1、2020-2021 秋学期高二期末复习 一、数列 2019-2020 常州常州市市期末期末 9 周髀算经中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清 明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春 分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的日影子长为( ) A12.5 尺 B10.5 尺 C15.5 尺 D9.5 尺 【解答】解：设此等差数列 n a的公差为d， 则 1471 3937.5aaaad+=+=， 1 114.5ad+=， &
2、nbsp;解得：1d = ， 1 15.5a = 故选：C 15 若数列 n a的通项公式为 1 2n n a =， 数列 n b满足 * 2 2122 1 log() loglog nn nn banN aa + =+， 则数列 n b的前 10 项和为 505 11 【解答】 解： 由题意可得， 2 2122 1111 log11() loglog(1)1 nn nn bann aan nnn + =+= += + + ， 则数列 n b的前 10 项和
3、1111111 (019)(1) 2239101011 S =+ +， 1505 451 1111 =+ = 故答案为： 505 11 22已知数列 n a中，0 n a ， n S是数列 n a的前n项和，且 2 2 nn n aS a += （1）求 2 S， 3 S，并求数列 n a的通项公式 n a； （2） 设 2 1 n nn b SS + = + ， 数列 n b的前n项和为 n T， 若2 20 n Tk对任意的正整数n都成立， 求实数k的取值范围 【解答】解： （1）数列 n a中，0 n
4、a ， n S是数列 n a的前n项和，且 2 2 nn n aS a +=， 可得 111 1 2 22Saa a =+， 解得 1 2a =； 由 22 2 2 2( 2)aa a +=+， 解得 2 22a =， 可得 2 2S =； 由 33 3 2 2(2)aa a +=+，解得 3 62a =，即有 3 6S =， 由2n时， 1nnn aSS =，可得 1 1 2 2 nnn nn SSS SS += ， 化为 11 ()()2 nnnn SSSS +=，即 22 1 2 nn S
5、S =， 则 2 22(1)2 n Snn=+=，由0 n a ，可得2 n Sn=， 由 2 22 2 nn n aSn a +=，可得2(1) n ann=； （2） 2 111 (2) 2242 2 n nn bnn SSnn + =+ + ， 可得 11 ( 314253112)(1212) 2 22 2 n Tnnnnnn= + +=+ + ， 由 1 1 (31)0 2 2 nn TTnn + =+，可得 n T在*nN递增， n T的最小值为 1 31 2 2 T =， &
6、nbsp;2 20 n Tk对任意的正整数n都成立，可得 1 2 231kT =， 则实数k的取值范围为(，31 2019-2020 溧阳市溧阳市期末期末 12首项为 1 a，公差为d的等差数列 n a的前n项和为 n S，满足 56 150S S +=则d的取值 范围( ) A2 2d或2 2d B2 22 2d C0d D0d 【解答】解：足 56 150S S +=， 则 11 (510 )(615 )150adad+=， 整理可得， 22 11 291010aa dd+ =有解
7、， 故 22 818(1 10) 0dd=+， 解可得，2 2d或2 2d 故选：A 22设 n S数列 n a的前n项和，对任意 * nN，都有 1 ()()( nn Sanb aac a=+，b，c为常 数） （1）当0a =， 4 3 b =， 5 3 c = 时，求 n S； （2）当 1 2 a =，0b =，0c =时， （）求证：数列 n a是等差数列； （）若数列 n a为递增数列且 45 9aa+=， 27 14a a =，设 3 n n n a lgb =，试问是否存在正整数
8、 p，q（其中1)pq， 使 1 b，p， q b成等比数列？若存在， 求出所有满足条件的数组( , )p q； 若不存在，说明理由 【解答】 （1）解：0a =， 4 3 b =， 5 3 c = 时， 1 45 () 33 nn Saa=+， 2n时， 111 45 () 33 nn Saa =+， 由得 1 44 33 nnn aaa =，即 1 4 nn aa =， 1n =时， 1 10a = ， 1 0 n a ， 1 4 n n a a =（常数，2)n， &n
9、bsp;n a以 1 为首项，4 为公比的等比数列 41 3 n n S =； （2） （）证明：当 1 2 a =，0b =，0c =时， 1 () 2 nn n Saa=+， 当2n时， 111 1( ) 2 nn n Saa =+， 得： 11 (2)(1) nn nanaa =， 11 (1) nn nanaa + =， 得： 11 (1)(1)2(1) nnn nanana + += 2n， 11 2 nnn aaa + +=，即 11nnnn aaaa + =
10、， n a是等差数列 （）解 n a为递增等差数列， 4527 9aaaa+=+=，又 27 14a a =， 得 2 7 2 7 a a = = 或者 2 7 7 2 a a = = （舍)， n an= 假设存在正整数数组( , )p q，使 1 b， p b， q b成成等比数列，则 1 lgb， p lgb， q lgb成等差数列， 于是， 21 333 pq pq =+， 21 3 ()( 33 q p p q =) 易知(p
11、，)(2q =，3)为方程()的一组解 当3p，且*pN时， 11 2(1)224 0 333 ppp ppp + + =，故数列 2 (3) 3p p p为递减数列， 于是 3 212 31 0 3333 p p ，此时方程()无正整数解 综上，存在唯一正整数数对(p，)(2q =，3)，使 1 b， p b， q b成等比数列 2019-2020 前黄高中前黄高中期末期末 10数列 n a中， 1 2a =，且 1 1 2(2) nn nn n aan aa +=+ ，则数列 2 1 (1)
12、 n a 前 2019 项和为 ( ) A 4036 2019 B 2019 1010 C 4037 2019 D 4039 2020 【解答】解： 1 1 2(2) nn nn n aan aa +=+ ， 22 11 2() nnnn aaaan =， 化为： 22 1 (1)(1) nn aan =， 22 1 (1)(1)(1)2 n aann=+， 2 (1) (1) 2 n n n a + =，
13、;可得： 2 1211 2() (1)(1)1 n an nnn = + 则数列 2 1 (1) n a 前 2019 项和 1111112019 2(1)2(1) 2232019202020201010 =+= 故选：B 16设 n a是等比数列，公比2q =， n S为 n a的前n项和记 *2 1 17 , nn n n SS TnN a + =设 0 n T为数列 n T的最大项，则 0 n = 4 【解答】解： 2 11 1 171( 2) 1( 2) 1212 ( 2) nn n n
14、 aa T a = 2 1( 2)17( 2)16 12( 2) nn n + = 116 ( 2)17 12( 2) n n =+ 因为 16 ( 2)8 ( 2) n n +，当且仅当( 2)4 n =， 即4n =时取等号，所以当 0 4n =时 n T有最大值 故答案为：4 22设 1 (A x， 1 ( )f x， 2 (B x， 2 ()f x是函数 2 1 ( )log 21 x f x x =+ 的图象上的任意两点 （1）当 1
15、2 1xx+=时，求 12 ( )()f xf x+的值； （2）设 121 ()()()() 1111 n nn Sffff nnnn =+ + ，其中 * nN，求 n S； （3）对于（2）中 n S，已知 2 1 () 1 n n a S = + ，其中 * nN，设 n T为数列 n a的前n项的和，求 证： 45 93 n T 【解答】 （1）解： 1 (A x， 1 ( )f x， 2 (B x， 2 ()f x是函数 2 1 ( )log 21 x f x x =+ 的图象上的任意 两点 1 x， 2 (
16、0,1)x ，且 12 1xx+=时， 12 1222 12 11 ( )() 2121 xx f xf xloglog xx +=+ 12 2 12 1log (1)(1) x x xx = + 12 2 1212 1log 1() x x xxx x = + + 2 1log 1 1= += （2）解： 12132 1 111111 nnn nnnnnn +=+=+= + ， 12132 ()()()()()()1 111111 nnn ffffff nnnnnn
17、;+=+=+= + ， 121 ()()()() 1111 n nn Sffff nnnn =+ + ， 121 ()()()() 1111 n nn Sffff nnnn =+ + ， +，得 211 2 ()() ()() ()() 111111 n nnnn Sffffff nnnnnn =+ + ， 2 n Sn=， 2 n n S = （3）证明： 222 112 ()()() 12 1 2 n n a n Sn = + + ， 2222 4444 345(2) n T n
18、=+ + ， 0 n a ， 1nn TT + ， n T是单调递增数列， 11 4 9 n TTa=， 又 2222 4444 345(2) n T n =+ + 2222 4444 314151(2) 1n + + 4444 243 54 6(1)(3)nn =+ + 1111111111 2() 243546213nnnn =+ + 1111 2() 2323nn =+ + 5115 2() 6233nn = + ， 45 93 n T &nbs
19、p; 2019-2020 淮安市淮安市期末期末 22已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 * 22() nn SanN= （1）求数列 n a的通项公式； （2）若对任意的 * nN，不等式 1 ()15 nn n aa + +恒成立，求实数的最大值 【解答】解： （1） * 22() nn SanN=， 11 22(2) nn San =， 两式作差可得： 1 2 nn aa =，即 1 2(2) n n a n a =， 数列 n a是等比数列，公比为
20、 2， 又由22 nn Sa=，得 1 2a =， 11 1 2 22 nnn n aa q =； （2）要使不等式 1 ()15 nn n aa + +恒成立， 则 1 () 2215 nn n + +恒成立， 分类参数，得 1 151 () 22 min n n + +， 令 1 151 22 n n bn + =+，则 2 1 22 15215 1 22 n nn nn bb + + + = = 当2n时， 1 0 nn bb + ，即 1nn bb + 当1n =
21、时， 1 0 nn bb + ，即 21 bb， 1234n bbbbb， 当2n =时， n b有最小值为 27 8 27 8 实数的最大值为 27 8 2019-2020 连云港市连云港市期末期末 16 已知数列 n a的前n项和为 n S，19a =， 2* 1 33 1() 22 nn SSnnnN + +=+， 则 52 S= 2020 【解答】解： 2* 1 33 1() 22 nn SSnnnN + +=+， 2 12 33 (1)(1)1 22 nn SSnn
22、 + +=+， 两式相减得， 2 33 nn SSn + =+， 故 525250504842211 ()()()()SSSSSSSSSS=+ 33 (3 503)(3 483)(3 23)(1)92020 22 =+= 故答案为：2020 20已知数列 n a的前n项和为 n S，满足 * 32() nn Sa nN=+；数列 n b为等差数列且 11 1ab+= ， 2 3 48a b = （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若 n T为数列 11 13 nnn SS
23、S + 的前n项和，求满足不等式 10 1023 32 n T 的n的最大值 【解答】解： （1）因为32 nn Sa=+， 所以当1n =时， 11 32Sa=+， 解得 1 3a = 当2n时， 11 (32)(32) nnnnn aSSaa =+， 化简得 1 2 nn aa = 又 1 30a = ，所以0 n a ， 因此 1 2 n n a a =， 所以 n a是首项为3公比为 2
24、的等比数列， 即 1 3 2n n a = ； 又 11 1ab+= ， 2 3 48a b = ，即 1 31b +=， 3 648b= ， 所以 1 2b =， 3 8b =， 因为数列 n b为等差数列， 所以公差 31 1 ()3 2 dbb=， 故31 n bn=； （2）由（1）知 n a是首项为3公比为 2 的等比数列，所以 1(1 ) 33 2 1 n n n aq S q = ， 所以 11 13 nnn SSS + ，
25、;11 13 33 2(33 2 ) (33 2) nnn+ = ， 11 11 3(12)3(12 ) (12) nnn+ ， 11 121111 () 3(12 ) (12)3 2121 n nnnn+ = ， 故 12233411 11111111111 ()()()(1) 32121212121212121321 n nnn T + = += 若 10 1023 32 n T ， 即 110 111023 (1) 3213 2 n+
26、;， 即 110 111 2110242 n+ = ， 可得 110 212 n+ ， 所以9n， 综上，使得式 10 1023 32 n T 的最大的n的值为 9 2019-2020 苏州市苏州市期末期末 16 已知一族双曲线 22* 2 1 :( n ExynN nn = + ， 且2020)n， 设直线2x =与 n E在第一象限 内的交点为 n A，由 n A向 n E的两条渐近线作垂线，垂足分别为 n B， n C记 nnn A B C的面积 为 n a，则 12
27、32020 aaaa+= 505 2021 【解答】解：双曲线 22* 2 1 :( n ExynN nn = + ，且2020)n的渐近线方程为0 xy=， 0 xy+=， 令2x =，可得 2 2 1 4y nn = + ，设(2, ) n Ay，可得 |2| | 2 nn y A B =， |2| | 2 nn y A C + =， 则 2 2 11111 11 | |4|() 24441 nnnnn aA BA Cy nnnn = + ， 可得 1232020 11111111505 (1)(1) 4
28、22320202021420212021 aaaa+=+= 故答案为： 505 2021 二、不等式 2019-2020 常州常州市市期末期末 6在下列函数中，最小值是 2 的是( ) A 5 ( 5 x yxR x =+且0)x B 1 (110)ylgxx lgx =+ C33 () xx yxR =+ D 1 sin(0) sin2 yxx x =+ 【解答】解：当0 x 时， 5 0 5 x y x =+，排除A， 1 lgx lgx =在
29、110 x无解， 1 (110)ylgxx lgx =+大于 2，但不能等于 2，排除B 1 sin sin x x =在0 2 x 上无解， 1 sin(0) sin2 yxx x =+大于 2，但不能等于 2，排除 D 对于函数33 xx y =+，令3xt=，则0t ， 11 22ytt tt = +=， （当且仅当1t =，即0 x =时 取等号） 33 xx y =+的最小值为 2 故选：C 8若0 x ，0y ，且xyS+=，xyP=，则下列说法中正确的是( )
30、;A当且仅当xy=时S有最小值2 P B当且仅当xy=时p有最大值 2 4 S C当且仅当p为定值时S有最小值2 P D若S为定值，当且仅当xy=时P有最大值 2 4 S 【解答】解：x，yR+，xys+=，xyp=， 22sxyxyp =+=，当且仅当xy=时取等号； 如果p是定值，那么当且仅当xy=时s的值最小，故A、C错误； 由得， 2 2 () 24 xys p + =，当且仅当xy=时取等号； 如果s是定值，那么当且仅当xy=时p的值最大，故D正确，B错误 故选：D &n
31、bsp;14已知正数a，b满足41ab+=，则 1 ab ab +的最小值为 257 16 【解答】 解： 正数a，b满足41ab+=，1 2 4ab， 解得 1 0 16 ab， 当且仅当 1 4 2 ab= 时取等号 令abx=， 1 0 16 x， 则 11 abx abx +=+在(0， 1 16 上单调递减， 1 x x +的最小值为： 1257 16 1616 += 即 1 ab ab +的最小值为 257 16 故答案为： 257 16 201
32、9-2020 前黄高中前黄高中期末期末 15 若关于x的一元二次不等式 2 20axbxa+的解集为( ,1)m m+， 则实数 b a 的值为 3 【解答】解：由题意可知， 2 20axbxa+=的两根分别为 1 xm=， 2 1xm=+， 根据方程的根与系数关系可得， 12 b xx a +=， 12 2x x =， 根据题意 2 21 2 81 b xx a =， 故3 b a = 故答案为：3 2019-2020 苏州市苏州市期末期末 8关于x的不等式 22 (1)axx恰有 2 个整数
33、解，则实数a的取值范围是( ) A 3 ( 2 ， 44 ( 33 ， 3 2 B 3 ( 2 ， 44 33 ， 3) 2 C 3 2 ， 44 )( 33 ， 3 2 D 3 2 ， 44 ) 33 ， 3) 2 【解答】解：由题 22 (1)axx恰有2个整数解，即 22 (1)0(1)1)(1)1)0axxaxax+恰有两个解， (1)(1)0aa+，即1a ，或1a 当1a 时，不等式解为 11 11 x aa + ， 1
34、1 (0, ) 12a + ，恰有两个整数解即：1，2， 1 23 1a ，221 33aa，解得： 43 32 a ； 当1a 时，不等式解为 11 11 x aa + ， 11 ( 12a ，0)，恰有两个整数解即：1，2， 1 32 1a + ，2(1)13(1)aa+，解得： 34 23 a， 综上所述： 43 32 a ，或 34 23 a 故选：B 2019-2020 徐州市徐州市期末期末 &nbs
35、p;8 蒙娜丽莎是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多 达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗 浮宫博物馆 该油画规格为： 纵77cm， 横53cm 油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237cm （如图所示） 有一身高为175cm的游客从正面观赏它（该游客头顶T到眼睛C的距离为 15)cm，设该游客离墙距离为xcm，视角为为使观赏视角最大，x应为( ) A77 B80 C100 D77 2 【解答】解：如图所示， 设BCD=，则 237(175 15)77 tan xx = tantan7777154 tan() 1tantanxx
36、; + += ， 解得 2 2 77772 tan 2774 277 2 x x x x = + ， 当且仅当 2 277 x x =， 即77 2xcm=时取等号 故选：D 18已知函数 2 ( )2f xaxbx=+，且不等式( )0f x 的解集是( 3,2) （1）求ab+的值； （2）若不等式 2 3 ( )3f xxxc+对于 1x ，1恒成立，求实数c的取值范围 【解答】解： （1）由题意可得， 32 2 32 b a a + = &
37、nbsp; = ， 1 3 ab= ，故 2 3 ab+= ， （2）由（1）可得， 2 11 ( )2 33 f xxx= +， 由 2 3 ( )3f xxxc+对于 1x ，1恒成立，可得 2 226cxx+对于 1x ，1恒成立， 即 2 (226)mincxx+， 结合二次函数的性质可知，当 1 2 x =时， 2 226xx+取得最小值11 2 ， 所以 11 2 c 故c的取值范围 11 (, 2 2019-2020 扬州市扬州市期末期末 &n
38、bsp;8 如果关于x的不等式 2 0axbxc+的解集为( 1,2)， 则关于x的不等式 2 0bxaxc的 解集为( ) A( 1,2) B(，1)(2，)+ C(，2)(1，)+ D( 2,1) 【解答】解：关于x的不等式 2 0axbxc+的解集为( 1,2)， 所以1、2 是方程 2 0axbxc+=的两实数根，且0a ， 由根与系数的关系得解得， 1 2 b a c a = = 所以，0ba= ，20ca= ， 所以不等式 2 0b
39、xaxc化为 2 20axaxa+， 即 2 20 xx+ 即(1)(2)0 xx+， 解得2x 或1x ； 则该不等式的解集为(，2)(1，)+ 故选：C 11已知0 x ，0y ，228xyxy+=，则2xy+的最小值是( ) A3 B2 C 3 2 2 D4 【解答】解：由题得 2 2 2828() 2 xy xyx y + +=，当且仅当2xy=时取等号， 整理得 2 (2)4(2)32 0 xyxy+ 即(24)(28) 0 xyxy+，又2
40、0 xy+， 所以24xy+（当且仅当2xy=时取等号） 则2xy+的最小值是 4，所以2xy+的最小值为 2， 故选：B 三、常用逻辑用语 2019-2020 常州常州市市期末期末 7已知空间向量(1m =，3，) x， 2 (nx=，1，2)，则“1x =”是“mn”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由“mn” ，可得 2 320m nxx=+=，解得1x =或3 “1x =”是“mn”的充分不必要条件 &nb
41、sp;故选：B 2019-2020 溧阳市溧阳市期末期末 8已知等差数列 n a的公差为d，前n项和为 n S，则“0d ”是“ 465 2SSS+”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： 465 2SSS+， 111 466152(510 )adadad+， 2120dd， 0d， 故“0d ”是“ 465 2SSS+”充分必要条件， 故选：C 9下列叙述中正确的是( ) A若a，b，cR
42、，则“ 2 0axbxc+”的充分条件是“ 2 40bac” B若a，b，cR，则“ 22 abcb”的充要条件是“ac” C命题“对任意xR有 2 0 x”的否定是“存在xR，有 2 0 x” D “1a ，1b ”是“1ab ”的充分条件 【解答】解：对于选项A：若a，b，cR，则一元二次不等式“ 2 0axbxc+”当0a 时，不等式成立的充分条件是“ 2 40bac”故A错误 对于选项B：若a，b，cR，则“ 22 abcb”是“ac”的充分不必要条件条件，故错 误 对于选项C：命题“对任意xR有 2
43、0 x”的否定是“存在xR，有 2 0 x ”故错误 对于选项D： “1a ，1b ”是“1ab ”的充分条件，正确 故选：D 2019-2020 前黄高中前黄高中期末期末 14已知“ 2 1 ,2,1 0 2 xxmx +”是假命题，则实数m的取值范围为 2m 【解答】 解： “ 2 1 ,2,1 0 2 xxmx +” 是假命题，对任意的 1 2x，2， 2 10 xmx+ 恒成立， 1 mx x +，对任意的 1 2x，2恒成立， 11 22xx xx +
44、=，当且仅当 1 x x =即1x =时等号成立， 2m， 故答案为：2m 2019-2020 连云港市连云港市期末期末 11已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则( ) Ap是q的既不充分也不必要条件 Bp是s的充分条件 Cr是q的必要不充分条件 Ds是q的充要条件 【解答】解：由已知得：prsq；qrs p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件 正确的是B、D 故选：BD &n
45、bsp; 四、圆锥曲线 2019-2020 常州常州市市期末期末 5 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=的左、 右顶点分别是A，B， 左、 右焦点分别是 1 F， 2 F 若 1 |AF， 12 |FF， 1 |FB成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) A 1 4 B 5 5 C 1 2 D52 【解答】 解： 设该椭圆的半焦距为c， 由题意可得， 1 |AFac=， 12 | 2FFc=， 1 |FBac=+， 1 |AF， 12 |FF， 1 |FB成等比数列， 2
46、(2 )()()cac ac=+， 2 2 1 5 c a =，即 2 1 5 e =， 5 5 e =，即此椭圆的离心率为 5 5 故选：B 10已知离心率为2的双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab =的右焦点为F，O为坐标原点，以 OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点若AOF的面积为 2，则实数 a的值为( ) A2 B2 2 C4 D8 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab =的右焦点为F，O为坐标原点， 以OF为直径圆与双曲线C的一条
47、渐近线0bxay=相交于O，A两点， 所以FAOA，则 22 | bc FAb ab = + ， 22 |OAcba=， AOF的面积为 2， 可得 1 2 2 ab =， 双曲线的离心率2e=，可得 22 2 2 ab a + =，得ba=，2a = 故选：A 12已知F为椭圆 2 2 :1 2 x My+=的右焦点，点A，B，C为椭圆M上三点，当 0FAFBFC+=时，称ABC为“和谐三角形” ，则“和谐三角形”有( ) A0 个 B1 个 C3 个 D无数个 【解答】解：如图，椭圆 2 2 :
48、1 2 x My+=的右焦点(1,0)F， A、B、C为椭圆M上三点，当0FAFBFC+=时，F为ABC的重心， 用如下办法构造ABC，设A为椭圆上任意一点，连接AF并延长至D，使 1 2 FDAF=， 当D在椭圆内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个 故选：D 16点P为椭圆 22 1 2516 xy +=上一点，M、N分别是圆 22 (3)4xy+=和 22 (3)1xy+=上的 动点，则PMPN+的取值范围是 7，13 【解答】解：依题意，椭圆 22 1 2516 xy +=的焦点分别是两圆 22
49、 (3)4xy+=和 22 (3)1xy+= 的圆心， 所以(|)2 5313 max PMPN+= +=， (|)2 537 min PMPN+= =， 则|PMPN+的取值范围是7，13 故答案为：7，13 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab +=的离心率为 3 2 ，左右焦点分别为 1 F， 2 F，焦距为 6 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为 1 4 的直线分别与椭圆交于M，N点试问直线MN 是否过某定点？若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明
50、理由 【解答】解： （1）由题意得： 3 3 2 c c a = = ，解得2 3a =； 则 222 3bac=； 椭圆C的方程： 22 1 129 xy +=； （2）设左顶点( 2 3,0)A ，根据条件直线AM，AN的斜率均不为 0； 设 直 线AM的 方 程 为 ：(2 3)yk x=+， 代 入 椭 圆 方 程 ， 得 ： 2222 (14)16 348120kxk xk+=； 设 1 (M x， 1) y，则 2 1 2 4812 2 3 14 k x k = + ，
51、 即 2 1 2 2 38 3 14 k x k = + ， 1 2 4 3 (2 3) 14 k yk x k =+= + ， 即 2 22 2 38 34 3 (,) 1414 kk M kk + ， 设直线AN的斜率为k，则 1 4 k k = ，即 1 4 k k = ， 把点M坐标中的k替换为k，得： 2 22 8 32 34 3 (,) 4114 kk N kk + ， 当M，N的横坐标不相等，即 1 2 k 时， 2 2 14 MN k k k =
52、 直线MN的方程为： 2 222 4 322 38 3 () 141414 kkk yx kkk = + 即 2 2 14 k yx k = ，该直线恒过定点 (0,0)， 当 1 2 k = 时，M，N的横坐标为 0，直线MN过原点； 故直线MN恒过定点(0,0) 2019-2020 溧阳市溧阳市期末期末 11 已知椭圆 2 2 1 2 :1(1) x Cym m +=与双曲线 2 2 2 2 :1(0) x Cyn n =的焦点重合， 1 e， 2 e分别为 1 C， 2 C的离心率，则( )
53、Amn且 1 2 1ee Bmn且 1 2 1ee Cmn且 1 2 1ee Dmn且 1 2 1ee 【解答】解：由题意可得 22 11mn =+，即 22 2mn=+， 又1m ，0n ，则mn， 由 2222 22 12 2222 1111 2 mnnn e e mnnn + = + 42 42 21 2 nn nn + = + 42 1 11 2nn = + + ， 则 12 1e e 故选：A 16 双曲线C的方程为 22 22 1(0,0) x
54、y ab ab =，1l，2l为其渐近线，F为右焦点 过F作 2 / /ll 且l交双曲线C于R，交 1 l于M若FRFM=，且 1 (2，3) 4 则双曲线的离心率的取值范 围为 ( 2，2) 【解答】解：由题意设直线 1: b lyx a = ，直线 2: b lyx a =，:() b l yxc a =， 由l交双曲线C于R，联立方程组 22 22 () 1 b yxc a xy ab = = ，解此方程组得 22 ( 2 ac R c + ， 22 ) 2 bac ac ， 由l交
55、 1 l于M，联立方程组 () b yxc a b yx a = = 解此方程组得( 2 c M，) 2 bc a 故有 22 ( 2 ac FR c =， 22 ) 2 bac ac ，( 2 c FM = ，) 2 bc a 由FRFM=，即 22 ( 2 ac c ， 22 )( 22 bacc ac =，) 2 bc a 所以 22 22 acc c = ，整理得 22 (1)ac=，即 2 1 1 e =
56、;， 又 1 (2， 3) 4 ， 所以 2 (2,4)e ，即( 2e，2) 故答案为( 2，2) 21椭圆 22 22 :1(0,0) xy Cab ab +=的左，右焦应分别是 1 F， 2 F，离心率为 3 2 ，过 1 F且垂直 于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为 1 （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线 1: 22 20lxy+=与椭圆C切于点( 2T， 2 ) 2 ，直线 2 l平行于OT，与椭圆 C交于不同的两点A、B，且与直线 1 l交于点M证明：存在常数，使得 2 | |MTMAMB=，并求的值；
57、 （3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接 1 PF， 2 PF，设 12 FPF的角平分线PM 交C的长轴于点( ,0)M m，求m的取值范围 【解答】解： （1）由 3 2 c e a =， 2 2 1 b a =， 222 abc=+，解得2a =，1b =，3c =， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y+=； （2）证明：( 2T， 2 ) 2 ， 1 2 OT k=，又 2/ / lOT，设 2 l的方程为 1 2 yxm=+， 由 22 1 2 44 yxm xy =+ +
58、= 可得 22 2220 xmxm+=， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 22 44(22)0mm=， 12 2xxm+= ， 2 12 22x xm=， 由 1 2 22 20 yxm xy =+ += 可得2 M xm=， 2 222 2 2 1212 12 1 (1) 2( 2) | 4 1 1 | |( 2)( 2)() (1)( 2)( 2) 4 m MTmm MAMBmmm xxx x mxmx + = + + ， 2 | |MTMAMB=，即存在1=满足条件； （3）由题意可知： 12 12 | | | PF PMPF PM PFPMPFPM =， 12 12 | PF PMPF PM PFPF =， 设 0 (P x， 0) y其中 2 0 4x ， 1( 3F ，0)， 2( 3 F，0)， 10 (3PFx= ， 0) y， 20 ( 3PFx=， 0) y， 0 (PMmx=， 0) y， 将向量坐标代入并化简得： 22 000 (416)312mxxx=，因为 2 0 4x ，所以 0 3 4 mx=， 而 0 ( 2,2)
