1、 福建省漳州市福建省漳州市 2019-2020 学年高二上学期期末数学试题学年高二上学期期末数学试题 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 1已知命题: 0, 2 px ，sinxx，则 p 为（ ） A 0, 2 x ，sinxx B 0 0, 2 x ， 00 sin xx C 0, 2 x ，sinxx D 0 0, 2 x ， 00 sin xx 2某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本 进行某项调查.若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有（ ） A420 人 B480 人 C840 人 D960 人 3已知双曲线 22 22
2、 1(0,0) xy ab ab 的离心率是2，则其渐近线方程为（ ） A30 xy B30 xy C20 xy D20 xy 4设xR，则“20 x ”是“11x”的（ ） A充要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 5若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中4AB ，B C=2，则质 点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ） A 8 B 6 C 4 D 2 6在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABAA，则异面直线 1 AB与 1 AC所成角的余 弦值为（ ） A 1 4 B 1 2 C 1 2 D 1 4 7若函数 ( )lnf xxk
3、x 在区间(1,)单调递增，则k的取值范围是（ ） A( , 2 B(,1 C2,) D1,) 试卷第 2 页，总 5 页 8设函数( )fx 是奇函数的导函数， ( )f x（xR） ，( 2 ) 0f ，当0 x时， ( )3 ( )0 xfxf x ，则使得( )0f x 成立的x的取值范围是（ ） A( , 2)(0,2) B( 2,0)(2,) C( , 2)( 2,0) U D(0,2)(2,) 9下列命题中真命题的是（ ） A若实数x，y满足1xy ，则x，y互为倒数 B面积相等的两个三角形全等 C设mR，“若m1 ，则方程 2 0 xxm有实根”的逆否命题 D“若 6 x ，则
4、 1 sin 2 x ”的逆命题 10“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运 动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的 数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下 列结论正确的是（ ） A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在9月 C月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数 D1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳 11设椭圆 2 2 :1 2 x Cy的左右焦点为 1 F， 2 F，P是C上的动点，则下列结论正确的 是（ ） A 12 2 2PFPF B离心率 6 2 e C 12 P
5、FF面积的最大值为 2 D以线段 12 FF为直径的圆与直线 20 xy相切 12定义在区间 1 ,4 2 上的函数 f x的导函数 fx 图象如图所示，则下列结论正 确的是（ ） A函数 f x在区间 0,4单调递增 B函数 f x在区间 1 ,0 2 单调递减 C函数 f x在1x 处取得极大值 D函数 f x在0 x处取得极小值 13同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为 5的概率是 14 已知函数( )cos 2 x f xx，( )fx 为 ( )f x的导函数， 则 6 f 的值为_ 15已知向量 (1, 1,2)a ，( 1,0,1)b ，且满足 kabab，则k的值为 _
6、16 设抛物线 2 4yx的焦点为F， 过点F作直线l与抛物线交于A，B两点， 点M满 足 1 2 OMOAOB，过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若2PF ，则点P 的横坐标为_，AB _ 17已知函数( ) x f xxe. （1）求曲线( )yf x在点0,0处的切线方程； （2）求 ( )f x在区间 2 2 ,上的最大值与最小值 18已知双曲线E的两个焦点为 1( 2,0) F ， 2(2,0) F，并且E经过点P(2,3). 试卷第 4 页，总 5 页 （1）求双曲线E的方程； （2）过点 (0,1)M 的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程. 19 某手机厂商在销售
7、某型号手机时开展“手机碎屏险”活动.用户购买该型号手机时可选 购“手机碎屏险”，保费为x元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕，为了 合理确定保费x的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y表示保费 为x元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例） ： （1）根据上面的数据计算得 5 1 19.2 ii i xxyy ，求出y关于x的线性回归方 程； （2）若愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例超过0.50，则手机厂商可以获利，现从表 格中的5种保费任取2种，求这2种保费至少有一种能使厂商获利的概率. 附： 回归方程 ybxa 中斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 2 1 n i
8、i i n i i xxyy b xx ， aybx 20在如图所示的六面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ABEF是梯 形，/AFBE，平面ABCD平面ABEF，22BEAF， 3EF . （1）在图中作出平面 ABCD与平面DEF的交线，并写出作图步骤，但不要求证明； （2）求证：/AC平面DEF； （3）求平面ABEF与平面ECD所成角的余弦值 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ， ( ,0)A a ，(0, )Bb， (0,0)O ， OAB的面积为3 （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点F作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q
9、两点，连接AP，AQ分 别交直线3x 于，M，N两点，若直线MF，NF的斜率分别为 1 k， 2 k，试问： 12 k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由 22已知函数 2 ( )ln(21)f xxaxax，aR，( )fx 为 ( )f x的导函数 （1）若 1 1 2 f ，求a的值； （2）讨论 ( )f x的单调性； （3）若( )( )1g xf xa恰有一个零点，求a的取值范围 参考答案参考答案 1B 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项. 【详解】 原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故 B 选项正确，D 选项不
10、正确. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查全称命题的否定，属于基础题. 2C 【解析】 【分析】 先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果. 【详解】 由题意需要从 1800 人中抽取 90 人，所以抽样比为 901 180020 ， 又样本中高一年级学生有 42 人，所以该校高一年级学生共有42 20840人.故选 C 【点睛】 本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型. 3A 【解析】 【分析】 利用离心率求得 b a ，由此求得渐近线方程. 【详解】 依题意 2 12,3 cbb aaa ，所以渐近线方程为3yx ，即30
11、 xy. 故选：A 【点睛】 本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 2 页，总 17 页 4C 【解析】 【分析】 首先解两个不等式，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项. 【详解】 由20 x解得2x.由11x得11 1,02xx .所以“20 x”是 “11x”的必要而不充分条件 故选：C 【点睛】 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 5C 【解析】 【分析】 利用几何概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】 依题意，长方体的面积为4 28 ，半圆的面积为 2 1 22
12、 2 ，所以质点落在以AB为 直径的半圆内的概率是 2 84 . 故选：C 【点睛】 本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题. 6D 【解析】 【分析】 作出异面直线所成的角，解三角形求得其余弦值. 【详解】 设 11 ACACP，Q是 11 BC的中点，所以 1 / /PQAB，所以 1 APQ是两条异面直线所成 的角（或补角）.在三角形 1 APQ中 1 1 2 2 PQAB, 1 3AQ, 11 1 2 2 APAC，所以 1 2231 cos 4222 APQ .所以异面直线 1 AB与 1 AC所成角的余弦值为 1 4 . 故选：D 【点睛】 本小题主要考查异面直线所成角的求法，属
13、于基础题. 7B 【解析】 【分析】 利用函数 f x在区间(1,)上的导函数为非负数列不等式，解不等式求得k的取值范围. 【详解】 依题意 10 k fx x 在区间(1,)上恒成立，所以kx，所以1k .所以实数k的取 值范围是(,1. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查利用导数， 根据函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围， 属于基础题. 8A 【解析】 【分析】 构造函数 3 0 f x g xx x ， 当0 x时， 根据已知条件， 判断出 0g x .当0 x时， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 4 页，总 17 页 根据 g x为偶函数， 判断出
14、g x的单调性.结合 220gg， 求得使得( )0f x 成 立的x的取值范围. 【详解】 由于 f x是定义在R上的奇函数，所以 00,220fff.构造函数 3 0 f x g xx x ， 当0 x时， 4 3 0 xfxf x gx x ， 所以 g x在,0上 递增，由于 333 fxf xf x gxg x xx x ，所以 g x为偶函数，所以 g x 在区间0,上递减且 220gg.所以当2x时， 0g x ， 0f x ；当 02x时， 0g x ， 0f x .所以使得 ( )0f x 成立的x的取值范围是 (, 2)(0,2) . 故选：A 【点睛】 本小题主要考查利用
15、导数研究不等的解集，考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题. 9AC 【解析】 【分析】 A利用倒数的知识进行判断；B利用全等三角形的知识进行判断；C 利用原命题的真假性来 判断；D利用原命题的逆命题的真假性来判断. 【详解】 对于 A选项，根据倒数的知识可知，A选项正确. 对于 B选项，两个三角形的面积相等，不一定是全等三角形，所以 B 选项错误. 对于 C选项，当m1时，1 40m ，所以方程 2 0 xxm有实根，为真命题， 故其逆否命题为真命题，所以 C选项正确. 对于 D选项，原命题的逆命题为“若 1 sin 2 x ，则 6 x ”不正确，因为 5 6 x 也可以， 所以 D选项为假
16、命题. 综上所述，正确的为 AC. 故选：AC 【点睛】 本小题主要考查命题真假性的判断，考查逆否命题、逆命题真假性，属于基础题. 10BCD 【解析】 【分析】 根据折线图，判断 A,B,D 选项的正确性，判断出中位数所在的月份，由此判断 C 选项的正 确性. 【详解】 根据折线图可知，7月跑步里程下降了，故 A 选项错误. 根据折线图可知，9月的跑步里程最大，故 B 选项正确. 一共11个月份，里程中间的是从小到大的第6个，根据折线图可知，跑步里程的中位数为8 月份对应的里程数，故 C 选项正确. 根据折线图可知，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳， 故 D
17、选项正确. 综上所述，正确的选项为 BCD. 故选：BCD 【点睛】 本小题主要考查折线图，考查图表分析、数据处理能力，属于基础题. 11AD 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义判断 A 选项正确性，根据椭圆离心率判断 B 选项正确性，求得 12 PFF面积 的最大值来判断 C 选项的正确性，求得圆心到直线20 xy的距离，与半径c比较， 由此判断 D选项的正确性. 【详解】 对于 A选项，由椭圆的定义可知 12 22 2PFPFa，所以 A选项正确. 对于 B选项，依题意2,1,1abc，所以 12 22 c e a ，所以 B选项不正确. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考
18、。 答案第 6 页，总 17 页 对于 C选项， 12 22FFc，当P为椭圆短轴顶点时， 12 PFF的面积取得最大值为 1 21 2 c bc b ，所以 C 选项错误. 对于 D选项， 线段 12 FF为直径的圆圆心为0,0， 半径为1c， 圆心到直线 20 xy 的距离为 2 1 2 ，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段 12 FF为直径的圆与直线 20 xy相切，所以 D 选项正确. 综上所述，正确的为 AD. 故选：AD 【点睛】 本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属 于基础题. 12ABD 【解析】 【分析】 根据导函数图像判断出
19、函数 f x的单调性和极值，由此判断出正确选项. 【详解】 根据导函数图像可知， f x在区间,0上， 0fx ， f x单调递减， 在区间0, 上， 0fx ， f x单调递增.所以 f x在0 x处取得极小值，没有极大值. 所以 A,B,D 选项正确，C选项错误. 故选：ABD 【点睛】 本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题 13 【解析】 【分析】 【详解】 列表如下： 从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有 36 种，这些结果出现的可能性相等 点数的和为 5 的结果共有 4种： （1，4） ， （2，3） ， （4，1） ， （3，2） 点数的和为 5 的概
20、率 P= 故答案为 141 【解析】 【分析】 求得函数的导函数 fx，由此求得 6 f 的值. 【详解】 依题意 1 sin 2 fxx ，所以 111 sin1 66222 f . 故答案为：1 【点睛】 本小题主要考查导数的计算，属于基础题. 15 1 5 【解析】 【分析】 先求得,kaabb，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得k的值. 【详解】 依题意21,21 , 1,1kabkkkab，由于kaabb，所以 0abkab， 即 2 , 1 ,1122,01122,kkkkk k， 解得 1 5 k . 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 8 页
21、，总 17 页 故答案为： 1 5 【点睛】 本小题主要考查空间向量垂直的坐标表示，考查空间向量的线性运算，属于基础题. 161 8 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义， 求得P点的坐标， 设出直线l的方程， 联立直线的方程和抛物线的方程， 利用韦达定理，求得M点坐标的表达式，根据 ,P M两点的纵坐标相同列方程，解方程求 得直线l的斜率，由此求得AB. 【详解】 由于点M满足 1 2 OMOAOB，所以M是线段AB的中点.抛物线的焦点坐标为 1,0F，准线方程为1x.设 00 ,P x y，由于P在抛物线上，且2PF ，根据抛物线 的定义得 0 12x ，所以 0 1x ，则 0 2y ，
22、不妨设1,2P.若直线l斜率不存在，则 1,2 ,1, 2AB，则1,0M，此时M的纵坐标和P的纵坐标不相同，不符合题意.所以 直线l的斜率存在.设 1122 ,A x yB x y，设直线l的方程为1yk x，代入抛物线方 程并化简得 2222 240k xkxk ，则 1212 2 4 2,1xxxx k .由于M是线段AB 中点，所以 1212 , 22 xxyy M ，而1,2P，所以 12 2 2 yy ，即 12 4yy ，即 1212 2 44 112224k xk xk xxkkk kk ，解得1k .所以 12 246xx，所以3,2M，则M到准线1x的距离为4，根据抛物线的
23、定义结 合中位线的性质可知4 28AB . 故答案为：(1). 1 (2). 8 【点睛】 本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中 档题. 17 （1）y x ； （2）最大值为 2 2e，最小值为 1 e 【解析】 【分析】 （1）求得函数 f x在0 x时的导数，由点斜式求得切线方程. （2） 利用导数求得 f x的单调区间， 区间端点的函数值和极值点的函数值， 由此求得 ( )f x 在区间2 2 ,上的最大值与最小值. 【详解】 （1）由题意得( )(1) x fxxe ， 则(0)1f ， 所以曲线( )yf x在点(0,0)处的切线方程为0
24、0yx，即y x ； （2）令( )0fx ，得1x， 当21x 时，( )0fx ，当12x 时，( )0fx ， 所以 ( )f x在( 2, 1) 上单调递减，在()1,2-上单调递增， 又 22 ( 2)2,(2)2fefe ，所以 2 max ( )(2)2f xfe， 所以 ( )f x在 2 2 ,上的最大值为 2 2e，最小值为 1 e . 【点睛】 本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求函数的最值，属于基础题. 18 （1） 2 2 1 3 y x ； （2）31yx 或 21yx 【解析】 【分析】 （1）利用c， 2,3P 以及 222 cab列方程组，解方程组
25、求得 22 ,a b，由此求得双曲线E 的方程. （2）当直线l斜率不存在时，直线与双曲线没有交点.当直线l斜率存在时，设出直线l的方 程，联立直线l的方程和双曲线的方程，消去y得到 22 3240kxkx ，根据二次项 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 10 页，总 17 页 系数和判别式进行分类讨论，由此求得直线l的方程. 【详解】 （1）由已知可设双曲线E的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 则 22 222 2 49 1 c ab cab ， 解得 2 2 1 3 a b ， 所以双曲线E的方程为 2 2 1 3 y x . （2）当直线
26、l斜率不存在时，显然不合题意 所以可设直线l方程为1ykx， 联立 2 2 1 1 3 ykx y x ，得 22 3240 *kxkx， 当 2 30k，即3k 或3k ，方程 *只有一解，直线l与双曲线E有且仅有一 个公共点，此时，直线l方程为31yx ， 当 2 30k，即3k ，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 则 22 ( 2 )4 3( 4)0kk ，解得2k ， 此时，直线l方程为21yx ， 综上所述，直线l的方程为31yx 或21yx . 【点睛】 本小题主要考查双曲线方程的求法，考查根据直线和双曲线交点个数求参数，属于中档题. 19 （1）0.01920.976 y
27、x ； （2） 7 10 【解析】 【分析】 （1）利用回归直线方程计算公式，计算出y关于x的线性回归方程. （2）利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】 （1）由30 x ，0.4y ， 5 1 19.2 ii i xxyy ， 5 2 1 1000 i i xx ， 得 5 1 5 2 1 0.0192 ii i i i xxyy b xx 0.976aybx 所以y关于x的回归直线方程为 0.01920.976yx . （2）现从表格中的5种保费任选2种，所有的基本事件有： (10,20)，(10,30)，(10,40)，(10,50)，(20,30)，(20,40
28、)，(20,50)，(30,40)，(30,50)， (40,50)，共有10种. 其中至少有一种保费能使厂商获利的基本事件有：(10,20)，(10,30)，(10,40)，(10,50)， (20,30)，(20,40)，(20,50)，共7种. 所以从表格中的5种保费任选2种，其中至少有一种保费能使厂商获利的概率为 7 10 . 【点睛】 本小题主要考查回归直线方程的计算，考查古典概率问题的求解，属于基础题. 20 （1）见解析； （2）见解析； （3） 21 7 【解析】 【分析】 （1）延长BA与EF相交于点P，连接PD，根据公理1和公理3可知，PD即是所求. （2）通过证明四边形A
29、CDP是平行四边形，证得/ACPD，由此证得/AC平面DEF. （3）利用勾股定理计算出AB，建立空间直角坐标系，通过平面ABEF和平面ECD的法向 量，计算出二面角的余弦值. 【详解】 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 12 页，总 17 页 （1）延长BA与EF相交于点P，连接PD，则直线 PD 就是平面ABCD与平面DEF的 交线. （2）因为2BEAF，/AFBE，所以AF是PBE的中位线，故PAAB， 因为CDAB，所以CDPA，且/CDPA， 所以四边形ACDP是平行四边形，所以/ACPD， 因为AC 面DEF，PD 面DEF， 所以/AC平面DEF.
30、（3）在平面ABEF内，过点A作FE的平行线交BE于点G，又/AFGE，所以四边形 AGEF为平行四边形，所以3AGFE，1GEAF，1BGBEBG，又因 为2AB ，所以 222 ABAGBG， 所以ABG为直角三角形， 且90AGB，30GAB，60ABG. 在平面ABEF内，过点A作AB的垂线交EF于点H， 又因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB， 所以AH 面ABCD. 以A为坐标原点，AD的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向，AH的方向为z轴 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 则 (0,0,0)A ，(2,0,0)D，(2,2,0)C，0,1
31、, 3E， 所以(0,2,0)DC ，2,1, 3DE ， 设( , , )nx y z是平面ECD的法向量， 则 0 0 n DC n DE ，即 20 230 y xyz ，所以可取3,0,2n . 因为(2,0,0)AD 是平面ABEF的法向量， 所以 21 cos, 7 AD n AD n AD n ， 所以平面ABEF与平面ECD所成角的余弦值 21 7 . 【点睛】 本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力， 属于中档题. 21 （1） 22 1 43 xy ； （2） 12 k k为定值 9 16 ，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）结合
32、椭圆离心率、OAB的面积、 222 abc列方程组，解方程组求得 22 ,a b，由 此求得椭圆的标准方程. （2）当直线l斜率不存在时，求得,P Q两点的坐标，由此求得直线,AP AQ的方程，进而 求得,M N两点的坐标，由此求得 1 k， 2 k，求得 12 9 16 k k .当直线l斜率存在时，设直线l 方程为 (1)yk x ， 联立直线的方程和椭圆方程， 写出韦达定理， 求得直线,AP AQ的方程， 进而求得,M N两点的坐标， 由此求得 1 k， 2 k， 结合韦达定理计算 12 9 16 k k .由此证得 12 k k 为定值 9 16 . 【详解】 （1）由题意得 222
33、1 2 1 3 2 c a ab abc ， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 14 页，总 17 页 解得 2 2 4 3 a b ， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy . （2）由（1）知(1,0)F，(2,0)A， 当直线l斜率不存在时，直线l方程为1x ， 联立 22 1 1 43 x xy ，得 1 3 2 x y ， 不防设 3 1, 2 P ， 3 1, 2 Q ， 则直线AP方程为 3 2 (2) 1 2 yx ， 令3x ，得 3 2 y ，则 3 3, 2 M ， 此时， 1 3 3 2 3 14 k ， 同理 2 3 4 k ， 所以
34、12 339 4416 k k ， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为 (1)yk x ， 联立 22 (1) 1 43 yk x xy ，得 2222 3484120kxk xk ， 设 11 ,P x y， 22 ,Q xy， 则 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 1 2 2 412 34 k x x k ， 直线AP方程为 1 1 (2) 2 y yx x ， 令3x ，得 1 1 2 y y x ，则 1 1 3, 2 y M x ， 同理 2 2 3, 2 y N x ， 所以 1 1 11 1 11 12 3 12222 y k xxy k xx ， 2 2 22 2
35、22 12 3 12222 y k xxy k xx ， 所以 2 1212 12 12 121212 111 22 22424 kx xxxk xk x k k xxx xxx 22 2 2222 22 22222 22 4128 1 412834 34349 1641284 412 1612 16 424 3434 kk k kkkk kk kkkkk g kk 综上所述， 12 k k为定值 9 16 . 【点睛】 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考 查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 22 （1）0a； （2）见解析；
36、（3） 0a 或 1 2 a 【解析】 【分析】 （1）利用 1 1 2 f 列方程，解方程求得a的值. （2） 求得函数 f x的导函数 fx， 对a分成 111 0,0, 222 aaaa等四种情况， 分类讨论 f x的单调区间. （3）结合（1）求得的 f x的单调区间，判断出 g x的单调区间，结合a的取值范围、 零点的存在性定理进行分类讨论，由此求得a的取值范围. 【详解】 （1） 1 ( )2(21)(0)fxaxax x 由 1 1 2 f ，得2211aa，得0a； 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 16 页，总 17 页 （2） 1(1)(21)
37、( )2(21)(0) xax fxaxax xx 当0a 时，令( )0fx ，得01x，令( )0fx ，得1x ， 所以 f x在0,1上单调递增，在(1,)上单调递减； 当0a时，令( )0fx ，得 1 1x ， 2 1 2 x a ， i）当 1 2 a 时， 2 (1) ( )0 x fx x ，所以 ( )f x在(0,)上单调递增； ii）当 1 2 a 时，令( )0fx ，得 1 0 2 x a 或1x ；令( )0fx ，得 1 1 2 x a ， 所以 f x在 1 0, 2a 和(1,)单调递增，在 1 ,1 2a 单调递减； iii）当 1 0 2 a时，令( )
38、0fx，得01x或 1 2 x a ；令( )0fx ，得 1 1 2 x a ， 所以 f x在0,1和 1 , 2a 单调递增，在 1 1, 2a 单调递减； 综上：当0a 时， f x在0,1上单调递增；在(1,)单调递减； i）当 1 2 a 时， f x在(0,)上单调递增； ii）当 1 2 a 时， f x在 1 0, 2a 和(1,)单调递增，在 1 ,1 2a 单调递减； iii）当 1 0 2 a时， f x在0,1和 1 , 2a 单调递增，在 1 1, 2a 单调递减； （3）当0a 时，由（2）知， f x在0,1单调递增，在(1,)单调递减，所以( )g x在 0,
39、1单调递增，在(1, )单调递减，又因为(1)0g ，所以( )( )1g xf xa恰有一个 零点1，符合题意； i）当 1 2 a 时， f x在(0,)单调递增， 所以( )g x在(0,)单调递增，又(1)0g， 所以( )g x在恰有一个零点，符合题意； ii）当 1 2 a 时， f x在 1 0, 2a 单调递增，在 1 ,1 2a 单调递减，在(1,)单调递增， 所以( )g x在 1 0, 2a 单调递增，在 1 ,1 2a 单调递减，在(1,)单调递增， 因为 (1)0g，所以1是函数 ( )g x的一个零点，且 1 0 2 g a ， 当 1 0, 2 x a 时，取 1
40、 0 0 a xe 且 0 1 2 x a ， 则 2 00 (21)1axaxa 2 000 211axxaxaa ， 0 110g xaa 所以 0 1 0 2 gg x a ，所以( )g x在 1 0, 2a 恰有一个零点， 所以( )g x在区间(0,)有两个零点，不合题意； iii）当 1 0 2 a时，( )f x在(0,1)单调递增，在 1 1, 2a 单调递减，在 1 , 2a 单调递增， 所以( )g x在(0,1)单调递增，在 1 1, 2a 单调递减，在 1 , 2a 单调递增， 又因为( )0g x ，所以1是函数( )g x的一个零点，且 1 0 2 g a ， 又因为 11 1ln 10g aa ，所以 11 10 2 gg aa ， 所以( )g x在区间有两个零点，不合题意； 综上a的取值范围为0a 或 1 2 a . 【点睛】 本小题主要考查导数的计算， 考查利用导数研究函数的单调性， 考查利用导数研究函数的零 点，考查零点的存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
