1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 9 一一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知全集 Ux|x 是小于 7 的正整数，集合 A1，3，6，集合 B2，3，4，5，则 AUB（ ） A3 B1，3，6 C2，4，5 D1，6 2设 xR，则“x3”是“x23x0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3设 = (1 3) 0.3， = 21 3， = 3 2，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abac Bcba Cbca Dabc 4在(2 2 ) 5的
2、二项展开式中，x7的系数为（ ） A10 B10 C5 D5 5如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切） ，若圆柱的侧面积为 4，则球的体 积为（ ） A32 3 B4 3 C4 D16 6某校对高三年级学生的数学成绩进行统计分析全年级同学的成绩全部介于 80 分与 150 分之间，将他们的成绩按照80，90） ，90，100） ，100，110） ，110，120） ，120，130） ， 130，140） ，140，150分组后得到的频率分布直方图如图所示现从全体学生中根据成 绩采用分层抽样的方法抽取 80 名同学的试卷进行分析，则从成绩在120，130）内的学 生中抽取的人数为（
3、） A24 B36 C20 D28 7已知正实数 a，b 满足 a+b1，则 2+4 + 2+1 的最小值为（ ） A13 B11 C10 D9 8将函数 f（x）sin（2x+） （0）的图象向左平移5 12个单位长度后，得到的函数 的图象关于点( 2 ，0)对称，则函数 g （x）cos （x+）在 2 ， 6上的最小值是 （ ） A 1 2 B 3 2 C1 2 D 3 2 9已知函数 f（x）= 2 + 4，0 1 + | 1|， 0（a0，且 a1）在 R 上单调递增，且关于 x 的方程|f（x）|x+3 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ） A （3 4， 13 16
4、 B （0，3 4 13 16 C1 4， 3 4） 13 16 D1 4， 3 4 13 16 二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 10已知 i 是虚数单位若复数 = 1+ ( )是纯虚数，则 m 11以点 C（1，0）为圆心，且被 y 轴截得的弦长为 2 的圆的方程为 12 已知an为等差数列， Sn为其前n项和， nN*， 若a311， S2080， 则S10的值为 13一个口袋里有形状一样仅颜色不同的 6 个小球，其中白色球 2 个，黑色球 4 个若从中 随机取球，每次只取 1 个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连
5、续取球四次，恰好取 到两次白球”的概率为 ；若从中一次取 3 个球，记所取球中白球个数为 ，则随 机变量 的期望为 14已知双曲线 C1：x2 2 2 =1（b0）的一条渐近线方程为 y= 3x，则双曲线 C1的离心 率为 ；若抛物线 C2：y22px（p0）的焦点 F 与双曲线 C1的一个焦点相同，M 是抛物线 C2上一点， FM 的延长线交 y 轴的正半轴于点 N， 交抛物线 C2的准线 l 于点 P， 且 = 3 ，则|NP| 15如图，在直角梯形 ABCD 中，已知 ABDC，DAB90，AB2，ADCD1，对 角线 AC 交 BD 于点 O，点 M 在 AB 上，且满足 OMBD，则
6、 的值为 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （14 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c 已知 asinCcsin （A+ 3） （）求角 A 的大小； （）设 b6，c4，求 a 和 cos（A2C）的值 17 （15 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1，AA1平面 ABC，BAC90，AA1ABAC 1 （）求异面直线 AC1与 A1B 所成的角； （）求二面角 ABC1A1的正弦值； （） 设 M 为 A1B 的中点， 在ABC
7、的内部或边上是否存在一点 N， 使得 MN平面 ABC1？ 若存在，确定点 N 的位置，若不存在，说明理由 18（15 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且= 2+ 2 ， 数列bn满足： anlog2bn， nN* （）求数列an、bn的通项公式； （）设= 1 (+2)(为奇数)， 2 (为偶数)， ，Tn为数列cn的前 n 项和，求 T2n 19 （15 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的离心率为 6 3 ，以 C 的短轴为直径的圆 与直线 l：3x+4y50 相切 （1）求 C 的方程； （2）直线 yx+m 交椭圆 C 于 M（x1，y1） ，N（x2，
8、y2）两点，且 x1x2已知 l 上存在 点 P，使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形若 P 在直线 MN 右下方，求 m 的值 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 9（答案解析）（答案解析） 一一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知全集 Ux|x 是小于 7 的正整数，集合 A1，3，6，集合 B2，3，4，5，则 AUB（ ） A3 B1，3，6 C2，4，5 D1，6 【解答】解：由已知UB1，6，所以 AUB1，6， 故选：D 2设 xR，则“x3”是“x23x0”的（ ） A充分而不必
9、要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为 x23x0 解得 0 x3，而0，3（，3， 所以“x3”是“x23x0”的必要而不充分条件 故选：B 3设 = (1 3) 0.3， = 21 3， = 3 2，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abac Bcba Cbca Dabc 【解答】解：(1 3) 0.3(1 3) 0 = 1，a1， blog 2 1 3 = log23，且 log23log210，b0， 1 3 210，0c1， bca， 故选：C 4在(2 2 ) 5的二项展开式中，x7的系数为（ ） A10 B10 C5 D5 【解答】
10、 解： (2 2 ) 5的二项展开式的通项为： Tr+1= 5 （x2） 5r （ 2 ） r （2）r 5 x103r； 令 103r7r1； x7的系数为： （2）15 1= 10 故选：A 5如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切） ，若圆柱的侧面积为 4，则球的体 积为（ ） A32 3 B4 3 C4 D16 【解答】解：设圆柱底面半径为 r，则内切球的半径也是 r，圆柱的高为 2r， 圆柱的侧面积为：2r2r4， r1， 球的体积为：4 3 3= 4 3 ， 故选：B 6某校对高三年级学生的数学成绩进行统计分析全年级同学的成绩全部介于 80 分与 150 分之间，将他们的成绩
11、按照80，90） ，90，100） ，100，110） ，110，120） ，120，130） ， 130，140） ，140，150分组后得到的频率分布直方图如图所示现从全体学生中根据成 绩采用分层抽样的方法抽取 80 名同学的试卷进行分析，则从成绩在120，130）内的学 生中抽取的人数为（ ） A24 B36 C20 D28 【解答】 解： 从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取80名同学的试卷进行分析， 则从成绩在120，130）内的学生中抽取的人数为： 801（0.005+0.010+0.010+0.015+0.025+0.005）1024 故选：A 7已知正实数 a，b 满足
12、a+b1，则 2+4 + 2+1 的最小值为（ ） A13 B11 C10 D9 【解答】解：由 2+4 + 2+1 = + + 4 + 1 =1+ 4 + 1 a+b1， 4 + 1 =（4 + 1 ） （a+b）5+ 4 + 24 + 5 = 9，当且仅当 b= 1 3，a= 2 3时 取等号 2+4 + 2+1 的最小值为 9+110 故选：C 8将函数 f（x）sin（2x+） （0）的图象向左平移5 12个单位长度后，得到的函数 的图象关于点( 2 ，0)对称，则函数 g （x）cos （x+）在 2 ， 6上的最小值是 （ ） A 1 2 B 3 2 C1 2 D 3 2 【解答】
13、解：函数 f（x）sin（2x+） （0）的图象向左平移5 12个单位长度后， 得到 h（x）sin（2x+ 5 6 +）的图象， 由于函数 h（x）的图象关于点( 2 ，0)对称， 所以 h（ 2）= ( + 5 6 +）0，即11 6 +k（kZ） ，由于 0， 所以 k2 时，= 6， 则 g（x）cos（x+ 6） 当 2 ， 6， 所以 + 6 3 ， 3， 当 x= 3或 3时，函数的最小值为 1 2 故选：C 9已知函数 f（x）= 2 + 4，0 1 + | 1|， 0（a0，且 a1）在 R 上单调递增，且关于 x 的方程|f（x）|x+3 恰有两个不相等的实数解，则 a 的
14、取值范围是（ ） A （3 4， 13 16 B （0，3 4 13 16 C1 4， 3 4） 13 16 D1 4， 3 4 13 16 【解答】解：f（x）是 R 上的单调递增函数， y1+loga|x1|在（，0上单调递增， 可得 0a1， 且 0+4a1+0，即1 4 a1， 作出 y|f（x）|和 yx+3 的函数草图如图所示： 由图象可知|f（x）|x+3 在（0，+）上有且只有一解， 可得 4a3，或 x2+4ax+3，即有14（4a3）0， 即有1 4 a 3 4或 a= 13 16； 由 1+loga|x1|0，解得 x1 1 3，即 x0 时，有且只有一解 则 a 的范围
15、是1 4， 3 4 13 16 故选：D 二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 10已知 i 是虚数单位若复数 = 1+ ( )是纯虚数，则 m 1 【解答】解：复数 z= 1+ = ()(1) (1+)(1) = (1)(+1) 2 ， z 为纯虚数， 1 = 0 ( + 1) 0，解得：m1， 故答案为：1 11以点 C（1，0）为圆心，且被 y 轴截得的弦长为 2 的圆的方程为 （x1）2+y22 【解答】解：如图， 圆的半径为 r= 12+ 12= 2 又圆心为（1，0） ， 所求圆的方程为（x1）2+y22 故答案为
16、： （x1）2+y22 12已知an为等差数列，Sn为其前 n 项和，nN*，若 a311，S2080，则 S10的值为 60 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，a311，S2080， a1+2d11，20a1+190d80， 联立解得：a115，d2 则 S10151024560 故答案为：60 13一个口袋里有形状一样仅颜色不同的 6 个小球，其中白色球 2 个，黑色球 4 个若从中 随机取球，每次只取 1 个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取 到两次白球”的概率为 8 27 ；若从中一次取 3 个球，记所取球中白球个数为 ，则随 机变量 的期望为 1 【解答】解
17、：每一次取到白球的概率为2 6 = 1 3， “连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为 = 4 2 (1 3) 2 (2 3) 2 = 8 27； 随机变量 的可能取值为 0，1，2， P（0）= 4 3 6 3 = 1 5；P（1）= 2 1 4 2 6 3 = 3 5；P（2）= 2 2 4 1 6 3 = 1 5， E（）= 0 1 5 + 1 3 5 + 2 1 5 = 1 故答案为： 8 27，1 14已知双曲线 C1：x2 2 2 =1（b0）的一条渐近线方程为 y= 3x，则双曲线 C1的离心 率为 2 ；若抛物线 C2：y22px（p0）的焦点 F 与双曲线 C1的一个焦点相
18、同，M 是 抛物线 C2上一点，FM 的延长线交 y 轴的正半轴于点 N，交抛物线 C2的准线 l 于点 P， 且 = 3 ，则|NP| 10 3 【解答】解：由双曲线 C1：x2 2 2 =1（b0）的一条渐近线方程为 y= 3x，得 b= 3， = 2+ 2= 2，则双曲线 C1的离心率为 e= = 2； 且双曲线 C1的右焦点为（2，0） ， 而抛物线 C2：y22px（p0）的焦点 F 与双曲线 C1的一个焦点相同， 抛物线 C2：y22px（p0）的焦点 F 为（2，0） ，则 2 = 2，p4 抛物线 C2：y28x 抛物线 C：y28x 的焦点为 F（2，0） ，准线方程为 l：
19、x2， 根据题意画出图形， 根据 = 3 ，设|FM|a，则|MN|= 1 3a， 过 M 作 MA 垂直于准线，垂足为 A，交 y 轴于点 B， 由抛物线的定义知|FM|MA|a， 由BMNOFN，得| | = | | = 1 4， 即|BM|= 1 4|OF|= 1 2， |MA|MF|= 1 2 +2= 5 2， |MN|= 1 3 5 2 = 5 6 又BMNAPM， | | = | | = 1 4，则|NP|4|MN|4 5 6 = 10 3 故答案为：2；10 3 15如图，在直角梯形 ABCD 中，已知 ABDC，DAB90，AB2，ADCD1，对 角线 AC 交 BD 于点 O
20、，点 M 在 AB 上，且满足 OMBD，则 的值为 2 3 【解答】解：如图以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面 直角坐标系； 则 A（0，0） ，B（2，0） ，C（1，1） ，D（0，1） ； 则 =（2，1） ， 由相似三角形易得 O（2 3， 2 3） 设 M（，0） ，则 =（ 2 3， 2 3） ， 因为 OMBD，所以 = 2（ 2 3） 2 3 =0，解得 = 1 3 则 =（1 3，0） ， 所以 =（1 3，0） （2，1）= 2 3 故答案为： 2 3 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分解答应
21、写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （14 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c 已知 asinCcsin （A+ 3） （）求角 A 的大小； （）设 b6，c4，求 a 和 cos（A2C）的值 【解答】解： （） 在ABC 中，由正弦定理 = ，可得：asinCcsinA， 又由 = ( + 3)， 得 = ( + 3) = ( + 3) = 3， 又因为 A（0，） ， 可得 = 3 （II）由 a2b2+c22bccosA 和 b6，c4， = 3， 得：2= 36 + 16 2 6 4 1 2 = 2
22、8， 所以 = 27， 由 = ( + 3)，得：27 = 4( 3 + 3) = 4 2 3 = 23 27 = 21 7 ， 因为 ca，所以 = 1 2 = 27 7 ， 所以2 = 2 = 2 21 7 27 7 = 43 7 ， 2 = 22 1 = 2 (2 7 7 )2 1 = 1 7， ( 2) = 3 2 + 3 2 = 1 2 1 7 + 3 2 43 7 = 13 14 17 （15 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1，AA1平面 ABC，BAC90，AA1ABAC 1 （）求异面直线 AC1与 A1B 所成的角； （）求二面角 ABC1A1的正弦值； （） 设 M 为
23、A1B 的中点， 在ABC 的内部或边上是否存在一点 N， 使得 MN平面 ABC1？ 若存在，确定点 N 的位置，若不存在，说明理由 【解答】解：因为 AA1平面 ABC，BAC90 如图，以 A1B1为 x 轴，A1C1为 y 轴，A1A 为 z 轴建立空间直角坐标系： 因为 AA1ABAC1，所以 A1（0，0，0） ，B1（1，0，0） ，C1（0，1，0） ，A（0，0， 1） ，B（1，0，1） ，C（0，1，1） ， （）1 = (0，1， 1)，1 = (1，0，1)， 1 ，1 = 1 1 |1 |1| = 1 22 = 1 2， 所以异面直线 AC1与 A1B 所成的角为
24、60 （） 1 = (1，1， 1)， 设平面 ABC1的法向量为 1= (1，1，1) 1 1 = 0 1 1 = 0 1 1= 0 1+ 1 1= 0 x10，不妨令 z11，y11， 则平面 ABC1的一个法向量为 1= (0，1，1)， 设平面 BC1A1的法向量为 2= (2，2，2)， 1 2 = 0 1 2 = 0 2 + 2= 0 2+ 2 2= 0， y20，不妨令 x21，z21，则平面 BC1A1的一个法向量为 2= (1，0， 1) 1 ，2 = 1 2 |1 |2| = 1 2 ， 从而1 ，2 = 3 2 ，所以二面角 ABC1A1的正弦值为 3 2 （）假设在平面
25、 ABC 的边上或内部存在一点 N（x，y，1） ， 因为 M 为 A1B 的中点，1 = (1，0，1) 所以(1 2，0， 1 2)， 所以 = ( 1 2 ， 1 2)，又1 = (0，1， 1)，1 = (1，1， 1)， 则1 = 0 1 = 0 = 1 2 = 所以( 1 2， 1 2 ，1)， 且 = 1 2 ，所以 N 是 BC 的中点 故存在点 N，N 为 BC 的中点，满足条件 18（15 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且= 2+ 2 ， 数列bn满足： anlog2bn， nN* （）求数列an、bn的通项公式； （）设= 1 (+2)(为奇数)， 2 (为
26、偶数)， ，Tn为数列cn的前 n 项和，求 T2n 【解答】解： （）数列an的前 n 项和= 2+ 2 ， 因为 n1 时，a1S11（1 分） n2 时，1= 1 2 ( 1)2+ ( 1) = 1 2 (2 )， 所以 anSnSn1n（n2）（3 分） 又 n1 时，a11 满足上式 所以 ann 又 anlog2bn所以 nlog2bn 所以= 2（6 分） （）= 1 (+2)(为奇数)， 2 (为偶数)， 由（）知，ann，= 2， 所以= 1 (+2)(为奇数)， 1 21 (为偶数)， （8 分） T2n（c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n） ， 2= ( 1 1
27、3 + 1 35 + + 1 (21)(2+1) + ( 1 2 + 1 8 + + 1 221)（11 分） = 1 2 (1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 21 1 2+1) + 1 2(1 1 4) 11 4 （13 分） = 1 2 (1 1 2+1) + 2 3 (1 1 4) = 7 6 1 2(2+1) 2 34（15 分） 19 （15 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的离心率为 6 3 ，以 C 的短轴为直径的圆 与直线 l：3x+4y50 相切 （1）求 C 的方程； （2）直线 yx+m 交椭圆 C 于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两
28、点，且 x1x2已知 l 上存在 点 P，使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形若 P 在直线 MN 右下方，求 m 的值 【解答】解： （1）依题意， = |0+05| 32+42 = 1， 离心率 = = 22 = 6 3 ， 21 = 6 3 ，解得 = 3， 椭圆 C 的标准方程为 2 3 + 2= 1； （2） 直线 yx+m 的倾斜角为 45， 且PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形， P 在直线 MN 右下方，NPx 轴 过 M 作 NP 的垂线，垂足为 Q，则 Q 为线段 NP 的中点，Q（x1，y2） ，故 P（2x1x2， y2） ， 3（2x1x2）+4y250， 即 3（2x1x2）+4（x2+m）50， 整理得 6x1+x2+4m50 由 2 + 32= 3 = + ，得 4x2+6mx+3m230 36m248m2+480，解得2m2， 1+ 2= 3 2 ，12= 3 4( 2 1)， 由得，1= 1 2， 将代入得 x21m， 将代入得( 2 1)( + 1) = 3 4 ( 1)( + 1)，解得 m1 综上，m 的值为1
