1、高三数学答案（A）第 1 页（共 5 页） 高三数学试题（A）参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 14BCAC 58CBDB 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9BD 10AB 11CD 12BC 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 5 1 14280 153 16 3 4 ， 9 34 （第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共6小题，共70分 17.（本小题满分10分）
2、解： （1） 11 =1aS，1分 当 n2时， 22 nnn-1 =(1)21=-aSSnnn，3分 a1符合上式， 4分 所以 n=2 1an .5分 （2）n 211 = (21)(21)2121 = + b nnnn ，6分 n 111111 =11 335212121 += + +T nnn ，8分 令 12020 1 212021 +n ，解得1010n，9分 所以最小正整数 n 为1011 . 10分 18 （本小题满分12分） 解： （1）若选：因为 222 3 ()sin 2 +=acbBac，且 222 2cos+=acbacB， 所以 3 2cossin 2 =acBBa
3、c，所以 3 sin2 2 =B. 3分 又 4 B，所以22 2 B，所以 2 2 3 =B，所以 3 =B. 6分 若选：由正弦定理得 sinsin 3sin 1cos = BA A B ，因为sin0A， 所以sin33cos=BB ，即 3 sin() 32 +=B. 3分 由 4 0 333 +，BB，所以 2 33 +=B，所以 3 =B. 6分 若选：由正弦定理得 + = bca acbc ，即 222 +=acbac， 3分 高三数学答案（A）第2页（共5页） 由余弦定理得 222 1 cos 222 + = acbac B acac ， 又0B，所以 3 =B. 6分 （2）
4、因为ABC是锐角三角形， 3 =B， 所以 2 (0,) 32 =AC，且(0,) 2 C，得 62 C. .7分 由正弦定理得 2 sinsin = a AC ， 所以 2sin() 2sinsin3cos3 3 1 sinsinsintan + + = + C ACC a CCCC . .10分 因为 62 C，所以 1 03 tan C ， 所以 3 1 14 tan + C ，即c的取值范围是(1,4) . 12分 19 （本小题满分12分） （1）证明：由平面 ABCD平面 BEFC，平面 ABCD平面 BEFC=BC，CDBC， 得 CD平面 BEFC，EF平面 BEFC， 2分
5、从而 CDEF. 3分 又因为 EFCE，CDCE=C， 所以 EF平面 CDE. 5分 （2）解：如图所示，以点 C 为坐标原点，以 CB、CF 和 CD 所 在直线分别为 x 轴、y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系. 过点 E 作 EGCF 于点 G. 在RtEFG 中，EG=AD=2，EF=3，所以 FG=1. 又因为 CEEF，所以 CG=2，所以 CF=3. 设 AB=a，则 C(0,0,0) , ( 2,0, )Aa,( 2,2,0)E, (0,3,0)F. (0,2,)= ? ? AEa，(2,1,0)= ? ? EF，( 2,2,0)= ? ? CE， 7分 设平面 AEF 的
6、法向量 ( , , )= x y zn. 则 0 0 = = ? ? ? ? AE EF n n ，即 20 20 = += yaz xy ，令z=2，得 (, ,2) 2 = a an. 9分 又因为 CD平面 EFC，(0,0, )= ? ? CDa, 所以 2 2 21 cos, 2 4 2 = + ? ? a CD a aa n，10分 高三数学答案（A）第3页（共5页） 解得2 2=a， 所以当2 2=AB时，二面角 A-EF-C 的大小为60. 12分 20 （本小题满分12分） 解： （1）系统需要维修的概率为 0312 33 1217 ( )( ) 33327 +=CC， 2分
7、 （2）设X为需要维修的系统的个数，则 XB 7 (3,) 27 ，且=900X， 所以 7 ( )900 ()900 3700 27 = =EE X. .5分 （3）当系统 G 有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有一个元件正常工作，系统 G 才正常工作. 6分 若前3个电子元件中有1个正常工作， 则同时新增的两个必须都正常工作， 则概率 为 1222 3 212 ( ) 339 =Cpp； 7分 若前3个电子元件中有2个正常工作， 则同时新增的两个至少有1个正常工作， 则 概率为 22122 32 214 ( )(1)(2) 339 += CC ppppp；8分 若前3个电子元件中3个
8、都正常工作， 则不管新增两个元件能否正常工作， 系统 G 均能正常工作，则概率为 33 3 28 ( ) 327 =C；9分 所以新增两个元件后系统 G 能正常工作的概率为 2 22 248828 (2) 9927927 +=+ pp ppp. 10分 令 2 8287 1 92727 + pp ，解得2222+p， 即221y，设 11 (,)P x y. 则直线 PA 的方程为： 01 11 01 () = yy yyxx xx ，令 y=0，得 1001 01 = C x yx y x yy ，5分 高三数学答案（A）第4页（共5页） 同理 1001 01 + = + D x yx y
9、x yy ， 所以 2222 1001 22 01 = CD x yx y xx yy ，7分 又点 A 与点 P 均在椭圆上，故 2 20 0 4(1) 3 = y x， 2 21 1 4(1) 3 = y x， 得 22 22 01 22 01 01 2222 0101 4(1)4(1) 4() 33 4 = CD yy yy yy xx yyyy ，.9分 所以4= CD OCODxx为定值， 因为 22 111 4 224 = = POCPODPPPP SSOCyODyyy . .10分 由 P 为椭圆上的一点，所以要使 POCPOD SS最大，只要 2 P y 最大. 而 2 P y
10、 最大为3， 所以 POCPOD SS 的最大值为3，此时 P 点坐标为(0,3)和(0, 3). 12分 22 （本小题满分12分） 解： （1） x exxf) 1()(+=，ef2) 1 (= ，ef=) 1 (， 2分 所以曲线( )yf x=在点)1 (, 1 (f处的切线方程为) 1(2=xeey， 即eexy= 2. .3分 直线eexy= 2在x轴，y轴上的截距分别为e， 2 1 . 因此所求三角形的面积为 4 e . 4分 （2）由12)( 2 +=axaxxexh x ，得)2)(1(22) 1()(aexaaxexxh xx +=+=. （） 当0a =时，1)(= x
11、xexh， 知0 x时，0)(= eh，所以)(xh仅有一个零点 5分 （）当0a 时，20 x ea+， 由1x 得0)( 得0)( x h，)(xh为增函数 01 1 ) 1()( min +=aeh， 存在() 1 1,1x ，使0)( 1 =xh，故)(xh在()1, +有唯一零点 又当2x 时， 2 1 x e e ，所以 12 1 12)( 2 2 2 +=axaxx e axaxxexh x ，而1)2 1 ()( 2 2 +=xa e axx 高三数学答案（A）第5页（共5页） 图象开口向上，故存在 0 2xx，也即有0)( 0 xh，则存在 () 20, 1 xx，使得0)(
12、 2 =xh，故)(xh在(), 1 有唯一零点，此时，)(xh有两 个零点 7分 （）当0a时，由0)(= x h得 1x =或()ln2xa=， 若()ln21a ，即 1 0 2 a e ，则 当()ln2xa x h，)(xh单调递增； 当()ln21ax 时，0)( 时，0)( x h，)(xh单调递增 而01)2(ln()2(ln( 2 += e eaeh， 此时，)(xh仅有一个零点 9分 若()ln21a= ，即 1 2 a e = ，则0)( x h，)(xh为R上的增函数， 因为01)0(+=aeh，此时)(xh仅有一个零点 10分 若()ln21a ，即 e a 2 1 1，则 当1x x h，)(xh单调递增； 当()1ln2xa 时，0)(时，0)( x h，)(xh单调递增 因为 e a 2 1 1，则01 1 ) 1(+=aeh， 此时)(xh仅有1个零点 11分 综上，当01时，)(xh有两个零点 12分
