函数23 2 xxy的递增区间是（ ） A( 2 3 , +) B （2,+） C （-, 2 3 ） D,1)(- 5.已知函数4 , 0, 33)( 2 xxxxf， 当ax时，)(xf取得最大值b， 则 1 x b g x a 的图象为 （ ） 6 已知函数 ( )yf x 的定义域为,11,， 且 (1 )f x 为奇函数， 当1x时， 2 ( )2f xxx， 2 则 1 ( ) 2 f x 的所有根之和等于（ ） A4 B5 C6 D12 7对于定义域内任意实数yx,，若满足 2 )()( ) 2 ( yfxfyx f ，则称)(xf为下凸函数。那么下列 函
3、数是下凸函数的是（ ） Axxf 2 log)(B 3 )(xxfC x exf)(D 0,2 0, )( xx xx xf 8 某金店用一杆不准确的天秤(两边臂不等长)称黄金， 某顾客要购买黄金， 售货员先将的 砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放 于左盘使之平衡后又给顾客， 则顾客实际所得黄金 （ ） (杠杆原理： 动力动力臂=阻力阻力臂) A大于 B小于C大于等于 D小于等于 二、二、填空题（本大题共填空题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 3636 分分. .） 9已知集合1,2,3BA， BAf:
4、为从集合A到集合 B 的一个函数，那么这样的函数值域的 不同情况有_种. 10.已知函数是(，)上的减函数，则 a 的取值范围是_co 11.设, 4321 Nxxxx且54,36,1841 |kjixxx kji ，则 4321 xxxx 12.若函数 24 0,1 x f xaaa 且 19f，则 f x的单调减区间是 13定义 bab baa ba , , ,max，已知,)(,2 , 11max)(baxxgxxxf若)()(xgxf对于 ), 1 x恒成立，则ba2的最小值是 1414设 100 311 , yx Nyx则方程的解的个数有个 10g5g 5g 10 g10 g10 g
5、10 g 3 20202020 年西山高中数学竞赛年西山高中数学竞赛 高一答题卷高一答题卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 3 32 2 分分. .每小题有且仅有一个正确的答案）每小题有且仅有一个正确的答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 3636 分分. . 请将正确的答案填在横线上）请将正确的答案填在横线上） 9._ 10._11._ 12._13._ 14._ 三、三、 解答题（本大题共解答题（本大题
6、共 3 3 小题，第小题，第 1515、1616 题各题各 1010 分分, ,第第 1717 题题 1212 分分, ,满分满分 3232 分分. .要求写出必要求写出必 要的解答过程）要的解答过程） 15已知全集0|Uxx，集合 103|,62|AxxBxx，23|axaxC （1）求 BA)(CB,A U （2）若CBA）（，求a的取值范围 16.北京、张家港 2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活 动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万 件 （1）据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少
7、 2000 件，要使销售的总收入不低 于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ 4 （2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面 技术革新和营销策略改革，并提高定价到 x 元公司拟投入(x2-600)万作为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量 a 至少 应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的 每件定价 17对于定义在D上的函数 yf x，若同时满足：存在闭区间, a bD，使得任取 1 ,xa b， 都有 1 f xc（c是常数） ；对于D内任意 2
8、x，当 2 ,xa b时总有 2 f xc ，则称 f x为D上 1 6 5 x 5 的“平底型”函数。 （1） 分别判断函数 ,1)(,1)( 22 xxxgxxxf 是否为 R 上 “平底型” 函数，（无需说明理由） （2）若函数nnxxmmxxh 2422 2)(是 R 上的“平底型”函数，求 2 3 m n 的取值范围 20202020 年西山高中数学竞赛年西山高中数学竞赛 高一试卷高一试卷 二、二、 选择题（本大题共选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 3 32 2 分，每小题有且仅有一个正确的答案）分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1已知集
9、合21 |B,0 2 1 |A xx x x x，则 AB（ A） A21 | xxB21 | xxC21 | xxD21 | xx 2函数1 1 1 x y的图象是下列图象中的( C ) 6 3设)(xf是R上的偶函数，且在, 0上单调递增，则下列正确的是（ C ） A)0()3(ff B)3()2(ff C) 1 ()2(ff D)2- ()3(ff来 4 函 数23 2 xxy的 递 增 区 间 是 （ B ） A( 2 3 , +) B （2,+） C （-, 2 3 ） D,1)(- Com 5.已知函数4 , 0, 33)( 2 xxxxf， 当ax时，)(xf取得最大值b， 则
10、1 x b g x a 的图象为 （ D） 6 已知函数 ( )yf x 的定义域为,11,， 且 (1 )f x 为奇函数， 当1x时， 2 ( )2f xxx， 则 1 ( ) 2 f x 的所有根之和等于（ A） A4 B5 C6 D12 7对于定义域内任意实数yx,，若满足 2 )()( ) 2 ( yfxfyx f ，则称)(xf为下凸函数。那么下列 函数是下凸函数的是（ C ） 7 Axxf 2 log)(B 3 )(xxfC x exf)(D 0,2 0, )( xx xx xf 8 某金店用一杆不准确的天秤(两边臂不等长)称黄金， 某顾客要购买黄金， 售货员先将的 砝码放在左盘
11、，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放 于左盘使之平衡后又给顾客， 则顾客实际所得黄金 （A） (杠杆原理： 动力动力臂=阻力阻力臂) A大于 B小于C大于等于 D小于等于 三、三、填空题（本大题共填空题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 3636 分分. .） 10已知集合1,2,3BA， BAf: 为从集合A到集合 B 的一个函数，那么这样的函数值域 的不同情况有_7_种. 10.已知函数是(，)上的减函数，则 a 的取值范围是_ 2 , 0 _co 11.设, 4321 Nxxxx且54,36,1841 |kjixx
12、x kji ，则 4321 xxxx 14 12.若函数 24 0,1 x f xaaa 且 19f，则 f x的单调减区间是,2 16定义 bab baa ba , , ,max，已知,)(,2 , 11max)(baxxgxxxf若)()(xgxf对于 ), 1 x恒成立，则ba2的最小值是 5 17设 100 311 , yx Nyx则方程的解的个数有 12 个 20202020 年西山高中数学竞赛年西山高中数学竞赛 10g5g 5g 10 g10 g10 g10 g 8 高一答题卷高一答题卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分
13、，满分 3 32 2分分. .每小题有且仅有一个正确的答案）每小题有且仅有一个正确的答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 3636 分分. . 请将正确的答案填在横线上）请将正确的答案填在横线上） 9._ 10._ 11._12._ 13._ 14._ 四、四、 解答题（本大题共解答题（本大题共 3 3 小题，第小题，第 1515、1616 题各题各 1010 分分, ,第第 1717 题题 1212 分分, ,满分满分 3232 分分. .要求写出必要求写出必 要的解答过程
14、）要的解答过程） 18已知全集0|Uxx，集合 103|,62|AxxBxx，23|axaxC （1）求 BA)(CB,A U （2）若CBA）（，求a的取值范围 解答： （1）102|BAxx， 106|BA)(CUxx-6 分 （2）8a -10 分 16.北京、张家港 2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活 动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万 件 （1）据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2000 件，要使销售的总收入不低于原 收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住申
15、奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面 技术革新和营销策略改革，并提高定价到 x 元公司拟投入(x2-600)万作为技改费用，投入 50 1 6 9 万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量 a 至少 应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的 每件定价 18.18.解析解析：(1)设每件定价为t元，依题意得: 2 25 (80.2)25 86510000 1 2540 t ttt t 化简得 解得 所以最高定价为 40 元. -4 分 (2)依题意得: 2 11 2525 850600
16、65 15011 25 65 1501 30 6 10.2 xaxxx xax x yxx x a 当时有有解， 即时，有解 由函数的单调性可得，当时，函数有最小值 即 所以销售至少达 10.2 万件，每件定价 30 元 -10 分 17对于定义在D上的函数 yf x，若同时满足：存在闭区间, a bD，使得任取 1 ,xa b， 都有 1 f xc（c是常数） ；对于D内任意 2 x，当 2 ,xa b时总有 2 f xc ，则称 f x为D上 的“平底型”函数。 （1） 分别判断函数 ,1)(,1)( 22 xxxgxxxf 是否为 R 上 “平底型” 函数，（无需说明理由） （2）若函数
17、nnxxmmxxh 2422 2)(是 R 上的“平底型”函数，求 2 3 m n 的取值范围 解答： （1）函数 )(xf 不是“平底型”函数 -2 分 函数 )(xg 是“平底型”函数 -4 分 （2）若函数nnxxmmxxh 2422 2)(是 R 上的“平底型”函数 5 x 10 则存在Rc， 使得 cxh)( 在某个闭区间上的任意实数x恒成立， -6 分 即 cnnxxmmx 2422 2 ， 2242 2mxcnnxxm 2 2242 2mxcnnxxm即 222 22ccmxnnx恒成立 所以 2 mn ， -8 分 当0m时，不满足“平底型”函数条件，所以0m -10 分 所以 2 3 4 2 1 2 2 3 2 3 2 m m m m m n -12 分 (哇！终于做完了，不要得意哦，别忘记检查，我易人亦易，我难人亦难，做到自己最高的水平 就是胜利，不留下任何做题的遗憾!)
