1、幂函数与二次函数幂函数与二次函数 考试要求 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数 yx，yx2，yx3，y x 1 2，y1 x的图象，了解它们的变化情况. 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决 简单问题 1幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 是常数 (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 yx yx2 yx3 yx 1 2 yx 1 图象 性质 定义 域 R R R x|x0 x|x0 值域 R y|y0 R y|y0 y|y0 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数 单调
2、 性 在 R 上 单调递 增 在(，0 上单调递 减； 在(0，) 上单调递增 在 R 上单 调递增 在0，) 上单调递增 在(，0) 和(0，) 上单调递减 公共点 (1,1) 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x)ax2bxc(a0)； (2)顶点式：f (x)a(xm)2n(a0)； (3)零点式：f (x)a(xx1)(xx2)(a0) 3二次函数的图象和性质 解析式 f (x)ax2bxc (a0) f (x)ax2bxc (a0) 图象 定义域 R R 值域 4acb2 4a ， ，4acb 2 4a 单调性 在 x ， b 2a 上单调递减； 在 x b 2a，
3、上单调递增 在 x ， b 2a 上单调递增； 在 x b 2a， 上单调递减 对称性 函数的图象关于直线 x b 2a对称 提醒：二次函数 yax2bxc(a0)的系数特征 (1)二次项系数 a 的正负决定图象的开口方向 (2) b 2a的值决定图象对称轴的位置 (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点 (4)b24ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数 常用结论 1幂函数 yx在(0，)上的三个重要结论 (1)当 0 时，函数在(0，)上单调递增 (2)当 0 时，函数在(0，)上单调递减 (3)当 x(0,1)时， 越大，函数值越小，当 x(1，)时， 越大，函数值 越大 2根与系数的
4、关系 二次函数 f (x)ax2bxc(a0)，当 b24ac0 时，其图象与 x 轴有两 个交点 M1(x1,0)，M2(x2,0)，这里的 x1，x2是方程 f (x)0 的两个根，且 x1x2b a， x1 x2c a， |M1M2|x1x2| |a| . 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数 y2x 1 3是幂函数 ( ) (2)当 n0 时，幂函数 yxn在(0，)上是增函数 ( ) (3)二次函数 yax2bxc(xR)不可能是偶函数 ( ) (4)二次函数 yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb 2 4a . ( ) 答案 (1) (2) (3) (
5、4) 二、教材习题衍生 1已知幂函数 yf (x)经过点(3， 3)，则 f (x)( ) A是偶函数，且在(0，)上是增函数 B是偶函数，且在(0，)上是减函数 C是奇函数，且在(0，)上是减函数 D是非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数 D 设幂函数的解析式为 yx，将点(3， 3)的坐标代入解析式得 3 3， 解得 1 2，yx 1 2，故选 D 2若幂函数 yf (x)的图象过点(4,2)，则幂函数 yf (x)的图象是( ) A B C D C 令 f (x)x，则 42，解得 1 2， f (x)x 1 2，则 f (x)的图象如选项 C 中所示 3已知函数 f (x)x24ax
6、在区间(，6)内单调递减，则 a 的取值范围是 ( ) Aa3 Ba3 Ca3 Da3 D 函数 f (x)x24ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是 x2a， 由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线 x2a 的左侧， 所以2a6，解得 a3，故选 D 4函数 g(x)x22x(x0,3)的值域是_ 1,3 g(x)x22x(x1)21，x0,3， 当 x1 时，g(x)ming(1)1， 又 g(0)0，g(3)963， g(x)max3， 即 g(x)的值域为1,3 考点一 幂函数的图象及其性质 与幂函数有关问题的解题思路 (1)若幂函数 yx(Z)是偶函数，则 必
7、为偶数当 是分数时，一般将其 先化为根式，再判断 (2)若幂函数 yx在(0，)上单调递增，则 0；若在(0，)上单调递 减，则 0. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单 调性进行比较 1已知幂函数 f (x)的图象过点 1 2，4 ，则该函数的单调递增区间为( ) A(，0) B(0，) C(，) D不存在 A 设 f (x)x，则 f 1 2 1 2 a 4，解得 2. 所以 f (x)x 2，函数 f (x)为偶函数，且在(0，)上是减函数，从而在( ，0)上为增函数，故选 A 2当 x(0，)时，幂函数 y(m2m1)x 5m3 为减函数，则实数 m
8、 的 值为( ) A2 B1 C1 或2 Dm1 5 2 B 因为函数 y(m2m1)x 5m3 既是幂函数又是(0，)上的减函数， 所以 m2m11， 5m30， 解得 m1. 3若 a 1 2 2 3，b 1 5 2 3，c 1 2 1 3，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aabc Bcab Cbca Dbac D 因为 yx 2 3在第一象限内是增函数，所以 a 1 2 2 3b 1 5 2 3，因为 y 1 2 x 是减函数， 所以 a 1 2 2 3c 1 2 1 3，所以 bac. 4若(a1) 1 2(32a) 1 2，则实数 a 的取值范围是_ 1，2 3 易知函数 yx
9、1 2的定义域为0，)，在定义域内为增函数， 所以 a10， 32a0， a132a， 解得1a2 3. 点评：比较大小时，若底数相同，可考虑指数函数的单调性若指数相同， 可考虑幂函数的单调性，有时需要通过化简，使底数(指数)相同如本例 T3，也可 化简为 a 1 4 1 3，b 1 25 1 3，c 1 2 1 3，再通过 yx 1 3的单调性比较大小 考点二 求二次函数的解析式 求二次函数解析式的策略 典例 1 已知二次函数 f (x)满足 f (2)1，f (1)1，且 f (x)的最大值 是 8，试确定此二次函数的解析式 解 法一：(利用二次函数的一般式) 设 f (x)ax2bxc(
10、a0) 由题意得 4a2bc1， abc1， 4acb2 4a 8， 解得 a4， b4， c7. 故所求二次函数为 f (x)4x24x7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设 f (x)a(xm)2n(a0) f (2)f (1)，抛物线对称轴为 x21 2 1 2. m1 2，又根据题意函数有最大值 8，n8， yf (x)a x1 2 2 8. f (2)1，a 21 2 2 81，解得 a4， f (x)4 x1 2 2 84x24x7. 法三：(利用零点式) 由已知 f (x)10 的两根为 x12，x21， 故可设 f (x)1a(x2)(x1)， 即 f (x)ax2ax2a1
11、. 又函数有最大值 ymax8，即4a2a1a 2 4a 8. 解得 a4 或 a0(舍去)， 故所求函数解析式为 f (x)4x24x7. 点评：求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用 的解析式不同，其方法也不同 跟进训练 1已知二次函数 f (x)的图象的顶点坐标是(2，1)，且图象经过点(1,0)， 则函数的解析式为 f (x)_. 1 9x 24 9x 5 9 法一：(一般式)设所求函数的解析式为 f (x)ax 2bxc(a0) 由已知得 b 2a2， 4acb2 4a 1， abc0， 解得 a1 9， b4 9， c5 9， 所以所求解析式为 f (x)1
12、9x 24 9x 5 9. 法二：(顶点式)设所求函数的解析式为 f (x)a(xh)2k. 由已知得 f (x)a(x2)21， 将点(1,0)代入，得 a1 9，所以 f (x) 1 9(x2) 21， 即 f (x)1 9x 24 9x 5 9. 2已知二次函数 f (x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并 且对任意 xR，都有 f (2x)f (2x)，则函数的解析式 f (x)_. x24x3 f (2x)f (2x)对 xR 恒成立， f (x)图象的对称轴为 x2. 又f (x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2， f (x)0 的两根为 1 和 3.
13、设 f (x)的解析式为 f (x)a(x1)(x3)(a0) 又f (x)的图象经过点(4,3)， 3a3，a1. 所求 f (x)的解析式为 f (x)(x1)(x3)， 即 f (x)x24x3. 考点三 二次函数的图象与性质 二次函数图象的识别 识别二次函数图象应学会“三看” 典例 21 (1)一次函数 yaxb 与二次函数 yax2bxc 在同一坐标系 中的图象大致是( ) A B C D (2)如图所示的是二次函数 yax2bxc 图象的一部分，且过点 A(3,0)，对 称轴为直线 x1.给出下面四个结论： b24ac；2ab1；abc0；5ab. 其中正确的是( ) A B C
14、D (1)C (2)B (1)若 a0，则一次函数 yaxb 为增函数，二次函数 yax2 bxc 的图象开口向上，故排除 A；若 a0，一次函数 yaxb 为减函数，二 次函数 yax2bxc 的图象开口向下， 故排除 D； 对于选项 B， 看直线可知 a0， b0，从而 b 2a0，而图中二次函数图象的对称轴在 y 轴的右侧，故排除 B故 选 C (2)因为图象与 x 轴交于两点，所以 b24ac0，即 b24ac，正确 因为对称轴为直线 x1，所以 b 2a1，即 2ab0，错误 结合图象，当 x1 时，y0，即 abc0，错误 由对称轴为直线 x1 知，b2a.又函数图象开口向下，所以
15、 a0，所以 5a 2a，即 5ab，正确 点评：对于判断两个函数的图象在同一坐标系中的题目，可假设一个图象正 确，然后判断另一个图象是否正确如本例 T(1) 二次函数的单调性 二次函数单调性问题的求解策略 (1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或 对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解 (2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的 对称性转化到同一单调区间上比较 典例 22 (1)函数 f (x)ax2(a3)x1 在区间1，)上是递减的， 则实数 a 的取值范围是( ) A3,0) B(，3 C2,0 D3,0 (2)二次函数 f (
16、x)ax2bxc(xR)的最小值为 f (1)， 则 f ( 2)， f 3 2 ， f ( 3) 的大小关系是( ) Af ( 2)f 3 2 f ( 3) Bf 3 2 f ( 2)f (3) Cf ( 3)f ( 2)f 3 2 Df ( 2)f ( 3)f 3 2 (1)D (2)D (1)当 a0 时，f (x)3x1 在1，)上递减，满足题意 当 a0 时，f (x)图象的对称轴为 x3a 2a ， 由 f (x)在1，)上递减知 a0， 3a 2a 1， 解得3a0. 综上，a 的取值范围为3,0 (2)二次函数 f (x)ax2bxc(xR)的最小值为 f (1)， 函数的图象
17、开口方向朝上，对称轴为直线 x1. 3 21 | 31| 21|， f ( 2)f ( 3)f 3 2 ，故选 D 母题变迁 将本例(1)改为“若函数 f (x)ax2(a3)x1的单调减区间是1， )”， 则实数 a_. 3 由题意知 a0， 3a 2a 1， 解得 a3. 二次函数的最值问题 二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型： 对称轴、区间都是给定的； 对称轴动、区间固定； 对称轴定、区间变动 (2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两 个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类 讨论的思想解决问题 典例 23 求函数 f
18、 (x)x22ax1 在区间1,2上的最值 解 f (x)(xa)21a2. 当a1，即 a1 时，函数 f (x)在区间1,2上是增函数， f (x)minf (1)22a，f (x)maxf (2)4a5. 当1a1 2，即 1 2a1 时，函数 f (x)在区间1,2上先减后增，f (x)minf (a)1a2，f (x)maxf (2)4a5. 当1 2a2，即2a 1 2时，函数 f (x)在区间1,2上先减后增，f (x)minf (a)1a2，f (x)maxf (1)22a. 当a2，即 a2 时，函数 f (x)在区间1,2上是减函数， f (x)minf (2)4a5，f
19、(x)maxf (1)22a. 综上知，f (x)min 22a，a1， 1a2，2a1， 4a5，a2， f (x)max 4a5，a1 2， 22a，a1 2. 点评：对称轴分区间讨论，书写结论时要注意合并区间 与二次函数有关的恒成立问题 1由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数 (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参 数是否已分离这两个思路的依据是：af (x)恒成立af (x)max，af (x)恒成 立af (x)min. 2ax2bxc0(a0)在区间m，n上恒成立的条件设 f (x)ax2b
20、xc， 则 f m0， f n0. 典例 24 (1)已知函数 f (x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都 有 f (x)0 成立，则实数 m 的取值范围是_ (2)已知函数 f (x)x22x1，f (x)xk 在区间3，1上恒成立，则 k 的取值范围为_ (1) 2 2 ，0 (2)(，1) (1)作出二次函数 f (x)的草图如图所示，对于任 意 xm，m1，都有 f (x)0， 则有 f m0， f m10， 即 m2m210， m12mm110， 解得 2 2 m0. (2)由题意得 x2x1k 在区间3，1上恒成立 设 g(x)x2x1，x3，1， 则 g(x)在3，1上递减
21、 g(x)ming(1)1. k1.故 k 的取值范围为(，1) 跟进训练 1已知 abc0，则二次函数 f (x)ax2bxc 的图象可能是( ) A B C D D A 项， 因为 a0， b 2a0， 所以 b0.又因为 abc0， 所以 c0， 而 f (0) c0，故 A 错B 项，因为 a0， b 2a0，所以 b0.又因为 abc0，所以 c 0，而 f (0)c0，故 B 错C 项，因为 a0， b 2a0，所以 b0.又因为 abc 0，所以 c0，而 f (0)c0，故 C 错D 项，因为 a0， b 2a0，所以 b 0.因为 abc0，所以 c0，而 f (0)c0，故
22、 D 正确 2设函数 f (x)mx2mx1，若对于 x1,3，f (x)m4 恒成立，则 实数 m 的取值范围为( ) A(，0 B 0，5 7 C(，0) 0，5 7 D ，5 7 D 由 f (x)m4 得 m(x2x1)5， 又 x2x1 x1 2 2 3 40， m 5 x2x1， 当 1x3 时，1x2x17，5 7 5 x2x15， m5 7.故选 D 3设二次函数 f (x)ax22axc 在区间0,1上单调递减，且 f (m)f (0)， 则实数 m 的取值范围是_ 0,2 依题意 a0， 二次函数 f (x)ax22axc 图象的对称轴是直线 x1， 因为函数 f (x)在区间0,1上单调递减，所以 a0，即函数图象的开口向上，所以 f (0)f (2)，则当 f (m)f (0)时，有 0m2. 4已知函数 f (x)ax22ax1 在区间1,2上有最大值 4，求实数 a 的值 解 f (x)a(x1)21a. 当 a0 时，函数 f (x)在区间1,2上的值为常数 1，不符合题意，舍去； 当 a0 时，函数 f (x)在区间1,2上是增函数，最大值为 f (2)8a14， 解得 a3 8； 当 a0 时，函数 f (x)在区间1,2上是减函数，最大值为 f (1)1a4， 解得 a3. 综上可知，a 的值为3 8或3.
