1、第八讲第八讲 定值问题定值问题 题型分析题型分析 最终的目标都是求解目标量的定值为多少，从动点（直线）中计算出不动的量 一般方式一般方式 选定相对合适的参数，将题目中条件利用参数表达出来，再利用所得结论化简计算 定值关系式求解定值 利用特殊情况（特殊值、特殊位置等）先把定值确定出来之后再证明该式子是恒成 立的 练习：练习： 1.已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点的直线交椭圆于 A、B 两点，) 1, 3( aOBOA与共线。 （1）求椭圆的离心率； （2） 设 M 为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM，证明 22 为定值。 2.已知，椭圆 C 过点
2、A，两个焦点为（1，0） ， （1，0） 。 （1） 求椭圆 C 的方程； （2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直 线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 3.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是 4，椭 圆上的点到焦点距离的最大值是 6. ()求椭圆的标准方程和离心率； ()若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一 个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在， 请说明理由. 4.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，P(2，0)为定点 ()若点 P 为抛物线
3、的焦点，求抛物线 C 的方程； ()若动圆 M 过点 P，且圆心 M 在抛物线 C 上运动，点 A、B 是圆 M 与y轴的两交点，试推 断是否存在一条抛物线 C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由 FyF F e F F 3 2 y M MF e MF AMAA 5.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值 为21，离心率为 2 e 2 （）求椭圆E的方程； （）过点1, 0作直线交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M， MP MQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由 6.已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （
4、）求双曲线的方程； （）设直线是圆上动点处的切线， 与双曲线交 于不同的两点，证明的大小为定值. 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 3 3 3 x C l 22 :2O xy 0000 (,)(0)P xyx y lC ,A BAOB 7己知椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0）,过其中心 O 的任意两条互相垂直的直径是 P1P2、 Q1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形 P1Q1P2Q2与一定圆相切。 8.已知定点)01(，C及椭圆53 22 yx，过点C的动直线与椭圆相交于A B，两点. （）若线段AB中点的横坐标是 1 2 ，求直线AB的方程； （）在
5、x轴上是否存在点M，使MBMA为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存 在，请说明理由. 9.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，短轴的两个端点为 A、B， 且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形。 （1） 求椭圆的方程。 （2） 若 C、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 M 满足 MDCD,连结 CM 交椭圆于点 P， 证明：OM OP为值。 10.在平面直角坐标系 xOy 中,RtABC 的斜边 BC 恰在 x 轴上，点 B(2,0)，C（2，0） ，且 AD 为 BC 边上的高。 (I)求 AD 中点 G 的轨迹方程； (II)若过
6、点(1,0)的直线l与(I)中 G 的轨迹 交于两不同点 P、Q，试问在 x 轴上是否存在定 点 E(m,0)，使PEQE恒为定值？若存在，求出点 E 的坐标及实数的值；若不存在， 请说明理由。 第八讲第八讲 定值问题定值问题 题型分析题型分析 最终的目标都是求解目标量的定值为多少，从动点（直线）中计算出不动的量 一般方式一般方式 选定相对合适的参数，将题目中条件利用参数表达出来，再利用所得结论化简计算 定值关系式求解定值 利用特殊情况（特殊值、特殊位置等）先把定值确定出来之后再证明该式子是恒成 立的 练习：练习： 1.已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点
7、的直线交椭圆于 A、B 两点，) 1, 3( aOBOA与共线。 （1）求椭圆的离心率； （2） 设 M 为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM，证明 22 为定值。 解析：解析：（1） 设椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x （ab0） ， A(x1,y1)， B(x2,y2) ， AB 的中点为 N(x0,y0)， 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 b y a x b y a x ，两式相减及1 12 12 xx yy 得到 0 2 2 0 x a b y，所以直线 ON 的方向向量为 ), 1 ( 2 2 a b ON， aON /， 2 2 3 1 a
8、b ，即 22 3ba，从而得 3 6 e （2 2）探索定值）探索定值 因为 M 是椭圆上任意一点，若 M 与 A 重合，则OAOM ，此时 0, 1，1 22 证明证明 22 3ba，椭圆方程为 222 33byx，又直线方程为cxy 222 33byx cxy 03364 222 bccxx 2 22 2121 8 3 4 33 , 2 3 c bc xxcxx 又设 M（x，y） ，则由OBOAOM得 21 21 yyy xxx ，代入椭圆方程 整理得 2 2221 2 2 2 2 22 1 2 1 2 3)3(2)3()3(byyxxyxyx 又 22 1 2 1 33byx， 22
9、 2 2 2 33byx， 03 2 9 2 3 3)(343 2222 21212121 ccccxxcxxyyxx 1 22 2.已知，椭圆 C 过点 A，两个焦点为（1，0） ， （1，0） 。 （3） 求椭圆 C 的方程； （4） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直 线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 解析：解析： （1） 由题意， c=1,可设椭圆方程为， 解得，（舍 去） 所以椭圆方程为。 （2）设直线 AE 方程为：，代入得 3 (1, ) 2 22 19 1 14bb 2 3b 2 3 4 b 22 1 43 xy
10、3 (1) 2 yk x 22 1 43 xy 设,因为点在椭 圆上，所以 ， 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以K 代 K，可得 ， 所以直线 EF 的斜率 即直线 EF 的斜率为定值，其值为。 3.3.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是 4，椭 圆上的点到焦点距离的最大值是 6. ()求椭圆的标准方程和离心率； ()若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一 个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在， 请说明理由. 解解析：析：()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得 . 所以椭圆的标准方程为. 离心率
11、 222 3 (34)4 (32 )4()120 2 kxkk xk (x ,y ) EE E(x ,y ) FF F 3 (1, ) 2 A 2 2 3 4()12 2 x 34 F k k 3 2 EE ykxk 2 2 3 4()12 2 x 34 F k k 3 2 EE ykxk ()21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk K xxxx 1 2 FyF F e F F 3 2 y M MF e MF AMAA ac， 4 4,2 6 a ac ac ， 解得 ， 22 1 1612 yx 21 . 42 e (),设由得 化简得，即 故存在一个定点，使到点的距离为定值，其
12、定值为 4.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，P(2，0)为定点 ()若点 P 为抛物线的焦点，求抛物线 C 的方程； ()若动圆 M 过点 P，且圆心 M 在抛物线 C 上运动，点 A、B 是圆 M 与y轴的两交点，试推 断是否存在一条抛物线 C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由 解解析：析： () 设抛物线方程为 2 2(0)ypx p， 则抛物线的焦点坐标为(,0) 2 p .由已知， 2 2 p ，即4p ，故抛物线 C 的方程是 2 8yx ()设圆心( , )M a b(0a)，点 A 1 (0,)y，B 2 (0,)y. 因为圆M过点 P
13、(2，0)，则可 设圆 M 的方程为 2222 ()()(2)xaybab. 令0 x，得 2 2440ybya . 则 12 2yyb， 12 44yya. 所以 222 121212 |()()441616AByyyyyyba. ，设抛物线 C 的方程为 2 (0)ymx m，因为圆心 M 在抛物线 C 上，则 2 bma. 所以 |416164 (4) 16ABmaaa m. 由此可得， 当4m时，| 4AB 为定值 故 存在一条抛物线 2 4yx，使|AB|为定值 4. 5.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值 为21，离心率为 2 e 2 （）求椭圆E
14、的方程； (0,2),(0,1)F F ( , ),M x y MF e MF 22 22 (2)1 2 (1) xy xy 22 3314150 xyy 222 72 )( ) 33 xy（ 7 (0, ) 3 AMA 2 . 3 （）过点1, 0作直线交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M， MP MQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由 解解析析： （I）设椭圆 E 的方程为 22 22 xy 1 ab ,由已知得： ac21 c2 a2 。 。 。 。 。2 分 a2 c1 222 bac1椭圆 E 的方程为 2 2 x y1 2 。 。 。 。 3
15、分 （）法一：法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设 1122 P(x ,y ),Q(x ,y )，则： 11221212 MP(xm,y ),MQ(xm,y ),MP MQ(xm) (xm)y y 2 121212 x xm(xx )my y。 。 。 。 。 5 分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x 1)，则 由 2 2 x y1 2 yk(x1) 得 222 x2k (x 1)20 2222 (2k1)x4k x(2k2)0 22 1212 22 4k2k2 xx, xx 2k12k1 7 分 2 22 12121212 2 k y yk (x1)(x1)k x x
16、(xx ) 1 2k1 所以 222 2 222 2k24kk MP MQmm 2k12k12k1 222 2 (2m4m 1)k(m2) 2k1 9 分 对于任意的k值，MP MQ为定值，所以 22 2m4m 12(m2) ，得 5 m 4 ， 所以 57 M( ,0),MP MQ 416 ； 11 分 当直线l的斜率不存在时，直线 121212 1 l:x1,xx2,x x1,y y 2 由 5 m 4 得 7 MP MQ 16 综上述知，符合条件的点M存在，起坐标为 5 ( ,0) 4 13 分 法二：法二：假设存在点M(m,0)，又设 1122 P(x ,y ),Q(x ,y ),则：
17、 1122 MP(xm,y ),MQ(xm,y ) 1212 MP MQ(xm) (xm)y y= 2 121212 x xm(xx )my y. 5 分 当直线l的斜率不为 0 时，设直线l的方程为xty 1， 由 2 2 x y1 2 xty 1 得 2 2 (t2)y2ty 10 1212 22 2t1 yy,yy t2t2 7 分 2222 121221212 22 t2tt22t2 x x(ty1) (ty1)t y yt(yy ) 1 t2t2 22 1212 22 2t2t44 xxt(yy )2 t2t2 2 2 222 2t24m1 MP MQm t2t2t2 222 2 (
18、m2)t2m4m 1 t2 9 分 设MP MQ则 222 2 (m2)t2m4m 1 t2 2222 222 (m2)t2m4m 1(t2) (m2)t2m4m 1 20 2 2 m20 2m4m 1 20 5 m 4 7 16 5 M( ,0) 4 11 分 当直线l的斜率为 0 时，直线l:y0，由 5 M( ,0) 4 得： 55257 MP MQ( 2) (2)2 441616 综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为 5 ( ,0) 4 6.已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （）求双曲线的方程； 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 3 3 3 x C （）设直线是圆上动
19、点处的切线， 与双曲线交 于不同的两点，证明的大小为定值. 解析：解析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力 （）由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为. （）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得.由及得 切线与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且， ，设 A、B 两点的坐标分别为， 则， l 22 :2O xy 0000 (,)(0)P xyx y lC ,A BAOB 2 3 3 3 a c c a 1,3ac 222 2bcaC 2 2 1 2 y x 0000 ,0P x yx y 22 2x
20、y 00 ,P x y 0 00 0 x yyxx y 00 2x xy y 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 22 00 2xy 222 000 344820 xxx xx 222 000 348820 xyy xx l 2 0 02x 2 0 340 x 1122 ,x yxy 22 00 1212 22 00 8228 , 3434 xx x xy y xx ， 的大小为. 7己知椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0）,过其中心 O 的任意两条互相垂直的直径是 P1P2、 Q1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形 P1Q1P2Q2与一定圆相切。 探索定圆
21、探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则 22B A的方程为 1 b y a x ，原点 O 到直线 22B A的距离为 22 ba ab r ， 则与菱形 2211 BABA内切的圆方程为 22 22 22 ba ba yx 。 证明：证明：设直径 P1P2的方程为,kxy 则 Q1Q2的方程为x k y 1 1 2 2 2 2 b y a x kxy 解得 222 222 2 222 22 2 kab bak y kab ba x 222 222 2 2 ) 1( kab bak OP 同理 OQ2 2= 222 222 ) 1( kba bak ，作 OHP2Q2 则 222 2 2 2
22、22 ba ab OQOP OQOP OH 又四边形 P1Q1P2Q2是菱形，菱形 P1Q1P2Q2必外切于圆 22 22 22 ba ba yx . . 8.已知定点)01(，C及椭圆53 22 yx， 过点C的动直线与椭圆相交于A B，两点. （） 若线段AB中点的横坐标是 1 2 ，求直线AB的方程； （）在x轴上是否存在点M，使MBMA为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存 在，请说明理由. 分析：M（ 7 3 ，0） 4 9 1 212 0OA OBx xy yAOB90 9.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，短轴的两个端点为 A、B，
23、 且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形。 （3） 求椭圆的方程。 （4） 若 C、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 M 满足 MDCD,连结 CM 交椭圆于点 P， 证明：OM OP为值。 分析： （1） 22 1 42 xy （2）由 O、M、P 三点共线，得 42 p m p y y x ，所以OM OP=4 （3）设 Q 点（a，0） ，由0QM DP ，得 a=0. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,RtABC 的斜边 BC 恰在 x 轴上，点 B(2,0)，C（2，0） ，且 AD 为 BC 边上的高。 (I)求AD中点G的轨迹方程； (II)若过点(1,0)的直线l与(I)中G的轨迹 交于两不同点P、 Q，试问在 x 轴上是否存在定点 E(m,0)，使PEQE恒为定值？若存在，求出点 E 的坐 标及实数的值；若不存在，请说明理由。 分析： （1） 2 2 1(0) 4 x yy （1） m=17 8 定值为 33 64 不容易先猜出，只能是化简求出。
