1、第十三章 轴对称 13.1轴对称 第2课时 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法 (重点） 2.会用尺规过一点作已知直线的垂线. 3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际 问题（难点） 学习目标 导入新课导入新课 问题引入 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、 B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于 何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 讲授新课讲授新课 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3， ，是l 上的点，请 你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能 发现什么？请猜想点P1，P2，P3， ， 到点
2、A 与点B 的距离之间 的数量关系 A B l P1 P2 P3 探究发现 P1A _P1B P2A _ P2B P3A _ P3B 线段垂直平分线的性质 猜想： 点P1，P2，P3， ， 到点A 与点B 的距离分别相等 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点 的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 已知：如图，直线lAB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上求证：PA =PB 证明： lAB， PCA =PCB 又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PB P A B l C 验证结论 例1 如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂
3、直平分AB，垂足为E，交AC于D，若DBC的周 长为35cm，则BC的长为( ) A5cm B10cm C15cm D17.5cm 典例精析 C 解析：DBC的周长为BCBD CD35cm，又DE垂直平分AB， ADBD，故BCADCD 35cm.ACADDC20cm， BC352015(cm).故选C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段 之间的相互转化，从而求出未知线段的长 练一练：1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线， 点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图所示，在ABC中，BC=8cm,边AB的垂直
4、平分线交AB 于点D，交边AC于点E, BCE的周长等于18cm,则AC的长 是 . B 10cm P A B C D 图图 A B C D E 图图 例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. A B C D E K 已知：直线AB和AB外一点C . 求作：AB的垂线，使它经过点C . 作法：（1）任意取一点K，使点K和和 点C在AB的两旁. （2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧， 交AB于点D和点E. （4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线. （3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为 半径作弧，两弧相交于点F. 1 2 F （1）为什么任意取一点K ，使点K与点C
5、在直线两旁？ 1 2 DE（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？ （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ 想一想： 例3 已知:如图,在ABC中,边AB，BC的垂直平分线 交于P.求证：PA=PB=PC. B A C M N M N P PA=PB=PC PB=PC 点P在线段BC的 垂直平分线上 PA=PB 点P在线段AB的 垂直平分线上 解析： 证明： 点P在线段AB的垂直平分线MN上， PA=PB. 同理 PB=PC. PA=PB=PC. 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到 三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确定购物 中心的位置，使得它到三个 小区的距离相等吗？
6、例4 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD 的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的 延长线于点F. 求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD. 解析：(1)根据ADBC可知ADC ECF，再根据E是CD的中点可得出 ADEFCE，根据全等三角形的性 质即可解答 (2)先根据线段垂直平分线的性质得出 出ABBF，再结合（1）即可解答 证明：(1)ADBC，ADCECF. E是CD的中点，DEEC. 又AEDCEF， ADEFCE， FCAD. (2)ADEFCE， AEEF，ADCF. BEAE，BE是线段AF的垂直平分线， ABBFBCCF. ADCF， ABBCAD. 想
7、一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂 直平分线上呢？ P A B 合作探究 已知：如图，PA =PB 求证：点P 在线段AB 的垂直 平分线上 线段垂直平分线的判定 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C 则PCA =PCB =90 在RtPCA 和RtPCB 中， PA =PB，PC =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC =BC 又又 PCAB， 点P 在线段AB 的垂直平分线上 P A B C 知识要点 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平 分线上 应用格式： PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上 P A B 作用：判断一个
8、点是否在线段的垂直平分线上. 这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 与A，B 的距离相等 的点都在直线l上，所以 直线l 可以看成与A、B 两点 的距离相等的所有 点的集合. P A B C l 应用格式： AB =AC，MB =MC， 直线AM 是线段BC 的垂直 平分线 A B C D M 这是判断一条直 线是线段的垂直 平分线的方法. 例5 已知：如图，点E是AOB的平分线上一点， ECOA,EDOB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明： OE平分
9、AOB,ECOA,EDOB, DE=CE. OE是CD的垂直平分线. 又又OE=OE， RtOEDRtOEC. DO=CO. 例6 已知：如图，在ABC中，AB，BC的垂直平分线相交 于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明 ： 点O在线段AB的垂直平分线上， OA=OB. 同理OB=OC. OA=OC. 点O在AC的垂直平分线上. 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到 三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确 定购物中心的位置， 使得它到三个小区的 距离相等吗？ 当堂练习当堂练习 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的 是（ ）
10、AAB垂直平分CD； B CD垂直平分AB ； CAB与CD互相垂直平分； DCD平分 ACB A 2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC, 则点P是ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D 4.下列说法： 若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PA PB； 若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB； 若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； 若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB 其中正确的有 （填序号）. 3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB， EA
11、EB,FAFB，这样的点的组合共 有 种. 无数 5.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交 AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长 是 cm. A B C D E 16 6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 证明： AC =BC，AD=BD， 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， CD为线段AB的垂直平分线. 又 AB与CD相交于点O， AO=BO. 7.如图所示，在ABC中，AD平分BAC，DEAB于点E， DFAC于点F，试说明AD与EF的关系 解：AD垂直平分EF. AD平分BA
12、C，DEAB，DFAC， EADFAD，AEDAFD=90. 又ADAD， ADEADF， AEAF，DEDF. A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直 平分线段EF. A B C D E F 8.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂 足为点O. (1)找出图中相等的线段； (2)OE，OF分别是点O到CAD两边的垂线段，试说明 它们的大小有什么关系 解析：(1)由垂直平分线的性质可得 出相等的线段； (2)由条件可证明AOCAOD， 可得AO平分DAC，根据角平分线 的性质可得OEOF. 拓展提升： 解：(1)AB、CD互相垂直平分， OCOD，AOOB， 且ACBCADBD； (2)OEOF，理由如下： 在AOC和AOD中， AC=AD，AOAO，OCOD， AOCAOD(SSS)， CAODAO. 又OEAC，OFAD， OEOF. 课堂小结课堂小结 线段的 垂直平 分的性 质和判 定 性 质 到线段的两个端点距离相等 的点在线段的垂直平分线上 内 容 判 定 内 容 作 用 线段的垂直平分线上的点到 线段的两个端点的距离相等 作 用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂 直平分线上
