1、高 2021 级【数学试题】第 1 页（共 4 页） 重庆市名校联盟重庆市名校联盟 2020202020202121 学年度第学年度第二二次联合考试次联合考试 数学试题（高数学试题（高 20202 21 1 届）届）答案答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。 1-8CACB BCDC 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9. AD 10. BD 11. BCD 12. ABD 三、填
2、空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 3 14. 3 4 15. ( 1,0)(0,1) 16. 14 (,14) 3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 10 分） 选择条件作答（选择条件，选择条件评分原则相同） （）设 n a的首项为 1 a，公差为d，则 349 2 52 2 27 += = aaa aa ，所以 11 2 11 378 (4 )27() +=+ +=+ adad adad 解得 1 1 2 = = a d ，所以21= n an， 2 = n Sn（5 分） （）因为 12
3、2=24 + = n ann n n S bnn n ， 所以 1 12 44(1) (444 )(1 2)= 32 + + =+ n n n n n Tn（10 分） 18. （本小题满分 12 分） （）方程C可化为 22 (1)(2)54xym+= ， 因为方程C表示圆，所以540m，解得 5 4 m .（5 分） （）圆C的圆心(1,2)，圆心到直线:240l xy+=的距离为： 22 |1 2 24|1 5 12 d + = + ，（8 分） 圆C的半径1r =，所以 22 14 5 22 1 55 MNrd=.（12 分） 19. （本小题满分 12 分） （）因为( ) 1 2=
4、fxx x ，所以( )11 =kf ，又( )12=f，所以切点为(1,2)， 所以 ( )f x在点(1,(1)f 处的切线方程为：10+ =xy；（5 分） （） 2 (l)1nxgxxx+ =， ( ) ()()2111 21 xx gxx xx + = =， 由( )0gx 得1x ，得( )g x在()0 1，上单调递减，在()1， +上单调递增（8 分） 当01m时，21+m，所以( )g x在1 ，m上单调递减，在12，+m上单调递增， 所以( )g x的最小值为( )11g=； 当1m时，( )g x在2，+mm上单调递增，所以( )g x的最小值为( ) 2 1 ln=+
5、g mmmm. 综上：当01m时，( )g x的最小值为( )11g=. 高 2021 级【数学试题】第 2 页（共 4 页） 当1m时，( )g x的最小值为( ) 2 1 ln=+ g mmmm.（12 分） 20. （本小题满分 12 分） （）因为( )4cos sin()3sin2cos212sin(2) 1 66 = =f xxxxxx（3 分） 所( )f x的最小正周期为： 2 2 =T .（4 分） 因为( )f x的最大值为1，最小值为3，且( )1=f m，( )3= f n 所以 ,m n分别为函数 ( )f x的最大值点与最小值点， 2 ) 12( T knm= *
6、kN，所以 mn的最小值为 2 ；（6 分） （）因为()coscos0= AB BCABBCBABBCB，所以cos0B， 所以，B 为钝角，A 为锐角， 因为( )2sin 21 1 6 = = fAA，可得sin 21 6 A = ， 因为0 2 A， 5 2 666 A ，则2 62 A =，解得 3 A =（8 分） 由正弦定理得 3 2 1 sinsinsin3 2 bca BCA =，则sinbB=，sincC=， 由题意得 0 2 2 C B ，即 0 2 2 23 C C ，解得0 6 C ， 所以3sin 6 +=+ bcC，（10 分） 因为0 6 C，所以 663 +C
7、， 则 13 sin 262 C + ，所以 33 22 +bc 因此，bc+的取值范围是 3 3 , 22 .（12 分） 21. （本小题满分 12 分） （）证明：PC 平面ABCD，AC 平面ABCD，PCAC. 2AB =，1ADCD=， 2ACBC= ， 222 ACBCAB+=，AC BC. PCBCC=，PC 平面PBC，BC 平面PBC， AC 平面PBC.AC 平面EAC， 平面EAC平面PBC.（3 分） （）（）由（）易知BC平面PAC，BPC即为直线PB与平面PAC所成角. 23 sin 3 = BC BPC PBPB ，6=PB，2=PC.（5 分） 11 1 11
8、 ( (1 2) 2) 22 3 23 = = P ACEP ACB VV 3 1 221 2 1 3 1 =.（7 分） 高 2021 级【数学试题】第 3 页（共 4 页） （）取AB的中点G，连结CG，以点C为坐标原点，分别以CG、CD、CP所在直线为x轴、 y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0C，()0 0 2P, ,，()1,1,0A，()1, 1,0B， 11 ,1 22 E ， ()1,1,0CA=，CP()0,0,2CP =， 11 ,1 22 CE = .（8 分） 设() 111 ,mx y z=为平面PAC的法向量， 则 11 0m CAxy=+=，
9、 1 20m CPz=，得 1 0z =，取 1 1x =， 1 1y = ， 得m()1, 1,0m = u r .（9 分） 设() 222 ,nxy z=平面ACE的法向量， 则 22 0n CAxy=+=， 222 11 0 22 n CExyz=+=，取 2 1x =， 2 1y = ， 2 1z = ，得 n ()1, 1, 1n = .（10 分） () ()()1 111016 cos, 323 m n + + = .（11 分） 又因为所求二面角为锐角，所以二面角PACE的余弦值为 6 3 .（12 分） 22. （本小题满分 12 分） （）因为( )ln x f xxxa
10、ea=+，所以( )ln1 x fxxae=+ ， 因为( )f x在定义域内是单调递减函数，则( )0fx 在(0,)+上恒成立. 若( )0fx ，则 ln1 x x a e + （2 分） 令 ln1 ( )(0) x x G xx e + =， 得 1 ln1 ( ) x x x G x e = ， 易知( ) 10G=，且函数 1 ln1yx x =在()0,+上单调递减， 当0 x 时，e1 x ，所以在区间() 0,1上，( )0Gx ；在()1,+上( )0Gx ， 所以( ) ln1 x x G x e + =在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，（4 分） 此时(
11、 )G x的最大值为( ) 1 1G e = 所以当 1 a e 时，( )f x在定义域上单调递减；（5 分） 高 2021 级【数学试题】第 4 页（共 4 页） （）当1a时，( )lnln(1)ln1=+=+ xxx f xxxaeaxxa exxe， 要证( )cos1f xx，即可证1lncos1+ x xxex ，（6 分） 当01x时，欲证明1lncos1+ x xxex ，即证明lncos2+ x xxex ， 令( )cos2=+ x g xex，( )sin0(01)= x g xexx 所以( )g x在(0,1)上单调递增，( )(0)0=g xg，即cos20+ x
12、 ex 又因为01x，ln0 xx，所以lncos2+ x xxex在(0,1)上成立；（8 分） 当1x时，欲证明1lncos1+ x xxex ，即证明lncos20+ x xxex ， 令( )()lncos21=+ x h xxxexx，则( )ln1sin=+ + x hxxex， ( ) 1 cos=+ x hxex x ，当1x时， 1 cos2+ x xe x ，所以 1 cos0+ x xe x ， 即( )0 hx 在1,)+上成立，所以( )hx在1,)+上单调递减， 又因为( ) 11sin10= +he，所以( )0hx在1,)+上成立， 所以( )h x在1,)+上单调递减，( )(1)cos1 20= +h xhe， 即1x时，lncos20+ x xxex成立. 综合可得，对任意()0,x+，恒有( )cos1f xx成立. （12 分）
