1、绝密启用并使用完毕前 2021 年高中三年级学情诊断考试 数学试题数学试题 本试卷共 6 页，22 题，全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡 上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 参考公式：锥体的体积公式： 1 3 VSh（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小
2、题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1设集合 2 |60Ax xx ， |10Bx x ，则AB A |3x x B | 31 xx C | 21 xx D | 21 xx 2已知复数 i 1i z （其中i为虚数单位） ，则z的共轭复数为 A 11 i 22 B 11 i 22 C 11 i 22 D 11 i 22 3已知直线l过点(2 2)，则“直线l的方程为2y ”是“直线l与圆 22 4xy相切” 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 十二生肖是中国特有的文化符号， 有着丰富的内涵， 它们是成对出现的， 分别为鼠和牛、 虎和兔、龙
3、和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对每对生肖相辅相成，构成一种完美人 格现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份甲、乙、丙三位同学依 次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物 都喜欢如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法 种数共有 A12 种 B16 种 C20 种 D24 种 5已知菱形ABCD的边长为2，120BAD，点E F，分别在边BC CD，上，且满足 BEEC，2CDCF，则|AEAF A3 B3 C2 3 D4 6把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是 1 C，空气的温度是 0 C，那么mint 后物体的
4、温度（单位：C ）满足公式 010 ()e kt （其中k为常数） 现有52 C 的物体放在12 C 的空气中冷却，2min后物体的温度是32 C 则再经过4min该物体的 温度可冷却到 A12 C B14.5 C C17 C D 22 C 7已知双曲线 22 22 :1(00) xy Cab ab ，的左、右顶点分别为A B，其中一条渐近线与以 线段AB为直径的圆在第一象限内的交点为 P， 另一条渐近线与直线PA垂直， 则 C 的离 心率为 A3 B2 C3 D2 8已知函数( )(1)exf xa xx，若存在唯一的正整数 0 x，使得 0 ()0f x，则实数a的取 值范围是 A 3 1
5、3 ) 2e4e ， B 32 32 ) 4e3e ， C 2 21 ) 3e2e ， D 11 ) 2e2 ， 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9为落实山东省学生体质健康促进条例的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼 意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时 间（单位：分钟）进行了调研根据统计数据制成折线图如下： 下列说法正确的是 A班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为 30 B班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的
6、中位数为 72 C班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小 D班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 10已知函数 12 ( )sin(2)cos(2)f xaxbx（( )f x不恒为 0） ，若()0 6 f ，则下列 说法一定正确的是 A() 12 f x 为奇函数 B( )f x的最小正周期为 C( )f x在区间 12 12 ，上单调递增 D( )f x在区间0 2021 ，上有 4042 个零点 11如图，在正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 22AAAB，点P为线段 1 AD上一动点，则 下列说法正确的是 A直线 1 PB平面 1 BC D B
7、三棱锥 1 PBC D的体积为 1 3 C三棱锥 11 DBC D外接球的表面积为 3 2 D直线 1 PB与平面 11 BCC B所成角的正弦值的最大值为 5 3 12已知红箱内有 5 个红球、3 个白球，白箱内有 3 个红球、5 个白球，所有小球大小、形 状完全相同 第一次从红箱内取出一球后再放回去， 第二次从与第一次取出的球颜色相 同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第1k 次从与第k次取出的球颜色 相同的箱子内取出一球，然后再放回去记第n次取出的球是红球的概率为 n P，则下列 说法正确的是 B1 A1 C1 D1 C A B D P A 2 17 32 P B 1 17 23
8、2 nn PP C 2 1122 1 () 2 nnnnnn PPP PPP D对任意的i j N， 且1 ij n剟， 1 1 111 ()()(14)(14) 22180 nn ij ij n PP 剟 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 1 sin() 63 ，则 5 sin() 6 的值为 _ 14若实数x y，满足lglglg()xyxy，则xy的最小值为_ 15已知奇函数( )f x在(0)，上单调递减，且(4)0f，则不等式(1)0 xf x的解集为 _ 16 已知直线l与抛物线 2 8C yx：相切于点P， 且与C的准线相交于点T，F为C的焦点
9、， 连接PF交C于另一点Q，则PTQ面积的最小值为_；若|5TF ，则|PQ的 值为_ （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 在平面四边形ABCD中，25120ABBCABC，13AD ，2ADCACD ， 求ACD的面积 18 （12 分） 已知数列 n a的前n项和 2 n Sn （1）求数列 n a的通项公式； （2）在 2 1 8 () n nn n b aa ，2n nn ba，( 1)n nn bS 这三个条件中任选一个，补 充在下面的问题中，并求解该问题 若 ，求数列 n b
10、的前n项和 n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19 （12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，2ABAC，D为BC的 B1 D C1 A C A1 B 中点，平面 11 BBC C 平面ABC，设直线l为平面 1 AC D与平面 111 ABC的交线 （1）证明：l 平面 11 BBC C； （2）已知四边形 11 BBC C为边长为2的菱形，且 1 60BBC，求二面角 1 DACC的 余弦值 20 （12 分） 习近平同志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战确保到 2020 年在我国现行 标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽某县在实施脱贫工作中
11、因地制宜，着 力发展枣树种植项目该县种植的枣树在 2020 年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红 枣由经销商统一收购为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取 100 千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图右表是红枣 的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品 经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取 4 个进行检测，若 4 个均为优质品，则该箱红枣定为 A 类；若 4 个中仅有 3 个优质品，则再从该箱中任意 取出 1 个， 若这一个为优质品， 则该箱红枣也定为 A 类； 若 4 个中至多有一个优质品， 则该箱红枣定为 C 类；其它情况均定
12、为 B 类已知每箱红枣重量为 10 千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克 20 元、16 元、12 元现有两种装箱方案： 方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱； 方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为 1 元 以频率代替概率解决下面的问题 等级 四级品 三级品 二级品 一级品 红枣纵径/mm 30 35)， 35 40)， 40 45)， 45 50， 组距 频率 红枣纵径/mm 0.08 0.06 0.04 504540 O 30 35 0.02 （1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为 A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由 21 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ，过椭圆焦点的最短弦长为 2 3 3 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若折线|2 |(0)yk xk与C相交于A B，两点(点A在直线2x 的右侧)，设 直线OA OB，的斜率分别为 12 kk，且 21 2kk，求k的值 22 （12 分） 已知函数( )ln(1)f xaxx （1）讨论( )f x的单调性； （2）若 1 ( )e 1 x f x x 对任意的(0 +)x，恒成立，求实数a的取值范围
