1、2.2.1 2.2.1 对数与对数运算对数与对数运算 第一课时第一课时 对对 数数 问题提出问题提出 1.1.截止到截止到19991999年底，我国人口约年底，我国人口约1313亿亿. . 如果今后能将人口年平均增长率控制在如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%1%，那么经过，那么经过2020年后，我国人口数最多年后，我国人口数最多 为多少（精确到亿）？到哪一年我国的为多少（精确到亿）？到哪一年我国的 人口数将达到人口数将达到1818亿？亿？ t 5730 1 p 2 1313 (1(11 1) )x x1818，求，求x=?x=? 3.3.上面的实际问题归结为一个什么上面的实际问题归结为一
2、个什么 数学问题？数学问题？ 2.2.假设假设20062006年我国国民生产总值为年我国国民生产总值为a a 亿元，如果每年的平均增长率为亿元，如果每年的平均增长率为8% 8% ，那，那 么经过多少年我国的国民生产总值是么经过多少年我国的国民生产总值是 20062006年的年的2 2倍？倍？ (1(18 8) )x x2 2，求，求x=?x=? 已知底数和幂的值，求指数已知底数和幂的值，求指数. . 知识探究（一）：知识探究（一）：对数的概念对数的概念 思考思考1:1:若若2 24 4M M，则，则M M？ 若若2 2 2 2 N N，则，则N N？ 思考思考2:2:若若2 2x x1616，
3、则，则x x？ 若若2 2x x , ,则则x x？ 若若4 4x x8 8， 则则x x？ 若若2 2x x3 3， 则则x x？ 4 1 思考思考3:3:满足满足2 2x x3 3的的x x的值，我们用的值，我们用loglog2 23 3 表示，即表示，即x xloglog2 23 3，并叫做，并叫做“以“以2 2为底为底3 3的的 对数”对数”. .那么满足那么满足2 2x x1616，2 2x x ，4 4x x8 8 的的x x的值可分别怎样表示？的值可分别怎样表示？ 4 1 思考思考4:4:一般地，如果一般地，如果a ax xN N（a0a0，且，且 a1a1），那么数），那么数x
4、 x叫做什么？怎样表示？叫做什么？怎样表示？ x xlogloga aN N 思考思考6: 6: 满足满足 , , ， （其中（其中e=2.7182818459045e=2.7182818459045）的）的x x的值的值 可分别怎样表示？这样的对数有什么特可分别怎样表示？这样的对数有什么特 殊名称？殊名称？ 10 x N x eN 思考思考5:5:前面问题中，前面问题中， , , 中的中的x x的值可分别怎样表示？的值可分别怎样表示？ 18 1.01 13 x 1.082 x 思考思考1:1:当当a a0 0，且，且a1a1时，若时，若a ax xN N，则，则x x logloga aN
5、N，反之成立吗？，反之成立吗？ 思考思考2:2:在指数式在指数式a ax xN N和对数式和对数式x xlogloga aN N 中，中，a a，x x，N N各自的地位有什么不同？各自的地位有什么不同？ 知识探究（二）：知识探究（二）：对数与指数的关系对数与指数的关系 a a N N x x 指数式指数式a ax xN N 指数的底数指数的底数 幂幂 幂指数幂指数 对数式对数式x x logloga aN N 对数的底数对数的底数 真数真数 对数对数 思考思考3:3:当当a a0 0，且，且a1a1时，时，logloga a（- -2 2），）， logloga a0 0存在吗？为什么？由此
6、能得到什么存在吗？为什么？由此能得到什么 结论？结论？ 思考思考4:4:根据对数定义，根据对数定义，logloga al l和和logloga aa a （a0a0，a1a1）的值分别是多少？）的值分别是多少？ 思考思考5:5:若若a ax xN N，则，则x xlogloga aN N ，二者组，二者组 合可得什么等式？合可得什么等式？ 理论迁移理论迁移 64 1 例例1.1.将下列指数式化为对数式，对数式将下列指数式化为对数式，对数式 化为指数式：化为指数式： (1) 51) 54 4625625 ; (2) 2; (2) 2 6 6 ; ; (3)(3) ( )( )m m5.735.7
7、3 ; (4) ; (4) ; ; (5) lg0.01=(5) lg0.01=; (6) ln10; (6) ln102.303.2.303. 3 1 16log 2 1 例例2.2.求下列各式中的值：求下列各式中的值： (1)log1)log64 64x x ; (2) log; (2) logx x8 86 ; 6 ; (3)lg100=x; (4)(3)lg100=x; (4)lnelne2 2 . . 2 3 作业：作业： P P 练习 练习: : 1,1, , ,. . P P 习题 习题2.2.A A组：组：1,1,. . 第二课时第二课时 对数的运算对数的运算 2.2.1 2.
8、2.1 对数与对数运算对数与对数运算 问题提出问题提出 1.1.对数源于指数，对数与指数是怎样互对数源于指数，对数与指数是怎样互 化的？化的？ 2.2.指数与对数都是一种运算，而且它们指数与对数都是一种运算，而且它们 互为逆运算，指数运算有一系列性质，互为逆运算，指数运算有一系列性质， 那么对数运算有那些性质呢？那么对数运算有那些性质呢？ 知识探究（一）：知识探究（一）：积与商的对数积与商的对数 思考思考2:2:将将loglog2 23232loglog2 24 4十十loglog2 28 8推广到一推广到一 般情形有什么结论？般情形有什么结论？ 思考思考1:1:求下列三个对数的值：求下列三个
9、对数的值：loglog2 23232， loglog2 24 4 ， loglog2 28 8你能发现这三个对数之你能发现这三个对数之 间有哪些内在联系？间有哪些内在联系？ 思考思考3:3:如果如果a a0 0，且，且a1a1，M M0 0，N N0 0， 你能证明等式你能证明等式logloga a（MNMN）logloga aM M十十 logloga aN N成立吗？成立吗？ 思考思考4:4:将将loglog2 23232loglog2 24=log4=log2 28 8推广到一推广到一 般情形有什么结论？怎样证明？般情形有什么结论？怎样证明？ 思考思考5:5:若若a a0 0，且，且a1
10、a1，M M1 1，M M2 2， M Mn n均大于均大于0 0，则，则logloga a(M(M1 1M M2 2M M3 3MMn n）？）？ 知识探究（二）知识探究（二）: :幂的对数幂的对数 思考思考1:1:loglog2 23 3与与loglog2 28181有什么关系？有什么关系？ 思考思考2:2:将将loglog2 281=4log81=4log2 23 3推广到一般情形推广到一般情形 有什么结论？有什么结论？ 思考思考3:3:如果如果a a0 0，且，且a1a1，M M0 0，你有什，你有什 么方法证明等式么方法证明等式logloga aM Mn nnlognloga aM
11、M成立成立 思考思考4:4:loglog2 2x x2 2=2log=2log2 2x x对任意实数对任意实数x x恒成立恒成立 吗？吗？ 思考思考6:6:上述关于对数运算的三个基本性上述关于对数运算的三个基本性 质如何用文字语言描述？质如何用文字语言描述？ 思考思考5:5:如果如果a a0 0，且，且a1a1，M M0 0，则，则 等于什么？等于什么？ log n a M 两数积的对数，等于各数的对数的和；两数积的对数，等于各数的对数的和； 两数商的对数，等于被除数的对数减去两数商的对数，等于被除数的对数减去 除数的对数；除数的对数； 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数幂的对数等于幂指数乘以底
12、数的对数 理论迁移理论迁移 例例1 1 用用logloga ax x，logloga ay y，logloga az z表示下列表示下列 各式：各式： (1)(1) ; (2) . ; (2) . loga xy z 2 3 log a xy z 3 1 log 2 3 例例2 2 求下列各式的值：求下列各式的值： (1) log(1) log2 2（4 47 72 25 5）；）； (2) lg(2) lg ； (3) log(3) log3 318 18 - -loglog3 32 2 ； (4) .(4) . 5 100 3 1 log 2 3 例例3 3 计算：计算： 8log 3 1
13、 36. 0log 2 1 10log 3log2log2 555 55 小结作业小结作业: : 性质的等号左端是乘积的对数，右端是性质的等号左端是乘积的对数，右端是 对数的和，从左往右看是对数的和，从左往右看是个降级运算个降级运算. . 性质的等号左端是商的对数，右端是对性质的等号左端是商的对数，右端是对 数的差，从左往右是一个降级运算，从右数的差，从左往右是一个降级运算，从右 往左是一个升级运算往左是一个升级运算. . 性质从左往右仍然是降级运算性质从左往右仍然是降级运算 利用对数的性质可以使两正数的积、利用对数的性质可以使两正数的积、 商的对数转化为两正数的各自的对数的和、商的对数转化为
14、两正数的各自的对数的和、 差运算，大大的方便了对数式的化简和求差运算，大大的方便了对数式的化简和求 值值. . 作业：作业： P P68 68练习： 练习：1, 21, 2，3.3. P P74 74习题 习题2.2A2.2A组：组：3,4,5.3,4,5. 2.2.1 2.2.1 对数与对数运算对数与对数运算 第三课时第三课时 换底公式及对数运算的应用换底公式及对数运算的应用 问题提出问题提出 . （1 1） （2 2） （3 3） loglog n aa MnM logloglog () aaa MNM N logloglog aaa M MN N （1 1） ; ; （2 2） ; ;
15、（3 3） . . log1 a a log 10 a logaN aN 1.1.对数运算有哪三条基本性质？对数运算有哪三条基本性质？ 2.2.对数运算有哪三个常用结论？对数运算有哪三个常用结论？ 3.3.同底数的两个对数可以进行加、减同底数的两个对数可以进行加、减 运算，可以进行乘、除运算吗？运算，可以进行乘、除运算吗？ 4.4.由由 得得 ，但这只，但这只 是一种表示，如何求得是一种表示，如何求得x x的值？的值？ 18 1.01 13 x 1.01 18 log 13 x 知识探究（一）：知识探究（一）：对数的换底公式对数的换底公式 思考思考2:2:你能用你能用lg2lg2和和lg3lg
16、3表示表示loglog2 23 3吗？吗？ 思考思考1:1:假设假设 ，则，则 ，从而有，从而有 . 进一步可得到什么结论？进一步可得到什么结论？ 2 2 log 5 log 3 x 222 log 5log 3log 3xx 35 x 思考思考4:4:我们把我们把 （a a0 0，且，且a1a1；c c0 0，且，且c1c1；b b0 0） 叫做叫做对数换底公式对数换底公式，该公式有什么特征？，该公式有什么特征？ log log log c a c b b a 思考思考3:3:一般地，如果一般地，如果a a0 0，且，且a1a1； c c0 0，且，且c1c1；b b0 0，那么，那么 与哪
17、个与哪个 对数相等？如何证明这个结论？对数相等？如何证明这个结论？ log log c c b a 思考思考6:6:换底公式在对数运算中有什么意换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？义和作用？ 思考思考5:5:通过查表可得任何一个正数的常用通过查表可得任何一个正数的常用 对数，利用换底公式如何求对数，利用换底公式如何求 的值？的值？ 1.01 18 log 13 知识探究（二）：知识探究（二）：换底公式的变式换底公式的变式 思考思考1: 1: 与与 有什么关系？有什么关系？ log a blogba 思考思考2: 2: 与与 有什么关系？有什么关系？ log n a NlogaN 思考思考3
18、: 3: 可变形为什么？可变形为什么？ (log) (log) aa MN 理论迁移理论迁移 例例1 1 计算：计算： (1) 1) ; ; (2)(2)（loglog2 2125125loglog4 42525loglog8 85)5) （loglog5 52 2loglog25 254 4 loglog125 1258 8） ） 32log9log 278 作业：作业： P68 P68 练习：练习：4.4. P74 P74 习题习题2.2A2.2A组：组： 6 6，1111，12.12. 2.2.1 2.2.1 对数与对数运算对数与对数运算 第四课时第四课时 对数运算习题课对数运算习题课
19、知识回顾知识回顾 . log b a aNbN (1) log1 a a (2) log 10 a log (3) a N aN 1.1.指数与对数的换算指数与对数的换算: : 2.2.对数运算的三个常用结论对数运算的三个常用结论: : (3) loglog n aa MnM (1) logloglog () aaa MNM N (2) logloglog aaa M MN N 3.3.对数运算的三条基本性质对数运算的三条基本性质: : 4.4.对数换底公式对数换底公式: : log log log c a c b b a 理论迁移理论迁移 55 (1) 2log 10log 0.25 1 2
20、7 (2) log81 例例1 1 求下列各式的值求下列各式的值: : 41 2 9 1 (3) log 8log 3log 4 2 lg5)lg2 lg50(4)（ lg27lg8 3lg 10 (5) lg1.2 2 2 4 3 - -2 2 1 1 3 2 例例2 2 已知已知 ，求，求 的值的值. . a12log324log3 31 2 a 例例3 3 设设 ，已知，已知 , , 求求 的值的值. . 35 ab m 11 2 ab m 15 例例4 204 20世纪世纪3030年代，里克特制订了一种年代，里克特制订了一种 表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪表明地震能量大小的尺度
21、，就是使用测震仪 衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震 仪记录的地震曲线的振幅就越仪记录的地震曲线的振幅就越. . 这就是我们这就是我们 常说的里氏震级常说的里氏震级M M，其计算公式为，其计算公式为M MlgAlgA lgAlgA0 0. . 其中其中A A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A A0 0是是 “标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了 修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. . （1 1）假设在一次地震中，一个距离震中）假设在一次地震中，一个距离震中10
22、0100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是千米的测震仪记录的地震最大振幅是2020，此，此 时标准地震的振幅是时标准地震的振幅是0.0010.001，计算这次地震，计算这次地震 的震级（精确到的震级（精确到0.10.1）；）； 4.34.3 2020世纪世纪3030年代，里克特制订了一种表明年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越录的地震曲线的振幅就越. . 这就是我们常说这就是我们常说 的里氏震级的里氏震级M M，其计算公式为，
23、其计算公式为M MlgAlgAlgAlgA0 0. . 其中其中A A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A A0 0是“标准是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）震仪距实际震中的距离造成的偏差）. . （2 2）5 5级地震给人的震感已比较明显，计算级地震给人的震感已比较明显，计算 7.67.6级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是5 5级地震的最大振幅级地震的最大振幅 的多少倍（精确到的多少倍（精确到1 1）. . 398398 例例5 5 生物机体内碳生物机体内碳1414的“半衰期”的“半衰期” 为为
24、57305730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸年，湖南长沙马王堆汉墓女尸 出土时碳出土时碳1414的残余量约占原始含量的的残余量约占原始含量的 76.776.7，试推算马王堆古墓的年代，试推算马王堆古墓的年代. . 21932193 ,lg) 2(lg)( 2 bxaxxf思考题思考题: :设函数设函数 已知已知 且对一切且对一切 恒成立，求恒成立，求 的最小值的最小值. . , 2) 1(f ,Rx xxf2)( )(xf 2.2.2 2.2.2 对数函数及其性质对数函数及其性质 第一课时第一课时 对数函数的概念与图象对数函数的概念与图象 问题提出问题提出 1.1.用清水漂洗含用清水漂洗含1 1
25、个单位质量污垢的个单位质量污垢的 衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，衣服，若每次能洗去污垢的四分之三， 试写出漂洗次数试写出漂洗次数y y与残留污垢与残留污垢x x的关系式的关系式. . t 5730 1 p 2 2. 2. （x0）是函数吗？若 是，这是什么类型的函数？ 1 4 logyx 知识探究（一）：知识探究（一）：对数函数的概念对数函数的概念 思考思考1:1:在上面的问题中，若要使残留的在上面的问题中，若要使残留的 污垢为原来的污垢为原来的 ，则要漂洗几次？，则要漂洗几次？ 64 1 思考思考2:2:在关系式在关系式 中，取中，取 对应的对应的y y的值存在吗？怎样计算？的值存在吗？
26、怎样计算？ 1 4 logyx(0)xa a 思考思考3:3:函数函数 称为称为对数函数对数函数， 一般地，什么叫对数函数？一般地，什么叫对数函数？ 1 4 logyx 思考思考4:4:为什么在对数函数中要求为什么在对数函数中要求a a0 0， 且且alal？ 思考思考5:5:对数函数的定义域、值域分别是对数函数的定义域、值域分别是 什么？什么？ 思考思考6:6:函数函数 与与 相同吗？相同吗？ 为什么？为什么？ 2 3 logyx 3 2logyx 思考思考1:1:研究对数函数的基本特性应先研研究对数函数的基本特性应先研 究其图象究其图象. .你有什么方法作对数函数的图你有什么方法作对数函数
27、的图 象？象？ 知识探究（二）：知识探究（二）：对数函数的图象对数函数的图象 思考思考2:2:设点设点P(mP(m，n)n)为对数函数为对数函数 图象上任意一点，则图象上任意一点，则 ，从而，从而 有有 . .由此可知点由此可知点Q Q（n n，m m）在哪个）在哪个 函数的图象上？函数的图象上？ logayx loganm n ma 思考思考3:3:点点P(mP(m，n)n)与点与点Q(nQ(n，m)m)有怎样的有怎样的 位置关系？由此说明对数函数位置关系？由此说明对数函数 的图象与指数函数的图象与指数函数 的图象有怎样的图象有怎样 的位置关系？的位置关系？ logayx x ya P Q
28、x y o 思考思考4:4:一般地，对数函数的图象可分为一般地，对数函数的图象可分为 几类？其大致形状如何？几类？其大致形状如何？ y x 0 1 1 x y 0 1 1 思考思考5:5:函数函数 与与 的图象分别如何？的图象分别如何？ 2 |log|yx 2 log |yx a a1 1 0 0a a0,a1);0,a1); （4 4）loglog7 75 5，loglog6 67.7. 理论迁移理论迁移 例例2 2 求下列函数的定义域、值域：求下列函数的定义域、值域： (1) y(1) y ； (2) y(2) yloglog2 2(x(x2 22x2x5). 5). 3 1 log (1
29、)x 例例3 3 溶液酸碱度的测量溶液酸碱度的测量: : 溶液酸碱度是通过溶液酸碱度是通过pHpH刻画的刻画的. pH. pH 的计算公式为的计算公式为pHpHlgHlgH+ + ，其中，其中HH+ + 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩 尔升尔升. . （1 1）根据对数函数性质及上述）根据对数函数性质及上述pHpH的计的计 算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢 离子的浓度之间的变化关系；离子的浓度之间的变化关系； （2 2）已知纯净水中氢离子的浓度为）已知纯净水中氢离子的浓度为HH+ + 1010 7 7摩尔升，计算纯净水的 摩尔升
30、，计算纯净水的pH.pH. 作业：作业： P73 练习：3 P74 习题2.2B组：1， 2，3. 第三课时第三课时 指、对数函数与反函数指、对数函数与反函数 2.2.2 2.2.2 对数函数及其性质对数函数及其性质 问题提出问题提出 设设a a0 0，且，且a1a1为常数，为常数， . .若以若以 t t为自变量可得指数函数为自变量可得指数函数y ya ax x，若以，若以s s 为自变量可得对数函数为自变量可得对数函数y ylogloga ax. x. 这两这两 个函数之间的关系如何进一步进行数学个函数之间的关系如何进一步进行数学 解释？解释？ t as 知识探究（一）：知识探究（一）：反
31、函数的概念反函数的概念 思考思考1:1:设某物体以设某物体以3m/s3m/s的速度作匀速直的速度作匀速直 线运动，分别以位移线运动，分别以位移s s和时间和时间t t为自变量，为自变量， 可以得到哪两个函数？这两个函数相同可以得到哪两个函数？这两个函数相同 吗？吗？ 思考思考2:2:设设 ，分别分别x x、y y为自变量可以为自变量可以 得到哪两个函数？这两个函数相同吗？得到哪两个函数？这两个函数相同吗？ 2 x y 思考思考3:3:我们把具有上述特征的两个函数我们把具有上述特征的两个函数 互称为互称为反函数反函数，那么函数，那么函数y ya ax x（a a0 0， 且且a1a1）的反函数是
32、什么？函数）的反函数是什么？函数 的反函数是什么？的反函数是什么？ 21yx 思考思考4:4:在函数在函数y yx x2 2中，若将中，若将y y作自变量，作自变量， 那么那么x x与与y y的对应关系是函数吗？为什么？的对应关系是函数吗？为什么？ 思考思考5:5:一个函数在其对应形式上有一对一一个函数在其对应形式上有一对一 和多对一两种，那么在哪种对应下的函数和多对一两种，那么在哪种对应下的函数 才存在反函数？才存在反函数？ 知识探究知识探究(二二): 指、对数函数的比较分析指、对数函数的比较分析 思考思考1:1:当当a a1 1时，指、对数函数的图象时，指、对数函数的图象 和性质如下表：你
33、能发现这两个函数和性质如下表：你能发现这两个函数 有什么内在联系吗？有什么内在联系吗？ y=ay=ax x (a1) (a1) y=logy=loga ax(a1) x(a1) 图象图象 定义域定义域 值域值域 性质性质 y x 0 1 y x 0 1 (0,) R (0,)R 当当x x0 0时时y y1 1； 当当x x0 0时时0 0y y1 1时时y y0 0； 当当0 0 x1 1时时y y0 0； 当当x=1x=1时时y=0y=0； 在在R R上是减函数上是减函数. . 思考思考2:2:一般地，原函数与反函数的定义一般地，原函数与反函数的定义 域、值域有什么关系？函数图象之间有域、
34、值域有什么关系？函数图象之间有 什么关系？单调性有什么关系？什么关系？单调性有什么关系？ 思考思考3:3:函数函数y = 1y = 1- -x , x , 的反函数的反函数 分别是什么？由此推测：如果函数分别是什么？由此推测：如果函数 y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线y= xy= x对称，则对称，则 函数函数f(x)f(x)与其反函数有什么关系？与其反函数有什么关系？ 1 y x 理论迁移理论迁移 例例1 1 求下列函数的反函数：求下列函数的反函数： （1 1）y y3x3x1 1 ； （2 2）y y 1 1 （x0 x0）；）； （3 3） ；(4) .(4) . x 1 2 log (4)yx 1 32 x y 例例2 2 已知函数已知函数 . . （1 1）求函数）求函数f(x)f(x)的定义域和值域；的定义域和值域； （2 2）求证函数）求证函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线 y=xy=x对称对称. . 2 ( )log (1 2 ) x f x 例例3 3 若点若点P P（1 1，2 2）同时在函数）同时在函数y y 及其反函数的图象上，求及其反函数的图象上，求a a、b b 的值的值. . bax 作业：作业： P P75 75 习题 习题2 2. .2 2B B组组: :1 1，4 4，5 5. .
