1、1 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线方程为y x ， 左焦点为F， 过( ,0)A a ，(0,)Bb的 直线为l，原点到直线l的距离是 2 （1）求双曲线的方程； （2） 已知直线2yxm交双曲线于不同的两点C，D， 问是否存在实数m， 使得以CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点F，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 22 4xy； （2）存在， 5 2 【解析】 （1）1 b a ，ab， 原点到直线:1 xy AB ab 的距离为 22 2 abab d c ab ，即 2 2ac ， 又 22222 acbca ，得 22 1 2 ac， 2 1
2、2 2 cc，解得 2 2c ， 2a ，2b， 双曲线方程为 22 1 44 xy ，即 22 4xy （2）把2yxm代入 22 4xy中，消去y得 22 2 240 xmxm ， 设 11 ( ,)C x y， 22 (,)D xy，则 12 2 2xxm， 2 12 4x xm， 且 2 4160m 得 2 4m ， 若存在以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点为F，则 0FC FD 可得 1212 (2 2)(2 2)0 xxy y， 把 11 2yxm， 22 2yxm代入，得 2 1 212 3(2 22 )()80 x xm xxm ， 即20 80m，解得 5 2 m 满足 2
3、4m ， 作业作业4 4 双曲线 存在这样的m使得以CD为直径的圆经过双曲线左焦点F，m的值为 5 2 一、单选题 1若双曲线 22 22 1 xy ab 的一条渐近线经过点(5,12)，则该双曲线的离心率为（ ） A 13 12 B 7 5 C12 5 D13 5 2双曲线 22 24mxmy的一个焦点是(2,0)，则m的值是（ ） A1 B1 C 3 2 D 2 3 3 若双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率是 5 2 ， 则椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率是 （ ） A 1 2 B 3 2 C 5 4 D 5 5 4设双曲线 22 22 1(0,0) xy
4、ab ab 的一条渐近线与抛物线 2 4yx只有一个公共点， 则双曲线的离心率为（ ） A2 B3 C 10 D 17 5已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物 线 2 8yx的准线上，则双曲线的方程为（ ） A 22 1xy B 22 1 22 xy C 22 1 44 xy D 22 1 88 xy 6已知点,A B分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右顶点，点P是双曲线C 上异于,A B的另外一点，且ABP是顶角为120的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方 程为（ ） A0 xy B20 xy C3
5、0 xy D30 xy 7 设双曲线 22 22 1 xy ab 的两条渐近线与直线 2 a x c 交于,A B两点，F为双曲线的右焦点， 若90120AFB，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A 4 ( ,2) 3 B(1,3) C 2 3 (, 2) 3 D(1, 3) 8如图，双曲线 22 2 1 4 xy b 的左、右焦点分别是 1 F， 2 F，P是双曲线右支上一点， 1 PF 与圆 22 4xy相切于点T，M是 1 PF的中点，若1MOMT，则b（ ） A1 B3 C 2 D3 二、多选题 9已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(2 2,2)，(6,4)，则下列
6、 结论中正确的是（ ） AE的标准方程为 22 1 42 xy BE的离心率等于3 CE与双曲线 22 1 42 yx 的渐近线相同 DE的焦距为2 6 10已知双曲线 22 1 :1 96 xy C，则（ ） A双曲线C的焦距为离心率的3倍 B双曲线 22 916 1 yx 与双曲线C有相同的渐近线 C双曲线C的一条渐近线被圆 22 (1)1xy截得的弦长为 8 5 D直线3440 xy与双曲线C有且只有1个公共点 三、填空题 11若双曲线 2 2 1 x y m 的离心率为2，则实数m 12已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的离心率为3 2 4 ，虚轴长为2， 1 F，
7、2 F为左、 右焦点，则焦点 2 F到渐近线的距离为 ；双曲线的标准方程为 四、解答题 13设双曲线 2 2 2 :1(0) x Cya a 与直线 :1l yx相交于,A B两点 （1）求双曲线C的离心率e的取值范围； （2）设直线l与y轴的交点为P，且2APPB，求a的值 一、单选题 1 【答案】D 【解析】设双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线方程为y kx，将点(5,12)代入可得 12 5 k ， 12 5 b a ， 22 13 5 ab e a 2 【答案】C 【解析】把方程化为标准形式 22 1 42 xy mm ， 2 4 a m ， 2 2 b m 222 426
8、4cab mmm ，解得 3 2 m 3 【答案】B 【解析】由双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率是 5 2 ，可得 22 5 2 ab e a ， 2ab， 在椭圆 22 22 1 xy ab 中， 22 3 2 ab e a 4 【答案】D 【解析】 不妨取双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线 b yx a 与抛物线 2 4yx 联立， 可得 2 40 b xx a ， 一条渐近线与抛物线只有一个公共点， 2 ( )4 40 b a ，化简得4ba， 22 17 ab e a 5 【答案】B 【解析】抛物线 2 8yx的准线为2x，双曲线的一个焦点为(
9、 2,0)， 渐近线方程是yx，1 b a ，结合 222 abc， 可得2ab， 双曲线的方程为 22 1 22 xy 6 【答案】A 【解析】设P在双曲线线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右支上， 且2ABPBa，120PBA， 不妨设P在第一象限，则P的坐标为(2 , 3 )aa， 代入双曲线方程可得 22 22 (2 )( 3 ) 1 aa ab ，可得ab， 该双曲线的渐近线方程为0 xy 7 【答案】C 【解析】双曲线 22 22 1 xy ab 的两条渐近线方程为 b yx a 当 2 a x c 时， ab y c ， 2 (,) aab A cc ， 2
10、(,) aab B cc ， 90120AFB，13 FB k，即 2 13 ab c a c c ， 13 a b ，即 2 22 13 a ca ，得 2 1 11 3 e ， 2 4 2 3 e， 双曲线离心率为取值范围为 2 3 (, 2) 3 8 【答案】D 【解析】M是 1 PF的中点，O是 12 FF的中点， 2 2 PF MO 又 1 OFc，OTa， 22 11 FTOFOTb ， 11 1 22 PFPF MTFTb， 2112 2 1 2222 PFPFPFPFa MOMTbbbba ， 3b 二、多选题 9 【答案】AD 【解析】设双曲线方程为 22 1(0)mxnym
11、n， 由已知得 821 36161 mn mn ，解得 1 4 1 2 m n ， 故双曲线的标准方程为 22 1 42 xy ，故 A 选项正确； 由离心率 426 22 e ，故 B 选项错误； 因为曲线E的渐近线方程为 2 2 yx ， 又由双曲线 22 1 42 yx 的渐近线方程为 2 2 2 yxx ，故 C 选项错误； E的焦距为2 6，故 D 选项正确， 故选 AD 10 【答案】BCD 【解析】双曲线 22 1 :1 96 xy C焦点在x轴上，且3a ，4b，5c ， 渐近线为 4 3 yx 对于 A 选项，双曲线C的离心率为 5 3 c e a ，焦距为10， 故双曲线C
12、的焦距为离心率的6倍，所以 A 选项错误； 对于 B 选项，双曲线 22 916 1 yx 的渐近线为 4 3 yx ，与曲线C的渐近线相同，故 B 选 项正确； 对于 C 选项，根据对称性可设双曲线C的一条渐近线方程为 4 3 yx， 22 (1)1xy的 圆心为0,1，则圆心到 4 3 yx的距离为 3 5 d ， 故双曲线C的一条渐近线被圆 22 (1)1xy截得的弦长为 2 38 2 1 ( ) 55 ，所以 C 选项 正确； 对于 D 选项，直线3440 xy与双曲线C的一条渐近线平行， 直线3440 xy与双曲线C有且只有1个公共点，故 D 选项正确， 故选 BCD 三、填空题 1
13、1 【答案】1 【解析】根据题意得 1 2 m e m ，12mm ，1m 12 【答案】1， 2 2 1 8 x y 【解析】由题意，1b，因为离心率 3 2 4 c e a ，所以 2 2a ，3c ， 故 2 3,0F， 2 F到渐近线的距离为1d ，双曲线的标准方程为 2 2 1 8 x y 四、解答题 13 【答案】 （1） 6 (, 2)( 2,) 2 ； （2） 5 5 a 【解析】 （1）联立 2 2 2 1 1 x y a yx ，消去y得 2222 (1)220axa xa， 直线:1l yx相交于,A B两点， 2 422 10 48(1)0 a aaa ， 可得 2 02a 且 2 1a ， 2 22 1 11 b e aa ， e的取值范围为 6 (, 2)( 2,) 2 （2）设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，由（1）可得 2 12 2 2 12 2 2 1 2 1 a xx a a x x a ， 2APPB ， 12 2xx ， 2 122 2 2 1 a xxx a 2 2 122 2 2 2 1 a x xx a 由可得， 2 1 5 a ， 0a ， 5 5 a
