1、第二讲第二讲 证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法 23 反证法与放缩法反证法与放缩法 学习目标学习目标 1.了解反证法和放缩法在证明不等式中了解反证法和放缩法在证明不等式中 的应用的应用 2.掌握用反证法和放缩法证明不等式的具体过掌握用反证法和放缩法证明不等式的具体过 程程(重点重点) 3.在具体问题中能合理选择证明不等式的方在具体问题中能合理选择证明不等式的方 法法，培养综合的数学证明能力培养综合的数学证明能力(难点难点) 1反证法反证法 (1)反证法的定义反证法的定义 先先假设要证的命题不成立假设要证的命题不成立，以此为出发点以此为出发点，结合已结合已 知条件知条件，应用公理、定义、
2、定理、性质等应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的进行正确的 推理推理，得到和命题的条件得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显或已证明的定理、性质、明显 成立的事实等成立的事实等)矛盾矛盾的结论的结论，以说明以说明假设假设不正确不正确，从而证从而证 明原命题成立明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法我们称这种证明问题的方法为反证法 知识提炼知识提炼 梳理梳理 (2)利用反证法证明不等式利用反证法证明不等式，一般有下面三个步骤：一般有下面三个步骤： 第一步第一步，做出与所证不等式做出与所证不等式相反相反的假设的假设(反设反设) 第二步第二步，从从条件和假设条件和假设出发出发，应用
3、正确的推理方法应用正确的推理方法， 推出推出矛盾矛盾结果结果(归谬归谬) 第三步第三步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的 假设假设不正确不正确，于是原证不等式于是原证不等式成立成立 (3)反证法的使用范围反证法的使用范围 结论本身是以否定形式出现的一类结论本身是以否定形式出现的一类命题命题(结论中出结论中出 现现“不存在不存在” “” “不可能不可能”等等)； 有关结论是以有关结论是以“至多至多”或或“至少至少”的形的形 式出现的一类命题；式出现的一类命题； 关于唯一性、存在性的命题；关于唯一性、存在性的命题； 结论的反面是比原结论更具体更容易研究的命结
4、论的反面是比原结论更具体更容易研究的命 题题 温馨提示温馨提示 (1)一定不要把一定不要把“假设假设”写成写成“设设”；(2) 必须从否定的结论出发进行推理必须从否定的结论出发进行推理， 即把否定的结论作为推即把否定的结论作为推 理的条件理的条件，否则就不是反证法否则就不是反证法 2放缩法放缩法 把要证的不等式一边适当地把要证的不等式一边适当地放大放大(或或缩缩小小)，使之得出使之得出 明显的不等量关系后明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性再应用不等量大、小的传递性， 从而使不等式得到证明的方法从而使不等式得到证明的方法 常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利常用的放缩法有增项
5、、减项、利用分式的性质、利 用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进 行放缩等比如：行放缩等比如： 舍去或舍去或加上一些项：加上一些项： a1 2 2 3 4 a1 2 2 ； 将分子或分母放大将分子或分母放大(或缩小或缩小)： 1 k2 1 k（k1）， ， 1 k2 1 k（k1）， ， 1 k 2 k k1， ， 1 k 2 k k1(k R，k 1)等等 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)反证法可以把反证法可以把“假设假设”写成写成“设设”( ) (2)当结
6、论的反面有多种可能时当结论的反面有多种可能时，只需列出其中一种只需列出其中一种 情况证明情况证明( ) (3)利用放缩法证明不等式的关键在于放大利用放缩法证明不等式的关键在于放大(或缩小或缩小) 要适当要适当( ) (4)放缩法放大、缩小的限度是唯一的放缩法放大、缩小的限度是唯一的( ) 解析：解析：由反证法和放缩法易知由反证法和放缩法易知(1)，(2)，(4)错误错误 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2应用反证法推出矛盾的推导过程中应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪要把下列哪 些作为条件使用些作为条件使用( ) 结论相反的判断结论相反的判断，即假设；即假设；原命题的条件；
7、原命题的条件； 公理、定理、定义等；公理、定理、定义等；原结论原结论 A B C D 解析：解析： 由反证法的推理原理可知由反证法的推理原理可知， 反证法必须把结论反证法必须把结论 的相反判断作为条件应用于推理的相反判断作为条件应用于推理， 同时还可应用原条件以同时还可应用原条件以 及公理、定理、定义等及公理、定理、定义等 答案：答案：C 3 设设 M 1 210 1 2101 1 2102 1 2111， ， 则则( ) AM1 BM1 CM1 DM 与与 1 大小关系不定大小关系不定 解析：解析：M 1 210 1 2101 1 2102 1 2111 1 210 1 2101 1 210
8、2 1 2102101 210 210 1， 所以所以 M1，选选 B. 答案：答案：B 4用反证法证明用反证法证明“ 2， 3， 5不可能成等差数列不可能成等差数列” 时时，正确的假设是正确的假设是_ 答案：答案： 2， 3， 5成等差数列成等差数列 5 A1 1 2 1 3 1 n与 与 n(nN )的大的大小关系小关系 是是_ 解析：解析： A 1 1 1 2 1 3 1 n n 项项 n n n. 答案：答案：A n 类型类型 1 反证法证明不等式反证法证明不等式(自主研析自主研析) 典例典例 1 已知实数已知实数 a，b，c，d 满足满足 abcd1， acbd1，求证：求证：a，b
9、，c，d 中至少有一个是负数中至少有一个是负数 证明：证明：假设假设 a，b，c，d 都是非负数都是非负数， 即即 a0，b0，c0，d0， 则则 1(ab)(cd)(acbd)(adbc)acbd， 这与已知的这与已知的 acbd1 矛盾矛盾， 所以假设不成立所以假设不成立， 所以所以 a，b，c，d 中至少有一个是负数中至少有一个是负数 归纳升华归纳升华 1当证明的结论中含有当证明的结论中含有“不是不是”“”“不都不都”“”“不存不存 在在”等词语时等词语时， 适合应用反证法适合应用反证法， 因为此类问题的反面比因为此类问题的反面比 较具体较具体 2用反证法证明不等式时用反证法证明不等式时
10、，若原命题结论的否定不若原命题结论的否定不 止一个止一个，就必须将结论的所有否定逐就必须将结论的所有否定逐一驳倒一驳倒 3当遇到命题的结论以当遇到命题的结论以“至多至多”“”“至少至少”等形式给等形式给 出时出时， 一般多用反证法； 应注意一般多用反证法； 应注意“至少有一个至少有一个”“”“都是都是” 的否定形式分别是的否定形式分别是“一个也没有一个也没有”“”“不都是不都是” 变式训练变式训练 已知已知 0x2，0y2，0z2， 求证：求证：x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于不都大于 1. 证明：证明：法一：法一：假设假设 x(2y)1，y(2z)1，z(2x) 1 均成立均成立，
11、 则三式相乘得则三式相乘得 xyz(2x)(2y)(2z)1， 因为因为 0x2， 所以所以 0x(2x) x22x (x1)211， 同理同理，0y(2y)1，0z(2z)1. 所以三式相乘得所以三式相乘得 0xyz(2x)(2y)(2z)1 与与矛盾矛盾，故假设不成立故假设不成立 所以所以 x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于不都大于 1. 法二：法二：假设假设 x(2y)1，y(2z)1，z(2x)1 均均 成立成立， 则则x（2y）y（2z）z（2x）3， 而而x（2y） y（2z） z（2x） x（2y） 2 y（2z） 2 z（2x） 2 3， 与与矛盾矛盾，故假设不成立故假
12、设不成立， 所以原结论成立所以原结论成立 类型类型 2 放缩法证明不等式放缩法证明不等式 典例典例 2 已知已知 a，b，cR . 求证：求证： a bc b ca c ab 3 2. 证 明 ：证 明 ： a bc b ca a2b2cabc （bc）（）（ca） 2abcabc （bc）（）（ca） a（bc）b（ca） （bc）（）（ca） a ca b bc， ， 同理同理， b ca c ab b ab c ca， ， c ab a bc c bc a ab. 因为因为得得 2 a bc b ca c ab ac ca bc bc ba ab 3， 所以所以 a bc b ca c
13、ab 3 2. 归纳升华归纳升华 1利用放缩法证明不等式利用放缩法证明不等式，要根据不等式的特点及要根据不等式的特点及 已知条件已知条件(条件不等式条件不等式)，慎重地采取慎重地采取措施进行放缩措施进行放缩，任何，任何 不适当的放缩都会导致推证的失败不适当的放缩都会导致推证的失败 2一定要熟悉放缩法的具体措施及操作办法一定要熟悉放缩法的具体措施及操作办法，利用利用 放缩法证明不等式放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中的一些正项或就是采取舍掉式中的一些正项或负负 项项，或者在分式中放大或缩小分子、分母或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式或或者把和式或 积式等式子中的各项或某项换以较大或较小
14、的数或式子积式等式子中的各项或某项换以较大或较小的数或式子， 从而达到证明不等式的目的从而达到证明不等式的目的 变式训练变式训练 (1)已知已知 x0，y0，z0，求证：求证： x2xyy2 y2yzz2xyz； (2)求证：求证： 1 2 1 n1 1 n2 1 2n 1(n1， nN*) 证明：证明：(1)因为因为 x0，y0，z0， 所以所以x2xyy2 xy 2 2 3 4y 2 xy 2， ， 同理同理，y2yzz2zy 2. 因为由因为由得得 x2xyy2y2yzz2xy z， 所以原不等式成立所以原不等式成立 (2)证明：证明：因为因为 n1，n N ， 所以所以 1 n1 1
15、n2 1 2n 1 n 1 n 1 n 1， 1 n1 1 n2 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2， ， 所以原不等式成立所以原不等式成立 1用反证法证明不等式要把握三点：用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论必须先否定结论，即肯定结论的反面即肯定结论的反面，当当结论的结论的 反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任 何一种可能，反证何一种可能，反证都是不完整的都是不完整的 (2)反证法必须从否定结论进行推理反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的即应把结论的 反面作为条件反面作为条件，且必须根据这一条件进行
16、推证否则且必须根据这一条件进行推证否则， 仅否定结论仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理不从结论的反面出发进行推理，就不是反就不是反 证法证法 (3)推导出的矛盾可能多种多样推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾有的与已知矛盾， 有的与假设矛盾有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背有的与已知事实相违背，等等等等，推导推导 出的矛盾必须是明显的出的矛盾必须是明显的 2(1)放缩法的关键在于放大放缩法的关键在于放大(或缩小或缩小)要适度要适度 (2)当要证明的不等式中含有分式时当要证明的不等式中含有分式时，我们把分母放我们把分母放 大大，则相应的分式的值缩小则相应的分式的值缩小；反之，如果把分母
17、缩小，；反之，如果把分母缩小， 则分式的值放大则分式的值放大 (3)放缩法放大缩小的限度不是唯一的放缩法放大缩小的限度不是唯一的，如果用某种如果用某种 放大的办法可放大的办法可以得到欲证结论以得到欲证结论，那么比此放大更那么比此放大更“精精 细细”的放大就应该更能得到所需结论但是一般来讲的放大就应该更能得到所需结论但是一般来讲， 这种这种“风险风险”和和“难度难度”是成正比的是成正比的，放得越宽放得越宽，能否能否 证出命题的证出命题的“风险风险”越大越大，但相对放大的但相对放大的“难度难度”就越就越 低；反之低；反之，放大越精细放大越精细，则能证出最终结论的可能性越则能证出最终结论的可能性越 大大，但是但是“难度难度”也相对增大也相对增大
