1、2021 届高三侯届高三侯.新新.运三校联盟第三次联考运三校联盟第三次联考 暨上学期期末考试数学科试题暨上学期期末考试数学科试题 一.选择题： （本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.已知集合1,2,3A，|2Bx x，则AB （ ） 4.1,2,3 B. 2 C.1,3 D.2,3 2.已知 i 为虚数单位，复数 z 满足2 31zi ，则 z 在复平面内对应的点所在的象限（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.高一某班有 5 名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接该班 2 名同学，
2、每名 同学只能报一个小组，则报名方案有（ ） A.15 种 B.90 种 C.120 种 D.180 种 4.已知 a，b 为不同直线，为不同平面，则下列结论正确的是（ ） A.若a，ba，则ba B.若, a b，a，b，则 C.若a，b，ab，则 D.若b，a，ab，则 5.函数 2 1 e x x y （其中 e 为自然对数的底数）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、 航天等众多领域，并取得了显著经济效益. 假设某放射性同位素的衰变过程中， 其含量P （单位： 贝克） 与时间t （单位： 天） 满足函数关系 30 0 2
3、 t p tp ， 其中 0 P为0t 时该放射性同位素的含量.已知15t 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 3 2ln2 10 ，则该 放射性同位素含量为 4.5 贝克时衰变所需时间为（ ） A.20 天 B.30 天 C.45 天 D.60 天 7.如图，AB是单位圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧AB上的两个三等分点，则AC AD（ ） A.1 B. 3 2 C. 3 2 D.3 8.定义在 R 上的偶函数 f x在0,1上单调递减，且满足 1f xf x， 1f，22f， 则不等式组 12 12 x f x 的解集为（ ） A.1, 2 B.26,4 C.2, 2 D.2,82 二、
4、多项选择题： （本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分.） 9.空气质量指数大小分为五级，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大.指数范围在：0,50， 51,100，101,200，201,300，301,500分别对应“优” 、 “良” “轻（中）度污染” 、 “中度（重）污 染” 、 “重污染”五个等级.下面是某市连续 14 天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有（ ） A.这 14 天中有 4 天空气质量指数为“良” B.这 14 天中空气质量指数的中
5、位数是 103 C.从 2 日到 5 日空气质量越来越差 D.连续三天中空气质量指数方差最小的是 9 日到 11 日 10.若0a ，0b，且4ab，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11 1 ab B.2ab C. 22 11 8ab D. 11 0 4ab 11.已知函数 cos0,0 2 f xwxw 的最小正周期为，其图象的一条对称轴为 5 12 x ， 则（ ） A. 3 ； B.函数 yf x的图象可由sin2yx的图象向左平移 3 个单位长度得到 C.函数 f x在0, 2 上的值域为 3 1, 2 D.函数 f x在区间, 2 上单调递减 12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧
6、几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 A、B 的距离之 比为定值1 的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称 阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，2,0A 、4,0B，点 P 满足 1 2 PA PB ，设点 P 所构成的曲线为 C，下列结论正确的是： （ ） A.C 的方程为 2 2 416xy B.在 C 上存在点 D，使得 D 到点1,1的距离为 3 C.在 C 上存在点 M，使得2MOMA D.在 C 上存在点 N，使得 22 4NONA 三、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 5 2 2 x x 的
7、展开式中 4 x的系数为_. 14.已知等差数列 n a的前 n 项和为 * n snN， 公差0d ， 6 90S ， 7 a是 3 a与 9 a的等比中项， 当0 n S 时，n 的最大值为_. 15.双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左焦点为 F，A、B 分别为 C 的左，右支上的点，O 为坐标原点， 若四边形ABOF为菱形，则 C 的离心率为_. 16.已知三棱锥PABC外接球的表面积为100，PB 平面ABC，8PB ，120BAC，则三棱 锥体积的最大值为_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分
8、）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且cossinbcAA. （1）求角 C， （2）若2 5c ，D 为边BC的中点，在下列条件中任选一个，求AD的长度. 条件ABC的面积2s ，且BA； 条件 2 5 cos 5 B .（注，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分） 18.（12 分）数列 n a满足 1 123 231 221 n n aaanann ， （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 21 n n n b a ， n S为数列 n b的前 n 项和，求 n S. 19.（12 分）某单位招考工作人员，须参加初试和复试，共 5000 人参加初试，初试
9、通过后组织考生参加复 试，复试共三道题，第一题考生答对得 3 分，答错得 0 分，后两题考生每答对一道题得 5 分，答错得 0 分， 答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩. （1）通过分析可以认为考生初试成绩 X 服从正态分布 2 ,N ，其中64， 2 169，试估计初试 成绩不低于 90 分的人数； （2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为 3 4 ，后两题答对的概率均为 2 3 ，且每道题回 答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为 Y，求 Y 的分布列及数学期望. 附：若随机变量 X 服从正态分布 2 ,N ，则0.6826PX， 220.9544PX，330.99
10、74PX. 20. （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形， 平面PAC 底面ABCD，PAPCAC. （1）证明：ACPB； （2）若PB与底面所成的角为 45 ，求二面角BPCA的余弦值. 21.（12 分）已知函数 ln1f xxmx， 2 x g xx e （1）若 f x的最大值是 0，求 m 的值； （2）若对其定义域内任意 x， f xg x恒成立，求 m 的取值范围. 22.（12 分）已知左、右焦点分别为 1 F、 2 F的椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 与直线1y 相交于 A、B 两 点，使得四边形 12 ABFF为面积等于2 2
11、的矩形. （1）求椭圆 1 C的方程； （2）过椭圆 1 C上一动点 P（不在 x 轴上）作圆 22 :1O xy的两条切线PC、PD切点分别为 C、D，直 线CD与椭圆 1 C交于 E、G 两点，O 为坐标原点，求OEG的面积 OEG S的取值范围. 徐州市三校联考高三数学试题参考答案徐州市三校联考高三数学试题参考答案 一.选择题：1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.D 9.ACD 10.ABC 11.BC 12.ABD 三、填空题：13.40. 14.20. 15.31. 16.6 3 四、解答题：17.解： （1）由cossinbcAA知sinsincossins
12、inBCACA， 又sinsinsincoscossinBA CACAC，因为 sincossinsinsin0tan1ACCAAC又0,C，所以 3 4 C （2）选择条件：由ABC的面积2S 知， 1 sin2 2 abC ，即 12 24 2 22 abab（1）又 222 2coscababC，所以 22 20abab（2） 联立（1） （2）得 2 2 2 a b 或 2 2 2 a b .又BA，所以2a ，2 2b. 因此，在ACD中 222 2 2cos8 1 2 2 2 113 2 ADACCDAD CDC ， 所以13AD . 选择条件：由 2 5 cos 5 B 知 5
13、sin 5 B . 所以 10 sinsinsincoscossin 10 ABCBCBC， 在ABC中，由 sinsinsin abc ABC 知： 2 5 1052 1052 ab ， 所以2a ，2 2b，所以在ACD中 222 2 2cos8 1 2 2 2 113 2 ADACCDAD CDC ， 所以13AD . 18.解： （1）由题意， 1 2a .由 1 123 231 221 n n aaanann ， 得 1231 2312222 n n aaanann ， ，得 1 1 2222222 nnn n nannnn ， 所以22 n n an又因为当1n 时，上式也成立，所
14、以数列 n a的通项公式为2n n a .（没有讨论1n 的情况扣 1 分） （2）由题意， 2121 2 n n n nn b a ，所以 123 123 35721 2222 nn n n Sbbbb ， 2341 13572121 222222 n nn nn S ， ，得 所以 1232341 1357213572121 2222222222 n nnn nnn S 2341 3111121 2 222222 nn n 1 1 11 1 22 121511 225255 1 22222 1 2 n nn n n n nSn . 19.（1）学生笔试成绩 X 服从正态分布 2 ,N ，其
15、中64， 2 169，290， 90220.0228P XP X ，估计笔试成绩不低于 90 分的人数为0.0228 5000114人 （2） Y 的取值分别为 0， 3， 5， 8， 10， 13， 则 1 0 36 P Y ， 1 3 12 P Y ， 1 5 9 P Y ， 1 8 3 P Y ， 1 10 9 P Y ， 1 13 3 P Y ，故 Y 的分布列为： Y 0 3 5 8 10 13 P 1 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 111111321107 03581013 361293933612 E Y 20.【答案】证明： （1）连接BD交AC于 O， 底面
16、ABCD为菱形，ACBD， PAPC，O 为AC的中点，ACPO， 又BDPOO，AC 平面PBD，则ACPB； 解： （2）PAPC，O 为AC的中点，ACPO， 又平面PAC 底面ABCD，平面PAC底面ABCDAC， PO平面PAC，PO平面ABCD，则OB，OC，OP两两互相垂直. 以 O 为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， PB与底面所成的角为45PBO，OBOP，设3OP ，则1OC ，3OB . 3,0,0B，0,1,0C， 0,0, 3P，0, 1,0A， 3,0, 3BP ， 3,1,0BC ，设平面BPC的一个法向量为, ,nx
17、 y z， 由 330 30 n BPxz n BCxy ，取1x ，得 1, 3,1n ， 又平面APC的一个法向 3,0,0mOB 35 cos, 553 m n m n m n . 二面角BPCA为锐角，二面角BPCA的余弦值为 5 5 . 21.解： （1） f x的定义域为0,， 1 fxm x . 若0m， 0fx， f x在定义域内单调递增，无最大值； 若0m， 1 0,m m ， f x单调递增； 1 ,x m ， f x单调递减. 1 x m 时， f x取得最大值 11 ln0 f mm ，1m.（4 分） （2）原式恒成立，即ln12 x xmxx e 在0,上恒成立，
18、即 1 ln 2 x x me x 在0,上恒成立. 设 1 ln x x xe x ，则 2 2 ln x x ex x x .设 2 ln x h xx ex，则 2 2 1 0 x h xxx e x ， h x在0,上单调递增，且 11 2 11 12 10 ee hee ee ， 10he. h x有唯一零点 0 x，且 2 000 ln0 x exx， 即 0 00 0 ln x x ex x .两边同时取对数，得 0000 lnlnlnlnxxxx ，易知lnyxx是增函数， 00 lnxx ，即 0 0 1 ex x . 由 2 h x x x ，知 x在 0 0,x上单调递增
19、，在 0, x 上单调递减， 00 00 000 1 ln11 1 xx xxex xxx ， 21m ，1m，故 m 的取值范围是1,. 22.解析： （1）四边形 12 ABFF为面积等于2 2的矩形， 1 22 2c，故2c ，椭圆方程化为 22 22 1 2 xy aa ，且点 2,1A，点 A 在椭圆上， 22 21 1 2aa ，整理得 42 540aa，解得 2 4a .椭圆 1 C的方程为 22 1 42 xy ； （2）设 000 ,0P x yy ，则以线段OP为直径的圆的方程为 22 22 00 00 1 224 xy xyxy ，又圆 O 的方程为 22 1xy， 两式
20、相减得直线CD的方程为 00 1xxyy. 由 00 22 1 24 xxyy xy 消去 y 整理得 2222 0000 24240 xyxx xy 直线CD与椭圆 1 C交于 E、G 两点 222222 000000 164 2242410 xxyyyx ， 设 11 ,E x y， 22 ,G x y，则 2 22 00 0 1212 00 1 xyx EGxxxx yy 又原点到直线CD的距离为 22 00 1 d xy ， 22 00 1222 22 2222 000 0000 4211121 22 222 22 OEG xy SEG dxx yxy xyxy 设 222 000 12 234 t xyx ， 2 0 04x， 11 82 t 从而 2 22 OEG Stt 函数在 1 1 , 8 2 t 上单调递增， 306 82 OEG S ，所以 OEG S取值范围为 306 , 82 .
