1、第 1 页（共 14 页） 2020-2021 学年天津市六校高一（上）期末数学试卷学年天津市六校高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 9 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 36 分）分） 1 （4 分）设集合 2 |54 0Ax xx ，|2BxN x，则(AB ) A |12xx B1，2 C0，1 D0，1，2 2 （4 分）已知命题:0px ，总有(1)1 x xe，则p为( ) A 0 0 x ，使得 0 0 (1)1 x xe B 0 0 x，使得 0 0 (1)1 x xe C0 x ，总有(1)1 x xe D0 x ，总有(1)1 x xe 3
2、（4 分）设R，则“2 3 k，Zk”是“ 1 cos 2 ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （4 分）函数 1 ( )()cos (f xxxx x 剟且0)x 的图象可能为( ) A B C D 5 （4 分）设 0.5 log0.6a ， 0.6 log1.2b ， 0.6 1.2c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bbac Cbca Dcba 6 （4 分）已知 2 1 2 ( )log (3 )f xxaxa在区间(2,)上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A(，4 B(,4) C( 4，4 D 4，4 7 （4
3、分）若0 2 ，0 2 ， 1 cos() 43 ， 3 cos() 423 ，则cos()( 2 ) A 3 3 B 3 3 C 5 3 9 D 6 9 第 2 页（共 14 页） 8 （4 分）已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的部分图象如图所示，下列说法 正确的是( ) 函数( )yf x的图象关于点(,0) 6 对称； 函数( )yf x的图象关于直线 5 12 x 对称； 函数( )yf x在 2 , 36 单调递减； 该图象向右平移 3 个单位可得2sin2yx的图象 A B C D 9 （4 分）设函数 |21|,2 ( ) 7,2 x x f x xx
4、，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）f（b） f（c） ，则222 abc 的取值范围是( ) A(8,9) B(65,129) C(64,128) D(66,130) 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 10 （4 分）已知扇形的圆心角为 2 3 ，扇形的面积为3，则该扇形的弧长为 11 （4 分）已知函数log (1)6(0 a yxa，1)a 的图象恒过点A，且点A在角的终边 上，则tan的值为 12（4 分） 设函数 2 ,0 ( ) 1,0 xbxc x f x x ， 若f（4）(0)f，f（2）2， 则函数(
5、)( )g xf xx 的零点的个数是 13 （4 分）对任意的(0,) 2 ，不等式 22 14 |21|x sincos 恒成立，则实数x的取值范 围是 14（4 分） 已知函数 2 7 3(0) ( )3 23(0) xx f x xxx ，( )3sincos4g xxx， 若对任意 3t ， 第 3 页（共 14 页） 3，总存在0, 2 s ，使得( )( )(0)f ta g s a成立，则实数a的取值范围为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 64 分）分） 15 （12 分）设函数 2 log (1)yx的定义域为A，集合 2 |20Bx xx （
6、）求集合A，B，并求 R AB； （）若集合 |21Cxa x a剟，且BCC，求实数a的取值范围 16 （12 分）已知 sin(2)cos() 2 ( ) cos()tan() 2 f （）化简( )f，并求() 3 f ； （）若tan2，求 22 4sin3sincos5cos的值； （）求函数 2 ( )2( )()1 2 g xfxfx 的值域 17 （12 分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定 成 本1000万 元 ， 每 生 产x百 台 这 种 仪 器 ， 需 另 投 入 成 本( )f x万 元 ， 2 550500,040,100 ( )
7、 2500 3013000,40,100 xxxxN f x xxxN x 假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台 3 万元 （1）求出利润( )g x（万元）关于产量x（百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润 18 （14 分）已知函数 2 ( )3sincoscos(0)f xxxx周期是 2 （）求( )f x的解析式，并求( )f x的单调递增区间； （）将( )f x图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，再向左平移 6 个单位，最后将整 个函数图象向上平移 3 2 个单位后得到函数( )g x的图象，若 2 63 x 剟时，| ( )|
8、2g xm恒成 立，求m得取值范围 19 （14 分）已知函数( )()()f xln xa aR的图象过点(1,0)， 2( ) ( )2 f x g xxe （）求函数( )f x的解析式； （）若函数( )(2)yf xlnxk在区间(1,2)上有零点，求整数k的值； 第 4 页（共 14 页） （）设0m ，若对于任意 1 ,xm m ，都有( )(1)g xln m ，求m的取值范围 第 5 页（共 14 页） 2020-2021 学年天津市六校高一（上）期末数学试卷学年天津市六校高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 9
9、小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 36 分）分） 1 （4 分）设集合 2 |54 0Ax xx ，|2BxN x，则(AB ) A |12xx B1，2 C0，1 D0，1，2 【解答】解：集合 2 |54 0 |14Ax xxxx剟?， |20BxN x，1，2， 1AB，2 故选：B 2 （4 分）已知命题:0px ，总有(1)1 x xe，则p为( ) A 0 0 x ，使得 0 0 (1)1 x xe B 0 0 x，使得 0 0 (1)1 x xe C0 x ，总有(1)1 x xe D0 x ，总有(1)1 x xe 【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，p为 0
10、0 x，使得 0 0 (1)1 x xe， 故选：B 3 （4 分）设R，则“2 3 k，Zk”是“ 1 cos 2 ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：当“2 3 k，Zk”时， “ 1 cos 2 ” ， 当“ 1 cos 2 ”时， “2 3 k，Zk” ， 则“2 3 k，Zk”是“ 1 cos 2 ”的充分不必要条件； 故选：A 4 （4 分）函数 1 ( )()cos (f xxxx x 剟且0)x 的图象可能为( ) A B 第 6 页（共 14 页） C D 【解答】解：对于函数 1 ( )()cos (f xxxx
11、x 剟且0)x ，由于它的定义域关于原点对 称， 且满足 1 ()()cos( )fxxxf x x ，故函数( )f x为奇函数，故它的图象关于原点对称 故排除A、B 当x，( )0f x ，故排除C， 但是当x趋向于 0 时，( )0f x ， 故选：D 5 （4 分）设 0.5 log0.6a ， 0.6 log1.2b ， 0.6 1.2c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bbac Cbca Dcba 【解答】解： 0.50.5 0log0.6log0.51a， 0.6 log1.20b ， 0.6 1.21c ， 则a，b，c的大小关系为bac 故选：B 6 （4 分）已
12、知 2 1 2 ( )log (3 )f xxaxa在区间(2,)上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A(，4 B(,4) C( 4，4 D 4，4 【解答】解：令 2 3txaxa，则由题意可得函数t在区间(2,)上是增函数，且0t ， 2 2 (2)40 a ta ，求得44a 剟， 故选：D 7 （4 分）若0 2 ，0 2 ， 1 cos() 43 ， 3 cos() 423 ，则cos()( 2 ) A 3 3 B 3 3 C 5 3 9 D 6 9 【解答】解：0 2 ，0 2 ， 第 7 页（共 14 页） 3 444 ， 4422 12 2 sin()1 493 ， 16
13、sin()1 4233 5 3 cos()cos()()cos()cos()sin()sin() 24424424429 故选：C 8 （4 分）已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的部分图象如图所示，下列说法 正确的是( ) 函数( )yf x的图象关于点(,0) 6 对称； 函数( )yf x的图象关于直线 5 12 x 对称； 函数( )yf x在 2 , 36 单调递减； 该图象向右平移 3 个单位可得2sin2yx的图象 A B C D 【解答】解：根据函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的部分图象， 可得2A， 1 2 4312 ，2 再根据
14、五点法作图，可得2 3 ， 3 ，( )2sin(2) 3 f xx 当 6 x 时，( )0f x ，故( )yf x的图象关于点(,0) 6 对称，故正确； 当 5 12 x 时，( )2f x ，是最值，故函数( )f x的图象关于直线 5 12 x 对称，故正确； 2 , 36 x 时，2 3 x ，0，故函数( )yf x在 2 , 36 不单调，故错误； 函数( )2sin(2) 3 f xx 的图象向右平移 3 个单位得到 2 2sin(2)2sin(2) 333 yxx ， 故错误 第 8 页（共 14 页） 故选：A 9 （4 分）设函数 |21|,2 ( ) 7,2 x x
15、 f x xx ，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）f（b） f（c） ，则222 abc 的取值范围是( ) A(8,9) B(65,129) C(64,128) D(66,130) 【解答】解：作出函数 |21|,2 ( ) 7,2 x x f x xx 的图象如图， 不妨设abc，由f（a）f（b） ，得1221 ab ，则222 ab 由()6(0fcc ，1)，得(6,7)c，则642128 c 66222130 abc ， 即222 abc 的取值范围是(66,130) 故选：D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分
16、） 10 （4 分）已知扇形的圆心角为 2 3 ，扇形的面积为3，则该扇形的弧长为 2 【解答】解：由扇形的面积 22 112 33 223 Srrr 此扇形所含的弧长 2 32 3 lr ， 故答案为：2 11 （4 分）已知函数log (1)6(0 a yxa，1)a 的图象恒过点A，且点A在角的终边 上，则tan的值为 3 【解答】解：函数log (1)6(0 a yxa，1)a ， 第 9 页（共 14 页） 令11x 得：2x ，此时6y ， 所以点(2,6)A， 所以 6 tan3 2 ， 故答案为：3 12（4 分） 设函数 2 ,0 ( ) 1,0 xbxc x f x x ，
17、 若f（4）(0)f，f（2）2， 则函数( )( )g xf xx 的零点的个数是 2 【解答】解：由f（4）(0)f可得二次函数的对称轴为2x ，即：2 2 b ，4b ， 且f（2） 2 2( 4)22c ，6c ， 据此可得 2 46,0 ( ) 1,0 xxx f x x ， 函数( )g x零点的个数即函数( )f x与函数yx交点的个数， 绘制函数图象如图所示， 观察可得，交点个数为 2，故函数( )g x零点的个数为 2 故答案为：2 13 （4 分）对任意的(0,) 2 ，不等式 22 14 |21|x sincos 恒成立，则实数x的取值范 围是 4，5 第 10 页（共
18、14 页） 【解答】解：(0,) 2 2222 222222 141411 (sincos)()5(4tan) 52 49tan sincossincostantan ，当且仅当 2 tan 2 时取等号 对任意的(0,) 2 ，不等式 22 14 |21|x sincos 恒成立， 22 14 |21|()9 min x sincos 9 21 9x剟， 解得45x 剟 实数x的取值范围是 4，5 故答案为： 4，5 14（4 分） 已知函数 2 7 3(0) ( )3 23(0) xx f x xxx ，( )3sincos4g xxx， 若对任意 3t ， 3，总存在0, 2 s ，使得
19、( )( )(0)f ta g s a成立，则实数a的取值范围为 (0，2 【解答】解：对于函数( )f x，当0 x时， 7 ( )3 3 f xx，由30 x 剟，可得( ) 4f t ，3， 当0 x 时， 22 ( )23(1)4f xxxx ，由03x ，可得( )0f x ，4， 对任意 3t ，3，( ) 4f t ，4， 对于函数( )3sincos42sin()4 6 g xxxx ， 0 x， 2 ， 66 x ， 2 3 ， ( )5g x，6， 对于0s， 2 ，使得( )5g s ，6， 对任意 3t ，3，总存在0s， 2 ，使得( )( )(0)f ta g s
20、a成立， 4 6a ， 解得02a ， 故答案为：(0，2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 64 分）分） 第 11 页（共 14 页） 15 （12 分）设函数 2 log (1)yx的定义域为A，集合 2 |20Bx xx （）求集合A，B，并求 R AB； （）若集合 |21Cxa x a剟，且BCC，求实数a的取值范围 【解答】解： （） 2 |log (1) 0 |2Axxx x厖， |02Bxx剟， |0 RB x x或2x ， |2 R ABx x； （）BCC，CB， 当C 时，21aa，解得1a ， 当C 时， 1 20 1 2 a a a ，
21、解得01a剟， 综上：a的取值范围是0，) 16 （12 分）已知 sin(2)cos() 2 ( ) cos()tan() 2 f （）化简( )f，并求() 3 f ； （）若tan2，求 22 4sin3sincos5cos的值； （）求函数 2 ( )2( )()1 2 g xfxfx 的值域 【解答】解： （）由题意可得 sin(2)cos() sin( sin) 2 ( )cos sintan cos()tan() 2 f ， 故 1 ()cos 332 f （）tan2， 故 222 22 222 4sin3sincos5cos4tan3tan5 4sin3sincos5cos1
22、 sincostan1 （）因为( )cosf， 所以 222 125 ( )2cossin12sinsin32(sin) 48 g xxxxxx ， 因为sin 1x ，1， 第 12 页（共 14 页） 所以 1 sin 4 x 时， 25 ( ) 8 max g x，( )0 min g x， 所以( )g x的值域为 25 0, 8 17 （12 分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定 成 本1000万 元 ， 每 生 产x百 台 这 种 仪 器 ， 需 另 投 入 成 本( )f x万 元 ， 2 550500,040,100 ( ) 2500 30
23、13000,40,100 xxxxN f x xxxN x 假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台 3 万元 （1）求出利润( )g x（万元）关于产量x（百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 知 ， 当040 x，100 xN时 ， 22 ( )300550500100052501500g xxxxxx ， 当40 x，100 xN时， 25002500 ( )300301300010002000()g xxxx xx ， 综上， 2 52501500,040,100 ( ) 2500 2000(),
24、40,100 xxxxN g x xxxN x （2）当040 x，100 xN时， 22 ( )525015005(25)1625g xxxx ， 所以当25x 时，( )g x取得最大值 1625， 当40 x，100 xN时， 2500 ( )2000() 1900g xx x ， 当且仅当50 x 时，( )g x取得最大值 1900， 综上，当50 x ，即产量为 5000 台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为 1900 万元 18 （14 分）已知函数 2 ( )3sincoscos(0)f xxxx周期是 2 （）求( )f x的解析式，并求( )f x的单调递增区间； （）将
25、( )f x图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，再向左平移 6 个单位，最后将整 个函数图象向上平移 3 2 个单位后得到函数( )g x的图象，若 2 63 x 剟时，| ( )| 2g xm恒成 立，求m得取值范围 【解答】解： （） 2 31 ( )3sincoscossin2(cos21) 22 f xxxxxx 第 13 页（共 14 页） 1 sin(2) 62 x ， 由 2 22 T ，解得2， 所以， 1 ( )sin(4) 62 f xx 242 262 x k剟k， 2 242 33 x k剟k， 21226 x kk 剟， ( )f x的单调递增区间为, 2122
26、6 kk ，Zk （）将( )f x图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，可得 1 sin(2) 62 yx 的图象； 再向左平移 6 个单位，可得 1 sin(2) 62 yx 的图象 最后将整个函数图象向上平移 3 2 个单位后得到函数( )g x的图象， ( )sin(2)1 6 g xx 因为| ( )| 2g xm恒成立，所以，( )2( )2g xmg x 因为当 2 , 63 x 时，( )2( )2g xmg x恒成立， 所以，只需 ( )2 ( )2 maxmin g xmg x 当 2 , 63 x 时，( )yg x为单调减函数， 所以，( )()1 12 6 max
27、 g xg ， 2 ( )()1 10 3 min g xg ， 从而 ( )20 max g x ， ( )22 min g x ，即02m， 所以，m的取值范围是(0,2) 19 （14 分）已知函数( )()()f xln xa aR的图象过点(1,0)， 2( ) ( )2 f x g xxe （）求函数( )f x的解析式； （）若函数( )(2)yf xlnxk在区间(1,2)上有零点，求整数k的值； （）设0m ，若对于任意 1 ,xm m ，都有( )(1)g xln m ，求m的取值范围 【解答】解： （）函数( )()()f xln xa aR的图象过点(1,0)， 第 1
28、4 页（共 14 页） (1)0lna，解得0a ， 函数( )f x的解析式为( )f xlnx； （）由（）可知 2 (2)(2)ylnxlnxlnxxkk，(1,2)x， 令 2 (2)0lnxxk，得 2 210 xx k， 对称轴2 4 x k 即8k?时，( )h x在(1,2)递减， 故只需 (1)10 (2)720 h h k k ，无解， 若12 4 k 即48k时，函数在(1,2)先递减再递增， 故只需( )( )10 4 min h xh k 恒成立， 若1 4 k 即4k?时，( )h x在(1,2)递增， (1)10 (2)720 h h k k ，解得： 7 1 2
29、 k， 综上：18k， Zk，k的取值为 2 或 3，4，5，6，7 （）0m 且 1 m m ，1m且 1 01 m ， 2( )22 ( )22(1)1 f x g xxexxx， ( )g x的最大值可能是( )g m或 1 ()g m ， 2 22 22 11212111(1) ( )()2()(2)()(2)()0 m g mgmmmmmmm mmmmmmmmm 2 ( )( )2 max g xg mmm， 只需( )(1) max g xln m ，即 2 2(1)mmln m ， 设 2 ( )2(1)(1)h mmmln mm，( )h m在(1,)上单调递增， 又h（2）0， 2 2(1)0mmln m，即( )h mh（2） ， 12m ， 所以m的取值范围是(1,2)
