1、7.5 正态分布 课标阐释 思维脉络 1.利用实际问题的直方图,了解正态 分布密度曲线的特点及曲线所表示 的意义.(直观想象) 2.了解变量落在区间 -,+,-2,+2,-3,+3 的 概率大小.(数学运算) 3.会用正态分布去解决实际问题.(逻 辑推理) 激趣诱思 知识点拨 在医学领域,有不少医学现象服从或近似服从正态分布,如同性别、 同年龄儿童的身高和体重,同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白 含量、脉搏数等.在这类情形下,利用正态分布可以很容易地确定 其数值出现在任意指定范围内的概率,尤其是医学参考值范围内的 估计. 激趣诱思 知识点拨 一、正态曲线 函数f(x)= ,xR,其中R,0为参
2、数,对任意的 xR,f(x)0,它的图象在x轴的上方,可以证明x轴和曲线之间的区域 的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度 曲线,简称正态曲线(如图所示). 1 2 -(x-) 2 22 激趣诱思 知识点拨 微练习 下列函数是正态分布密度函数的是( ) A.f(x)= 1 2 e (-)2 22 ,R,0 B.f(x)= 2 2 e- 2 2 C.f(x)= 1 2 2 e- (-1)2 4 D.f(x)= 1 2 e 2 2 答案:B 激趣诱思 知识点拨 二、正态分布 若随机变量X的概率密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布, 记为X(,2).特别地,当=
3、0,=1时,称随机变量X服从标准正态分布. 激趣诱思 知识点拨 微思考 参数,在正态分布中的实际意义是什么? 提示:参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本 的均值去估计;是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样 本的标准差去估计. 激趣诱思 知识点拨 三、正态曲线的特点 1.曲线位于x轴上方,与x轴不相交. 2.曲线是单峰的,它关于直线x=对称. 3.曲线在x=处达到峰值 4.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. 5.曲线与x轴之间的面积为1. 1 2 激趣诱思 知识点拨 6.当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移, 如图. 7.当一定时,曲线的形状由确定,
4、当较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表 示随机变量X的分布比较集中;当较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示 随机变量X的分布比较分散,如图. 激趣诱思 知识点拨 微练习 (多选)(2020江苏马坝高中高二期中)已知三个正态密度函数i(x)= (xR,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( ) 1 2 e -(-) 2 2 2 A.1=2 B.13 C.1=2 D.23 激趣诱思 知识点拨 解析:根据正态曲线关于直线x=对称,且越大,图象越靠右, 可知12=3,故BC错误; 因为越小,数据越集中,图象越瘦高, 所以1=23,故AD正确. 故选AD. 答案:AD 激趣诱思 知识点拨 微练
5、习 设XN(1,22),试求: (1)P(-1X3); (2)P(3X5); (3)P(X5). 激趣诱思 知识点拨 解:XN(1,22), =1,=2. (1)P(-1X3)=P(1-2X1+2)0.682 7. (2)P(3X5)=P(-3X-1), P(3X5)=1 2P(-3X5)-P(-1X3) =1 2P(1-4X1+4)-P(1-2X1+2) 1 2(0.954 5-0.682 7)=0.135 9. (3)P(X5)=P(X-3), P(X5)=1 21-P(-3X5) =1 2(1-0.954 5)=0.022 75. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 正态曲线的应
6、用正态曲线的应用 例1一个正态曲线如图所示,试根据该图象写出其正态分布密度函 数的解析式,求出随机变量的均值和方差. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:由正态曲线可知该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值是 1 2 , 所以 =20, 1 2 = 1 2 ,则 = 2. 所以正态分布密度函数的解析式是 f(x)= 1 2 e- (-20)2 4 ,x(-,+). 随机变量的均值是 =20,方差是 2=( 2)2=2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用正态曲线的特点求参数, (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=对称,由此特点结合图象可求 出. (2)
7、正态曲线在x=处达到峰值 ,由此特点结合图象可求出. 1 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1若一个正态分布密度函数是偶函数,且该函数的最大值 为 ,则该正态分布密度函数的解析式 为 . 1 4 2 解析:因为该正态分布密度函数是偶函数, 所以正态曲线关于 y 轴对称,即 =0,而正态分布密度函数的最大值 是 1 4 2,所以 1 2 = 1 4 2,解得 =4. 故函数的解析式为 f(x)= 1 4 2 e- 2 32,xR. 答案:f(x)= 1 4 2 e- 2 32,xR 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算 例2设
8、XN(5,1),求P(6X7). 解:依题意,=5,=1, P(4X6)=P(5-1X5+1)0.682 7, P(3X7)=P(5-2X5+2)0.954 5, P(6X130) (1-0.682 7)=0.158 65. P(X90)0.682 7+0.158 65=0.841 35. 及格的人数为540.841 3545, 130分以上的人数为540.158 659. 1 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 正态分布的应用正态分布的应用 例3某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸XN(4,0.25).质检人员从该 厂生产的1 000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7 cm.试
9、 问该厂生产的这批零件是否合格? 解:由于圆柱形零件的外径尺寸XN(4,0.25),则X在区间 4-30.5,4+30.5,即2.5,5.5之外取值的概率约为0.002 7.而 5.72.5,5.5,这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的事件, 根据统计中假设检验的基本思想,认为该厂生产的这批产品是不合 格的. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 在解决与正态分布有关的实际问题时,通常认为服从正 态分布N(,2)的随机变量X只取-3,+3之间的值.若服从正态 分布的随机变量的某些取值超出了这个范围,则说明出现了意外情 况. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 数形
10、结合思想与转化思想在正态分布中的应用数形结合思想与转化思想在正态分布中的应用 典例在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,2)(0).若X在 (0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为 . 解析:由题意知,正态曲线关于直线x=1对称,如图,而区间(0,1)与(1,2) 关于直线x=1对称,由正态曲线性质得X在区间(0,1)和(1,2)内取值的 概率相等. P(1X2)=P(0X1)=0.4. P(0X2)=P(0X1)+P(1X2)=0.023,则 P(-22)=( ) A.0.477 B.0.954 C.0.628 D.0.977 解析:画出正态曲线如图所示,结合图象知,P(-22) =1-P(2)-P(0).若在(-,1)内取值的概率 为0.1,则在(2,3)内取值的概率为 . 解析:根据正态曲线的对称性可知,在(2,3)内取值的概率 P= (1-20.1)=0.4. 答案:0.4 1 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.设XN(0,1). 求:(1)P(-1X1); (2)P(0X2). 解:XN(0,1),=0,=1. (1)P(-1X1)0.682 7. (2)P(0X2)=1 2P(-2X2) 1 20.954 5=0.477 25.
