1、顺义区顺义区 2021 届高三第一次统练届高三第一次统练 数学试卷数学试卷 考考 生生 须须 知知 1. 本试卷共 4 页，共两部分，21 道小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 2. 在答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和教育 ID 号 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡，在试卷上作答无效 4. 在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答 5. 考试结束后，请将答题卡上交 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、一、选择题共选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，分在每小题列出的四
2、个选项中， 选出符合题目要求的一项选出符合题目要求的一项 （1）设集合 =120Mx xx，1Nx x ，则MN A. 2,1 B. 1,1 C. 1, D. 1,1 （2）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,1)，则 1 z A. 31 i 88 B. 13 i 1010 C. 31 i 44 D. 31 i 1010 （3）在 6 1 ()x x 的展开式中，常数项为 A. 15 B. 30 C. 20 D. 40 （4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 1 3 B. 1 6 C. 1 D. 2 3 （5）我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增
3、，共 灯二百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 254 盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的底层共有灯 A32 盏 B64 盏 C128 盏 D.196 盏 （6） 设双曲线C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 若C的一条渐近线的斜率为 2 3 ， 则C的离心率为 A. 13 3 B. 13 2 C. 5 3 D. 5 2 （7）已知abR，且ab，则下列不等式中不恒成立不恒成立的是 A. ab B. 0ab C. 11 ab D. 22 ab （8）已知两条直线 m，n 和平面 ，且n，则“mn”是“m”的 A.充分必要条件
4、 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 （9）在ABC中，33= 6 bcaB ，则cosC A 3 2 B 1 2 C 3 2 D. 1 2 （10）已知函数 1 ( )3x ax f x x 若存在 0 (, 1)x ，使得 0 ()0f x，则实数 a的取值范围是 A 4 (, ) 3 B 4 (0, ) 3 C(,0) D. 4 ( ,) 3 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110110 分）分） 二、填空题共填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分 （11）tan() 4 （12）设抛物线 2 ymx
5、的焦点为(1,0)F，则m=_；若点A在抛物线上，且 3AF ，则点A的坐标为_ （13）已知函数 2 ( )f xaxbxc，能说明( )f x既是偶函数又在区间(0,)上 单调递减的一组整数整数ab c， ，的值依次是_ （14）已知单位向量，ab满足 2 2 a b，则a与b夹角的大小为_；xab （Rx）的最小值为_ （15） 已知椭圆 22 :1 168 xy C的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 直线( 44)xmm 与椭圆C相交于点A，B给出下列三个命题： 存在唯一一个 m，使得 12 AFF为等腰直角三角形； 存在唯一一个 m，使得 1 ABF为等腰直角三角形； 存在m，
6、使 1 ABF的周长最大 其中，所有真命题的序号为_ 三、三、解答题共解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明 过程过程 （16） （本小题满分 13 分） 在三棱柱 111 ABCA B C-中， 1 CC 平面 ABC，ABAC， 1 ABACAA=， E是 11 AC的中点 （）求证：ABCE； （）求二面角BCEA-的余弦值 （17） （本小题满分 14 分） 函数( )sin()f xAx(0A，0，0) 2 的部分图象如图所示 （）求函数的解析式； （）求函数( )()2cos2 6 g xf xx
7、在区间0, 2 上的最小值 （18） （本小题满分 14 分） ( )f x 为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了 2000 名顾客进行 回访，调查结果如下表： 运动鞋款式 A B C D E 回访顾客（人数） 700 350 300 250 400 满意度 0.3 0.5 0.7 0.5 0.6 注：1.满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值； 2.对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度 假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立， 用顾客对某款式运动鞋的满意 度估计对该款式运动鞋满意的概率 （）从所有的回访顾客中随机抽取 1 人，求此人是 C 款式运
8、动鞋的回访顾客 且对该款鞋满意的概率； （）从 A、E 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取 1 人，设其中满意的人 数为X，求X的分布列和数学期望； （）用“1”和“0”分别表示对 A 款运动鞋满意和不满意，用“1” 和“0”分别表示对 B 款运动满意和不满意，试比较方差( )D与( )D的大 小 （结论不要求证明） （19） （本小题满分 14 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 经过点0,1M和 1 ( 3, ) 2 N （）求椭圆 C 的方程； （）若直线: l ykxm与椭圆 C 交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距 离为 2 5 5 求证：以AB为直径的圆经
9、过点O （20） （本小题满分 15 分） 已知函数 2 ln0f xxax a. （）若2a,求曲线 yf x的斜率等于 3 的切线方程； （）若 xf在区间 1 , e e 上恰有两个零点，求a的取值范围. （21） （本小题满分 15 分） 已知 n a是无穷数列给出两个性质： 对于 n a中任意两项(), ij aa ij， 在 n a中都存在一项 m a， 使得2 ijm aaa； 对于 n a中任意项(3) n a n，在 n a中都存在两项() kl aa kl,，使得 2 nkl aaa. ()若2 (1,2,) n n an，判断数列 n a是否满足性质，说明理由； ()若
10、(1,2,) n an n ，判断数列 n a是否同时满足性质和性质，说明理 由； ()若 n a是递增数列， 1 0a ，且同时满足性质和性质，证明： n a为等 差数列. 顺义区顺义区 2021 届高三第一次统练届高三第一次统练 数学试卷参考答案数学试卷参考答案 一. 选择题 （共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项） 二.填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 1； 12. 4，(2, 2 2)(前 3 分，后 2 分)； 13. 1,0,1（答案不唯一） ； 14. 4 ， 2 2 (前 3 分，后
11、 2 分)； 15. 三解答题（本大题共 6 小题，共 85 分,其它答案参考给分） 16 （本小题共 13 分） 解： （）因为 1 CC 平面ABC， 所以 1 CCAB.-2 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A A C A C C D B 又ABAC， AC 平面 11 AAC C， 1 CC 平面 11 AAC C， 所以AB平面 11 AAC C.-4 分 因为CE平面 11 AAC C， 所以ABCE.-5 分 （）在三棱柱 111 ABCABC-中， 11 CCAAP， 因为由 1 CC 平面ABC， 所以 1 AA 平面ABC. 所以AB，AC
12、， 1 AA两两垂直. 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系-xyzA，-6 分 所以()0,0,0A，()2,0,0B，()0,2,0C，()0,1,2E. 设平面BCE的法向量为(), ,nx y z= r ， 因为()2,2,0BC= - uuu r ，()0, 1,2CE=- uu u r ， 所以 0 0 BC n CE n ? ? uuu r r uuu r r . 即 220 20 xy yz - += - += . 令1z ，则2x，2y . 所以平面BCE的一个法向量为()2,2,1n= r .-9 分 因为AB平面 11 AAC C， 所以平面ACE的一个法向量为()2,0
13、,0AB= uu u r .-10 分 所以 2 cos, 3 AB n AB n AB n = uuu r r uuu r r uuu r r.-13 分 所以二面角BCEA-的余弦值为 2 3 . 17.（本小题满分 14 分） 解： （）由题设图象知，周期 2 2() 36 T ， 因为 2 T ，所以 2 2 T -2 分 而由题意知2A ，所以( )2sin(2)f xx-4 分 因为函数( )f x的图象过点(,2) 6 ，所以()2sin()2 63 f 所以2() 32 kkZ 所以2() 6 kkZ 又因为0 2 ，所以 6 . 故函数( )f x的解析式为( )2sin(2
14、) 6 f xx .-7 分 （）( )2sin2()2cos2 66 g xxx 31 2sin(2)2cos22(sin2cos2cos2 ) 622 xxxxx -9 分 = 13 2 3(sin2cos2) 22 xx=2 3sin(2) 3 x -11 分 因为0 2 x ，所以 2 2 333 x . 所以当2 33 x 时，即0 x时，( )g x取到最小值， 且最小值为3.-14 分 18.（本小题共 14 分） 解： （）由题意知，是 C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为 300 0.7210-2 分 故 此 顾 客 是 C 款 式 运 动 鞋 的 回 访 顾 客
15、且 对 该 款 鞋 满 意 的 概 率 是 21021 2000200 .-4 分 （）X 的取值为 0，1，2.-5 分 设事件M为“从 A 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的 1 人对该款式运动鞋满 意” ， 事件N为 “从 E款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的 1人对该款式运动鞋满意” ， 且事件MN，相互独立. 根据题意，MP估计为3 . 0，P N估计为0.6. 则 0110.7 0.40.28P XP MNP MP N-6 分 111P XP M NP MNP MP NP M 0. 30. 40. 70. 60. 54 -7 分 20.3 0.60.18P XP MNP M P N -
16、8 分 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 0.28 0.54 0.18 -10 分 X的期望是：0 0.28 1 0.542 0.180.9E X .-12 分 （）( )( )DD.-14 分 19.（本小题满分 14 分） 解： （）因为椭圆经过点(0,1)，所以1b.-1 分 又因为椭圆经过点 1 ( 3,) 2 ，所以 2 31 1 4a ，解得2a.-3 分 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y-4 分 （）由 2 2 1 4 ykxm x y ，可得 222 (1 4)8440kxkmxm.-6 分 由题意，0 ，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 所
17、以 12 2 8 41 km xx k ， 2 12 2 44 41 m x x k .-8 分 因为原点O到直线l的距离为 2 5 5 ，所以 2 2 5 5 1 m d k . 即 22 54(1)mk. -9 分 因为 1 2121 212 ()()x xy yx xkxm kxm-10 分 22 1212 ()+kx xkm xxm1 2 22 22 448 (1) 4141 mkm kkmm kk -11 分 22 2 544 0 41 mk k -13 分 所以0OA OB .即OAOB. 因此以AB为直径的圆过原点O.-14 分 20.（本小题满分 15 分） 解： （）当2a时
18、， 2 2lnf xxx， 2 2fxx x ，-2 分 设切点为 2 000 (,2ln)x xx，则 00 0 2 () = 2= 3f xx x ， 解得 0 2x 或 0 1 2 x （舍）-3 分 所以 242ln2f. 切点为(2,42ln2)-4 分 所以所求切线方程为42ln23(2)yx. 即322ln20 xy.-5 分 （）因为 2 2 2 axa fxx xx ，-6 分 由0a及定义域, 0，令 0 x f，得 2 2 a x .-7 分 当 21 2 a e ，即 2 2 0a e 时， 在 1 ( , ) e e 上 0 x f，所以 xf在 1 , e e 上单
19、调递增. 此时 xf在 1 , e e 上不可能存在两个零点；-9 分 当 2 2 a e，即 2 2ae时， 在 1 ( , ) e e 上 0 x f，所以 xf在 1 , e e 上单调递减. 此时 xf在 1 , e e 上不可能存在两个零点；-11 分 当 12 2 a e e ，即 2 2 2 2ae e 时，要使 xf在区间 1 , e e 上恰有两个零点， 则 2 2 212 ()1 2ln()0 222 11 ( )0 0 aa fa fa ee f eea ，即 2 2 ae ae ，此时 2 2eae. 综上，实数a的取值范围是 2 2 , e e .-15 分 21.（
20、本小题满分 15 分） 解： （）数列 n a不满足性质，理由如下：-2 分 取数列 n a中的 1 2a ， 2 4a ，所以 21 26aa. 由26 m ，解得 2 log 6m，显然m不是整数. 所以在数列 n a中不存在 m a，使得 21 2 m aaa， 故数列 n a不满足性质；-4 分 （）数列 n a同时满足性质和性质，理由如下：-5 分 对于 n a中任意两项 i a，() j a ij，记2 m aij， 因此2 mij aaa，从而数列 n a满足性质；-7 分 对于 n a中任意项(3) n a n，记 1kn aa ， 2ln aa ()kl， 显然有2 nkl
21、aaa，从而数列 n a满足性质； 综上，数列 n a同时满足性质和性质 -9 分 （） n a是递增数列， 1 0a ，则 2 0a ，根据性质 212 22 n aaaa， 222222 2 223234 nn aaaaaaaa，, 由数学归纳法原理，可以证明 2222 : 0,2,3, n na nNaaaa；-12 分 另一个方面，我们用反证法证明 2222 : 0,2,3, n ana nNaaa； 假设 2 xta （0t ）是 n a中最小的不能写成 2 a的整倍数的项， 根据性质，存在两项 ,() kl a a kl ，使得 2 kl xaa ， 我们记 22 ,0 kl yazaazay其中 ，可知： 2222 2)(2ztaxyaayz a ， 易知20tyzyzyyz， 根据 2 xta （0t ）的最小性，可知道 * , y zN，可以得到 * 2tyzN ，与 t 不是正整数矛盾. 综上所述， n a是首项为 0，公差为 2 a的等差数列.-15 分
