1、2021届高考理科数学模拟卷届高考理科数学模拟卷 一、选择题一、选择题 1.设复数 2i 1i z ，则复数 z的共轭复数z在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知0m ，设集合 2 |,230Mx xm Nx xx，且1MNxxn ，则 mn( ) A. 1 2 B.1 C.2 D. 5 2 3.在ABCV中,内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c。若2,2,sincos2abBB,则角A的大小为 ( )。 A. 3 或 2 3 B. 6 C. 6 或 5 6 D. 5 6 4.已知 12 ,F F为双曲线 22 :2C xy的左
2、、右焦点,点 P在C上, 12 2PFPF,则 12 cosF PF等于( ) A. 1 4 B. 3 5 C. 3 4 D. 4 5 5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程0.70.35yx $ ,则实数,m n应满足( ) x 3 m 5 6 y 2.5 3 4 n A.0.71.7nm B.0.71.5nm C.0.71.7nm D.0.71.5nm 6.已知函数 f x是偶函数,当0 x 时, ln1f xxx,则曲线 yf x在1x 处的切线方程为( ) A.yx B.2yx C.yx D.2yx 7. 2 5 ()() y xxy x 的展开式中 33 x y的系数为( )
3、A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8.若 4 3 tan 2 311 ， 0, 3 ，则 tan 6 ( ) A. 3 5 B. 3 7 C. 3 5 D. 3 7 9.若将函数2sin2yx的图像向左平移 12 个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A. 26 k x (Z)k B. 26 k x (Z)k C. 212 k x (Z)k D. 212 k x (Z)k 10.已知四棱锥PABCD的体积是36 3,底面ABCD是正方形,PABV是等边三角形,平面PAB 平 面ABCD,则四棱锥PABCD的外接球的体积为( ) A.28 21 B. 99 11 2 C. 63
4、7 2 D.108 3 11.设双曲线 22 22 1(0) xy ab ab 的两条渐近线与圆 22 10 xy相交于ABCD， ， ，四点，若四边 形ABCD的面积为 12，则双曲线的离心率是( ) A. 10 3 B.10 C.10或 10 3 D2 10 12.函数 ( )cos ln x f xx x 的图象大致为( ) A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 13.已知0,0 xy,且41xy ,则 14x xy 的最小值为_. 14.已知向量1,2 ,2, 2 ,1,abc.若2 cabP,则_. 15.已知 12 ,F F分别是双曲线 222 33(0)xya a的左、右
5、焦点，P是抛物线 2 8yax与双曲线的一 个交点.若 12 12PFPF，则抛物线的准线方程为_. 16.ABCV的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c。若 6,2 , 3 bac B,则ABCV的面积为 _。 三、解答题三、解答题 17.在等比数列 n a中， 1 8a ，前 n项和为 2 ,1 n SS 是 1 S和 3 S的等差中项. （1）求 n a的通项公式； （2）设 12nn Taaa，求 n T的最大值. 18.如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 ,4,2,ACBC ACCCBCD为棱 11 AC上的动点. （I）若 D为 11 AC的中点，求证： 1/
6、 BC平面 1 ADB； （）若平面 11 A ACC 平面ABC，且 11 60AAC，是否存在点 D，使二面角 11 BADC的平 面角的余弦值为 3 4 ?若存在，求出 1 1 A D C D 的值；若不存在，说明理由. 19.某市工会组织了一次工人综合技能比赛,一共有 1 000名工人参加,他们的成绩都分布在52,100 内,数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图,规定成绩在 76分及 76分以上的为优秀. I求图中t的值； 估计这次比赛成绩的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)； 某工厂车间有 25名工人参加这次比赛,他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致,
7、若从 该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人,求这两人成绩均低于 92 分的概率. 20.已知椭圆 C 的短轴的两个端点分别为(0,1)(0, 1)AB，焦距为2 3. （I）求椭圆 C的方程； （）已知直线ym与椭圆 C有两个不同的交点MN，设 D为直线AN上一点，且直线 BDBM，的斜率的积为 1 4 .证明：点 D在 x轴上. 21.已知函数 2 ( )?0 ex axbxc f xa 的导函数 fx的两个零点为3和 0. (1)求 f x的单调区间; (2)若 f x的极小值为 3 e,求 f x在区间)5,上的最大值. 22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 3 1,
8、2 1 1 2 xt yt (t为参数),以坐标原点O为极 点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为 2 4 cos2 sin10 ,M的极坐标为 2, 4 . I写出曲线C的直角坐标方程及M的直角坐标； II设直线l与曲线C相交于, A B两点,求MAMB的值. 23.已知3a ,函数 2 min 2|1242F xxxaxa,其中 , min, , p pq p q q pq . (1)求使得等式 2 242F xxaxa成立的 x 的取值范围； (2)(i)求 F x的最小值 m a. (ii)求 F x在区间 0 6 ,上的最大值 M a. 参考答案参考答案 1.答
9、案：D 解析：因为 2i 1i 1i z ，所以1 i,zz 在复平面内对应的点为(1, 1)，在第四象限.故选 D. 2.答案：D 解析：因为 2 | -,2-3Mx xmx mxm Nx xx 3 00 2 xx ,且1MNxxn ，所以 3 1, 2 mn, 所以 5 2 mn.故选 D. 3.答案：B 解析： sincos2,2sin2 4 BBB Q, sin1 4 B 。 5 (0,), 444 BB Q, , 424 BB,由正弦定理得 2sin 1 4 sin, 226 AabABAQ。 4.答案：C 解析：将双曲线 C 化为标准方程 22 1 22 xy ，则2a ，2b ，
10、2c .由双曲线定义，知 12 2 2PFPF .又 12 2PFPF， 2 2 2PF， 1 4 2PF ， 12 24FFc， 222 1212 12 12 328 163 cos 2424 22 2 PFPFFF FPF PF PF .故选 C. 5.答案：A 解析：依题意， 1111 (356)(14),(2.534)(9.5) 4444 xmm ynn，故 11 (9.5)0.7(14)0.35 44 nm，解得0.71.7nm. 6.答案：A 解析：当0 x 时,( )()ln()1f xfxxx ,则( 1)1,( )ln() 1,( 1)1ffxxf ,所以曲线 ( )yf x
11、在1x 处的切线方程为yx . 7.答案：C 解析：因为 22 555 ()()() yy xxyx xyxy xx ， 5 ()xy的通项为 5 5 C(0,1,2,3,4,5) rrr xy r ， 所以 5 ()x xy的展开式中 33 x y的系数为 2 35 5 C10,() y xy x 的展开式中 33 x y的系数为 1 5 C5.所以 2 5 () y xxy x 的展开式中 33 x y的系数为10515.故选 C. 8.答案：D 解析： tan 2 3 tan2 6 2 2tan 4 36 11 1tan 6 得 tan2 3 6 或 3 tan 66 . 0, 3 Q
12、， , 66 2 ， tan2 3 6 ， tan 6 tan 63 tantan 63 1tantan 63 2 333 712 33 故选 D. 9.答案：B 解析：由题意,将函数2sin2yx的图象向左平移 12 个单位得 2sin2 12 yx 2sin 2 6 x ,则 平移后函数的对称轴为 2 62 xk,Zk 即 , 62 k xkZ,故选 B. 10.答案：A 解析：由已知可得 13 36 3 32 ABABAB,则6AB ,设球心为,O O到平面ABCD的距离为x, 球O的半径为R,则由OPOA,得 22222 333(3 3)xx,解得3x ,所以 22 33321R ,
13、3 4 28 21 3 VR 球 ,选 A. 11.答案：A 解析：本题考查双曲线的几何性质.由对称性可知四边形ABCD是矩形，设点 A在第一象限，由 22 10 b yx a xy ，得 1010 , ab A cc ，则 2 102 10 12 ab cc ，即 222 1033abcab，则 1 3 b a 或 3.又因为0ab，所以 1 3 b a ，则该双曲线的离心率 2 10 1 3 cb e aa ，故选 A. 12.答案：C 解析：由 0 x x ，解得x ，故函数f x( )的定义域为( ) ，.因为函数 ln x y x 为奇函 数，cosyx为偶函数，所以函数( )yf
14、x为奇函数，故排除 A,D；当 4 x 时， 3 4 cos0,lnln0 45 4 ，故排除 B.选 C. 13.答案：17 解析：0,0 xy，且41xy， 则 141414 11(4) 4 x xy xyxyx 1616 99217 yxyx xyxy 当且仅当 16yx xy 即4yx且41xy， 此时 11 , 82 xy. 故答案为：17. 14.答案： 1 2 解析：由题意可得2(4,2)ab,因为(1, ),(2)ccabP,所以1 24,即 1 2 . 15.答案：2x 解析：将双曲线方程化为标准方程得 2 22 1(0) 3 xy a aa ，则 2 F为抛物线的焦点，抛物
15、线的准线方 程为2xa ，联立 22 22 2 1, 3 8, xy aa yax 解得3xa( 3 a 舍去)，即点 P 的横坐标为3a.由 12 12 12, 2 , PFPF PFPFa 解得 2 6PFa， 2 326PFaaa，解得1a ，抛物线的准线方程为 2x . 16.答案：6 3 解析：因为 2 ,6, 3 ac bB,所以由余弦定理 222 2cosbacacB,得 222 6(2 )22cos 3 cccc,解得2 3c ,所以4 3a 。所以ABCV的面积 11 sin4 32 3sin6 3 223 SacB。 17.答案：（1）由题意得 213121 21,21SS
16、Saaa 123 aaa，即 23 2aa，设等比 数列 n a的公比为 q，则有 2 828qq，解得 1 2 q ， 14 1 1 11 8 22 nn n n aa q . （2） 2 7 4 2 12 11 8 4 22 nn n nn Taaa ， 设 2 2 * 71749 ( ) 2224 nn f nnn N，当3n 或 4 时，( )f n取到最小值， min ( )6f n ， n T的最大值为 64. 解析： 18.答案：解：（I）证明：连接 1 A B交 1 AB于点 O，连接DO. 四边形 11 AA B B是平行四边形， O为 1 A B的中点. 在 11 ABC中
17、，,D O分别为 111 ,AC AB的中点， DO为 11 ABC的中位线，即 1 /DO BC. 又 1 BC 平面 1 ADB，DO 平面 1 ADB， 1/ BC平面 1 ADB. （）存在.理由如下： 连接 11 ,AC AC. 1 ACCC， 11 A ACC为菱形，即 11 ACAC. 又平面 11 A ACC 平面ABC，平面 11 A ACC平面ABCAC， ,BCACBC平面 11 A ACC. 过点 C作 1 C A的平行线CP，即 1, ,CA CP CB两两垂直. 如图，以 C为坐标原点，以 1, ,CA CP CB的方向为 x轴、y 轴、z轴正方向建立空间直角坐标系
18、. 1111 60 ,4,4 3AACACAC， 故 11 (0,0,0), (2 3,2,0),(2 3, 2,0),(2 3, 2,2)CACB， 111 ( 2 3, 2,0),(0, 4,2)ACACAB . 假设存在点 D，使二面角 11 BADC的平面角的余弦值为 3 4 ，设 111 ( 2 3 , 2 ,0)ADAC ， 1111 ADAAADCCAD (2 3(1), 2(1),0)， 易得平面 1 ADC的一个法向量为(0,0,1)n. 设平面 1 B AD的法向量为( , , )x y zm， 1 0, 2 3(1)2(1)0 4200 AD xy yzAB m m ，
19、可取(1, 3(1),2 3(1)m. 由 22 2 3(1)3 cos,| 4 (1)15(1) m n， 解得 3 4 或 4 3 . 点 D 在棱 11 AC上， 111 3 4 ADAC，即 1 1 3 AD C D . 解析： 19.答案：(1)由题意得(0.0250.0350.0420.005) 81t ,解得0.01t . (2)由(1)可得,各分组的频率分别为 0.2,0.28,0.32,0.08,0.08,0.04. 平均数的估计值为560.2640.28720.32800.08880.08960.0469.44. (3)由题意可知,该工厂车间参赛的 25 人中,成绩在 76
20、分及 76分以上的三个分组的频率分别为 0.080.080.040.2,所以成绩优秀的有 5 人,其中成绩低于 92 分的有 4 人,分别记为, , ,A B C D,另 一人记为E. 从 5人中任选两人,所有的情况有, ,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE,共 10种情况. 设“这两人成绩均低于 92分”为事件M,则事件M包含的情况有 6种. 所以 63 () 105 P M . 解析： 20.答案：解：（）设椭圆 C 的标准方程为 22 22 1 xy ab ， 由题知 1, 3 b c ， 所以 222 4abc， 故椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y.
21、（）证明：设点 1, M x m，则 11 ,0, 11Nx mxm ， 所以直线BM的斜率 11 ( 1)1 0 BM mm k xx . 因为直线,BD BM的斜率的积为 1 4 ， 所以直线BD的斜率 1 4(1) BD x k m . 直线AN的方程为 1 1 1 m yx x ， 直线BD的方程为 1 1 4(1) x yx m ， 联立 1 1 1 1 1 4(1) m yx x x yx m ， 得点 D的纵坐标为 22 1 22 1 1 1 4 1 1 4 D xm y xm ， 因为点 M在椭圆 C 上，所以 2 2 1 1 4 x m，则0 D y. 所以点 D 在 x轴上
22、. 解析： 21.答案：(1) 2 2 2 (2)ee (2) ( ) e e xx x x axbaxbxc axab xbc fx . 令 2 ( )(2)g xaxab xbc, 因为e0 x ,所以)(fx的零点就是 2 ( )(2)g xaxab xbc的零点,且 fx与 g x符号相同. 又因为0a ,所以当30 x 时, 0g x ,即 0fx , 当3x 或0 x 时, 0g x ,即 0fx , 所以 f x的单调递增区间是3,0,单调递减区间是, 3 ,() (0,) . (2)由(1)知,3x 是( )f x的极小值点,所以有 3 3 93 ( 3)e e (0)0, (
23、 3)93(2)0, , abc f gbc gaabbc 解得1,5,5abc,所以 2 55 ( ) ex xx f x . 由(1)可知当0 x 时, f x取得极大值,为 05f, 故 f x在区间)5,上的最大值取5f 和 0f中的最大者. 因为 5 5 5 ( 5)5e5(0) e ff ,所以函数)(f x在区间)5,上的最大值是 5 5e. 解析： 22.答案：(1)曲线C的极坐标方程为 2 4 cos2 sin10 , 将 cos , sin x y 代入可得直角坐标方程为 22 (2)(1)4xy. 2, 4 M 的直角坐标为(1,1)M. (2)联立方程 3 1, 2 1
24、 1 2 xt yt 与 22 (2)(1)4xy,可得 2 330tt. 则 1 2 3t t , 所以 1 2 3MAMBt t. 解析： 23.答案：(1)由于3a ,故 当1x 时, 22 2422121 20 xaxaxxax , 当1x 时, 2 2422122xaxaxxxa , 所以,使得等式 2 242F xxaxa成立的 x的取值范围为2 2a,. (2)(i)设函数 21f xx, 2 242g xxaxa, 则 min 10f xf, 2 min 42g xg aaa, 所以,由 F x的定义知 min1m afg a, 即 2 0,322 42,22 a m a aaa . (ii)当0 2x时, max0222F xf xffF, 当26x时, F xg x max26gg,max 234 8a, max26FF, . 所以 348 34 24 aa M a a , , .
