1、专题专题 01 平行四边形的性质与证明的综合应用平行四边形的性质与证明的综合应用 一、知识点综述一、知识点综述 1. 平行四边形性质（平行四边形性质（“三板斧三板斧”） 边两组对边分别平行且相等； 角两组对角分别对应相等； 对角线两条对角线互相平分. 2. 平行四边形判定（平行四边形判定（“五兄弟五兄弟”） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别对应相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别对应相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 这“五兄弟”在证明平行四边形的过程中是互通的，“你中有我，我中有你”，要熟记.
2、 3. 三角形中位线定理（三角形中位线定理（“一颗明珠一颗明珠”） 三角形的中位线平行于第三边， 且等于第三边的一半. 这是几何中为数不多的线段间的数量关系定理， 犹如“一颗 明珠”，照亮了平行四边形的海洋. 4. 平行线间的距离处处相等平行线间的距离处处相等. （面积法）（面积法） 二、基本图形二、基本图形 图形图形 条件条件 结论结论 DEBC BE 平分ABC BD=DE 1=3 DEBC CE 平分ACG CF=EF 1=3 图形图形 条件条件 结论结论 ABCD 为平行 四边形 E是AD上任意 一点 1 2 BCEABCD SS 平行四边形 : ABECDE SSAE DE 平行四边
3、形 ABCD 对角线 交于点 O ABOACOCDOADO SSSS 三、典型例题解析三、典型例题解析 知识点二、知识点二、平行四边形的平行和对称平行四边形的平行和对称 3 如图，在平面直角坐标系中，MNEF 的两条对角线 ME，NF 交于原点 O，点 F 的坐标是(3，2)， 则点 N 的坐标是( ) A(3，2) B(3，2) C(2，3) D(2，3) ， ， ， 4 图，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点 A，B，D 的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)， 则顶点 C 的坐标是( ) A(3，7) B(5，3) C(7，3) D(8，2) 5如图，平行四边形如图，平行四边形
4、 ABCO 中的顶点中的顶点 O，A，C 的坐标分别为（的坐标分别为（0，0） ，） ， （2，3） ， （） ， （m，0） ，则顶点） ，则顶点 B 的坐标为（的坐标为（ ） A （ （3，2+m） B （ （3+m，2） C （ （2，3+m） D （ （2+m，3） 知识点三知识点三、平行四边形的判定和性质、平行四边形的判定和性质 例例 1 1，ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 AECF. 求证：BEDF. 6 知：如图，ADBC，EDBF，且AFCE求证：四边形ABCD是平行四边形 7如图，在ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点且 AECF， 求证：四边
5、形 EBFD 为平行四边形； 8如图，在ABC 中，ABAC，点 E、F 分别是 BC、AC 边上的中点，过点 A 作 ADBC，交 EF 的延长 线于点 D （1）求证：四边形 ABED 是平行四边形； （2）若 AB4，BAC120，求四边形 ABED 的周长 9如图，等边ABC 的边长是 2，D、E 分别为 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 F，使BCCF 2 1 ，连结 CD 和 EF （1）求证：四边形 CDEF 是平行四边形； （2）求四边形 BDEF 的周长 知识点四知识点四、平行四边形与平分线平行四边形与平分线 例例 2 2、如图，ABCD 是平行四边形，P 是 CD 上一
6、点，且 AP 和 BP 分别平分DAB 和CBA （1）求APB 的度数； （2） 如果 AD=5cm， AP=8cm， 求APB 的周长 10、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BCD的平分线CF交边AB于F，ADC的平分线 DG 交边AB于 G。求证：AF=GB； 11如图所示，在ABCD 中，DE 平分ADC 交 BC 于点 E，AFDE，垂足为 F，已知DAF50， 则B 等于( )A50 B40 C80 D 100 12 如图5-1所示, ABCD的对角线AC、 BD交于点O， AE平分BAD交BC于点E， 且ADC=60 ， 2AB=BC， 连接 OE. 下列结论：CAD=30
7、 ；S ABCD=ABAC；OB=AB；4OE=BC.成立个数有（ ） 图 5-1 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 三、 平行四边形的计算三、 平行四边形的计算 1 平行四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O, ADB=90 0,OA=6,0B=3. 求 AD 和 AC 的长度. 例例 3 3 图所示，在平行四边形 ABCD 中，DEAB 于点 E，DFBC 于点 F.若 DE4 cm，DF6 cm， 平行四边形 ABCD 的周长是 40 cm，求这个平行四边形的面积 13 如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AEBC ,AB=4,AC=6,BD=10,
8、则AE的长为_ 14 如图，在ABCD 中，AB=3，AD=4，ABC=60，过 BC 的中点 E 作 EFAB，垂足为点 F，与 DC 的延长线相交于点 H，则DEF 的面积 15 如图，两条宽度分别为 1 和 2 的方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形 ABCD，若 AB+BC6，则四边 形 ABCD 的面积是（ ） A4 B2 C8 D6 16 如图 2-1,平行四边形 ABCD 中，DEAB 于 E，DFBC 于 F，若ABCD 的周长为 48，DE=5，DF=10， 则ABCD 的面积等于( ) A87.5 B80 C75 D72.5 图 2-1 四、四、三角形中位线定理的 如图 1，
9、如果 DEBC，DE= 1 2 BC，求证：D、E分别是AB、AC的中点. 题题 5 5 如图 8-1 所示，已知 ABC 中，D 是 BC 边的中点，AE 平分BAC，BEAE 于 E 点，若 AB12， AC16，求 ED C B A D E 图 5-1 题题 7 如图 7-1 所示，ABC 的周长为 24，点 D，E 在边 BC 上，ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N， ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 M，若 BC10，则 MN 的长度为（ ） 图 6-1 A2.5 B2 C3.5 D1 题题 7. 如图 6-1,已知在四边形 ABCD 中,AD=BC,E、F 分别是 DC、
10、AB 边的中点,FE 的延长线分别与 AD、BC 的延长线交于 H、G 点求证：AHF=BGF 图 7-1 题题 8. 如图 8-1，在四边形 ABCD 中，A=90 ，AB=3 3，AD=3，点 M，N 分别在边 AB，BC 上，点 E，F 分别为 MN，DN 的中点，连接 EF，则 EF 长度的最大值为 四、证明四、证明 例例 5 5，ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且BFCD，以AD 为边作等 边ADE. (1)求证：ACDCBF. (2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且DEF=30 . 题题 9 如图 8-1，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中
11、线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线与 BE 的延长 线相交于点 F，连接 CF （1）求证：四边形 CDAF 为平行四边形； （2）若BAC=90 ，AC=AF，且 AE=2，求线段 BF 的长 图 9-1 1满足下列条件的四边形，不一定是平行四边形的是（ ） A两组对边分别平行 B两组对边分别相等 C一组对边平行且相等 D一组对边平行，另一组对边相等 2 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AEBC 于点 E， AFCD 于点 F， 若EAF58， 则BAD 3 如图，在四边形 ABCD 中，AD12，对角线 AC，BD 交于点 O，ADB90，ODOB5，AC26，
12、则四边形 ABCD 的面积为 4如图，在ABC 中，BC14，D、E 分别是 AB、AC 的中点，F 是 DE 延长线上一点，连接 AF、CF， 若 DF12，AFC90，则 AC 5.5.在ABCD中，EF过对角线的交点O，求证：四边形 DFBE 是平行四边形 专题专题 02 矩形的性质与证明的综合应用矩形的性质与证明的综合应用 一、知识点综述一、知识点综述 1. 矩形性质（矩形性质（“三板斧三板斧”） 边两组对边分别平行且相等； 角每个角都是 90 ； 对角线两条对角线相等且互相平分. 2. 矩形判定（矩形判定（“矩形三兄弟矩形三兄弟”） 有一个角是 90 的平行四边形是矩形； 对角线相等
13、的平行四边形是矩形； 有三个角 90 的四边形是矩形. 这“三兄弟”在证明矩形的过程中是互通的，“你 中有我，我中有你”，要熟记. 3. “斜中定理斜中定理” 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 逆命题：如果一个三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.逆命题也是真命题，证 明见基本图形. 4. 直直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边的长角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边的长. （面积法）（面积法） 二、基本图形二、基本图形 图形图形 条件条件 结论结论 矩形 ABCD，E 是对角线 BD 上任意一点，分别过 E 作四条边的垂线段 S矩形AFEG= S矩形
14、ENCM S1=S2 S3=S4 ABC 是直角三角形， D、E、F 分别是各边的 中点 四边形 DFCE 是矩形 EF=CD 图形图形 条件条件 结论结论 AB=AC，D 是底边 BC 上 任意一点，DEAB， DFAC， CHAB DE+DF=CH 来源:Zxxk.Com D 是 ABC 边 AB 的中 点，连接 CD， CD=AD=BD ACB=90 三、典型例题分析三、典型例题分析 例例 1如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABCADC90，对角线 AC，BD 交于点 O，DE 平分 ADC 交 BC 于点 E，连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若 AB2
15、，求OEC 的面积 . 例例 2 如图 2-1 所示，矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，将矩形折叠，使得点 B 落在线段 CD 的点 F 处，则线 段 BE 的长为 图 2-1 5 如图,在矩形 ABCD 中（ADAB），点 E 是 BC 上一点,且 DE=DA,AFDE,垂足为点 F, (1)求证： A AFDDCE 例例 5 5. 如图 5-1 所示，四边形 OABC 为矩形，点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，连接 AC，点 B 的坐标为（4， 3），CAO 的平分线与 y 轴相交于点 D，则点 D 的坐标为 x y CB A O D 图 5-1 例例 6 如图 6-1 所示，
16、矩形 ABCD 面积为 40，点 P 在边 CD 上，PEAC，PFBD，垂足分别为 E，F若 AC10，则 PE+PF 题题 7、如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O,有 AE 垂直平分 OB，垂足为 E，已知 AB=3， 求矩形 ABCD 的周长和面积。 题题 8、如图，ABC 中，点 O 是 AC 上一个动点，过点 O 作直线 MNBC，设 MN 交BCA 的平分线于点 E，交BCA 的外角平分线于点 F， (1)求证：OE=OF； (2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形，并证明你的结论。 A B C D E O 例例 9 已知：如图，在矩形 ABCD
17、 中，AC 是对角线点 P 为矩形外一点且满足 AP=CP APCPPC 交 AD 于点 N，连接 DP，过点 P 作 PMPD 交 AD 于 M （1）若 AP=5； ，AB= 3 1 BC，求矩形 ABCD 的面积； （2）若 CD=PM，求证：AC=AP+PN NM P D C B A 1如图，在矩形 COED 中，点 D 的坐标是（1，3） ，则 CE 的长是（ ） A3 B22 C10 D4 2如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，DEAC 于点 E，若AOD110，则CDE 3 如图 3-1，在Rt ABC 中， 90BAC，6AB ， 8AC ，P为边BC上一动点，
18、PE AB 于E，PFAC 于F，M为EF的中点，则AM的最小值是( ) 专题专题 04 正方形的性质与证明的正方形的性质与证明的综合应用综合应用 一、知识点综述一、知识点综述 形状 性质 判定 正方形 四条边都相等； 四个角都是 90 ； 对角线相等且互相垂直平分； 每条对角线平分一组对角； 正方形的中点四边形是正方形； 矩形四个角平分线所成的四边形是正方形. 四边相等，有三个 角是直角的四边形是正方 形； 一组邻边相等的矩形是正方形； 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边 形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形； 对角线互相
19、垂直平分且相等的平行四边形是 正方形. 标红部分为课本上所没有内容. 二、基本图形综述二、基本图形综述 图形图形 条件条件 结论结论 四边形 ABCD 为正方形，BNAM ADMBAN AM=BN 在正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别为 AB、CD、BC、AD边上的 点，EFGH HNGFME GH=EF 证明方法：过点 H 作 HNBC，过 F 作 FMAB 三、三、 典型例题详解精炼典型例题详解精炼 题 1.以正方形 ABCD 的边 AD 作等边ADE，则BEC 的度数是 O A B D C E F 2如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且BAE22.
20、5，EFAB，垂足为 F，则 EF 的长为（ ） A1 B2 C224 D423 第 2 题 3、如图，在正方形 ABCD 中，OE=OF. 求证：AE=BF 4边长为 4 的正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 上的四等分点，连结 EF，FG， GH，HE （1）求 EH 的长； （2）求证：EHG90； （3）正方形 EFGH 的面积 题题 5 如图 2-1 所示，四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形，点 G，E 分别是边 AB，BC 的中点，AEF=90 ， 且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F （1）证明：BAE=FEC； （2）证明：
21、AGEECF； （3）求 AEF 的面积 图 2-1 题题 4 如图 5-1 所示，将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 E 的坐标为（2，3），则 点 F 的坐标为 5如图，点 G 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AG 为边作一个正方形 AEFG，线 段 EB 和 GD 相交于点 H （1）求证：EABGAD； （2）若23AB，AG3，求 EB 的长 题题 6 如图 2-1 所示，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE. 过点A作AE的垂线交DE于点P.若 AE=AP=1，PB= 5. 下列结论： APDAEB； EBED；
22、点B到直线AE的距离为 2； 16 2 APBAPD SS . 其中正确结论的序号是（ ） A B C D 图 6-1 题题 7. 如图 7-1 所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，EAF=45 ， ECF 的周长为 8， 则正方形 ABCD 的面积为（ ） 图 7-1 A.9 B.16 C.20 D.25 题题 8. 如图 8-1，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，F 是 BC 上的一点，且AEF=90 ，延长 AE 交 BC 的延长线于点 G. （1）求 GE 的长； （2）求证：AE 平分DAF. 图 6-1 题题 9. . 如图
23、 9-1所示，在正方形 ABCD 中，以对角线 BD 为边作菱形 BDFE，使 B，C，E 三点在同一直线上， 连接 BF，交 CD 与点 G （1）求证：CG=CE； （2）若正方形边长为 4，求菱形 BDFE 的面积 A D F B CE G 1在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ） AACBD，ABCD，ABCD BADBC，AC CAOBOCODO，ACBD DAOCO，BODO，ABBC 2 如图， 以正方形 ABCD 的中心为原点建立平面直角坐标系， 点 A 的坐标为 （2， 2） ， 则点 D 的坐标为 （ ） A （2，2） B （2，2） C （2，2） D （2，2） 3正方形 ABCD 的对角线 AC 的长是 12cm，则边长 AB 的长是（ ） A26 B122 C6 D8 4如图，边长为 4 的正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD、BC 于 E、F，则阴影 部分的面积是 5AD 为正方形 ABCD 对角线，G 为对角线上任意一点，若 GFGE，且GF ，则GE _ 6 如图，正方形 ABCD 中，AB1，点 P 是对角线 AC 上的一点，分别以 AP、PC 为对角线作正方形，则两 个小正方形的周长的和是 A B F G C ED
