1、二项式定理二项式定理 考试要求 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 1二项式定理 (1)二项式定理：(ab)nC 0 nanC 1 nan 1bCr nan rbrCn nbn(nN*)； (2)通项公式：Tr1C r nan rbr，它表示第 r1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C 0 n，C 1 n，Cnn. 2二项式系数的性质 (1)0rn 时，C r n与 Cn r n 的关系是 C r nCn r n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当 n 为偶数时，第 n 21 项的二项式系数最大，最大值为 ；当 n 为奇数时， 第 n1 2 项和 n3 2 项
2、的二项式系数最大，最大值为 C . 3各二项式系数和 (1)(ab)n展开式的各二项式系数和：C 0 nC 1 nC 2 nCnn2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C 0 nC 2 nC 4 n C 1 nC 3 nC 5 n2n 1. 常用结论 (1)C0n1；(2)Cnn1；(3)Cm nCn m n ； (4)Cm n1Cm 1 n Cm n. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)C r nan rbr 是(ab)n的展开式中的第 r 项 ( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 ( ) (3)(ab)n的展开式中某
3、一项的二项式系数与 a，b 无关 ( ) (4)通项 Tr1C r nan rbr 中的 a 和 b 不能互换 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1(12x)4展开式中第 3 项的二项式系数为( ) A6 B6 C24 D24 A (12x)4展开式中第 3 项的二项式系数为 C 2 46.故选 A 2二项式 1 2x2y 5 的展开式中 x3y2的系数是( ) A5 B20 C20 D5 A 二项式 1 2x2y 5 的通项为 Tr1C r 5 1 2x 5r (2y)r.根据题意，得 5r3， r2， 解得 r2.所以 x3y2的系数是 C 2 5 1 2 3
4、 (2)25.故选 A 3C 0 2 019C12 019C22 019C2 0192 019 C02 020C22 020C42 020C2 020 2 020的值为( ) A1 B2 C2 019 D2 0192 020 A 原式 22 019 22 020 12 2 019 22 0191.故选 A 4若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a0a2a4的值为 8 令 x1，则 a0a1a2a3a40；令 x1，则 a0a1a2a3a4 16，两式相加得 a0a2a48. 考点一 二项式展开式的通项公式的应用 形如(ab)n的展开式问题 二项展开式中的特定项，是指展开式中的某
5、一项，如第 n 项、 常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下： 求通项，利用(ab)n的展开式的通项公式 Tr1C r nan rbr(r0,1,2，n) 求通项 列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方 程(组)或不等式(组) 求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定 项 典例 11 (1) x22 x 5 的展开式中 x4的系数为( ) A10 B20 C40 D80 (2)若 ax2 1 x 5 的展开式中 x5的系数是80，则实数 a . (3)(2019 浙江高考)在二项式( 2x)9的展开式中，常数项是 ；
6、系数 为有理数的项的个数是 (1)C (2)2 (3)16 2 5 (1)Tr1C r 5(x2)5 r 2 x r C r 52rx10 3r，由 103r4， 得 r2，所以 x4的系数为 C 2 52240. (2) ax2 1 x 5 的展开式的通项 Tr1C r 5(ax2)5 r x r 2Cr 5a5 r x10 5 2r，令 105 2r 5，得 r2，所以 C 2 5a380，解得 a2. (3)由题意，( 2x)9的通项为 Tr1C r 9( 2)9 rxr(r0,1,2，9)，当 r0 时， 可得常数项为 T1C 0 9( 2)916 2； 若展开式的系数为有理数， 则
7、r1,3,5,7,9， 有 T2, T4, T6, T8, T10共 5 个项 点评：已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项 公式写出第 k1 项，由特定项得出 k 值，最后求出其参数 形如(ab)n(cd)m的展开式问题 求解形如(ab)n(cd)m的展开式问题的思路 (1)若 n，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(ab)2(cd)m(a2 2abb2)(cd)m，然后展开分别求解 (2)观察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2 (1x2)5(1x)2. (3)分别得到(ab)n，(cd)m的通项公式，综合考虑 典
8、例12 (1)(2020 全国卷) xy 2 x (xy)5的展开式中x3y3的系数为( ) A5 B10 C15 D20 (2)(x22) 1 x21 5 的展开式的常数项是( ) A3 B2 C2 D3 (3)若(x2a) x1 x 10 的展开式中 x6的系数为 30，则 a 等于( ) A1 3 B 1 2 C1 D2 (1)C (2)D (3)D (1)因为(xy)5的展开式的第 r1 项 Tr1C r 5x5 ryr， 所以 xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为 C 3 5C 1 515.故选 C (2)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一
9、个 因式取 x2项，第二个因式取 1 x2项得 x 21 x2C 4 5(1)45；第一个因式取 2，第二个 因式取(1)5得 2(1)5C 5 52，故展开式的常数项是 5(2)3，故选 D (3)由题意得 x1 x 10 的展开式的通项公式是 Tk1C k 10 x10 k 1 x k C k 10 x10 2k， x1 x 10 的展开式中含 x4(当 k3 时)，x6(当 k2 时)项的系数分别为 C 3 10，C 2 10，因 此由题意得 C 3 10aC 2 1012045a30，由此解得 a2，故选 D 点评：求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开 为多
10、项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项， 最后进行合并即可 形如(abc)n的展开式问题 求三项展开式中某些特定项的系数的方法 (1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解 (2)两次利用二项式定理的通项公式求解 (3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项 式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的 量 典例 13 (1)将 x4 x4 3 展开后，常数项是 (2) x22 xy 6 的展开式中，x3y3的系数是 (用数字作答) (1)160 (2)120 (1) x4 x4 3 x 2 x 6 展开
11、式的通项是 C k 6( x)6 k 2 x k (2)k C k 6x3 k. 令 3k0，得 k3. 所以常数项是 C 3 6(2)3160. (2) x22 xy 6 表示 6 个因式 x22 xy 的乘积，在这 6 个因式中，有 3 个因式 选 y，其余的 3 个因式中有 2 个选 x2，剩下一个选2 x，即可得到 x 3y3 的系数，即 x3y3的系数是 C 3 6C 2 3(2)203(2)120. 点评：二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、 拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解 跟进训练 1若 x2 1 ax 6 的展开式中常数项为15 16
12、，则实数 a 的值为( ) A 2 B1 2 C2 D 1 2 A x2 1 ax 6 的展开式的通项为 Tk1C k 6(x2)6 k 1 ax k C k 6 1 a k x 12 3k， 令 123k0，得 k4. 故 C 4 6 1 a 4 15 16，即 1 a 4 1 16，解得 a 2，故选 A 2(1 x)6(1 x)4的展开式中 x 的系数是( ) A4 B3 C3 D4 B (1 x)6(1 x)4(1 x)(1 x)4(1 x)2(1x)4(12 xx) 于是 (1 x)6(1 x)4的展开式中 x 的系数为 C 0 4 1C 1 4 (1)1 13. 3. x 1 3
13、x y 6 的展开式中含 xy 的项的系数为( ) A30 B60 C90 D120 B 展开式中含 xy 的项来自 C 1 6(y)1 x 1 3 x 5 ， x 1 3 x 5 展开式通项为 Tr1 (1)rC r 5x 54 3r，令 54 3r1r3， x 1 3 x 5 展开式中 x 的系数为(1)3C 3 5， 所以 x 1 3 x y 6 的展开式中含xy的项的系数为C 1 6(1)C 3 5(1)360， 故选B 考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题 (1)系数和问题常用“赋值法”求解 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和 的方法求解有关系数和
14、题的关键点如下： 赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有： 1,0,1 等 求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值 求值，根据题意，得出指定项的系数和 (2)二项式系数和： (ab)n的展开式中二项式系数的和为 C 0 nC 1 nCnn2n. 典例 2 (1)在 x 3 x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 321，则 x2的系数为( ) A50 B70 C90 D120 (2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2 a8)2(a1a3a9)239，则实数 m 的值为 (1)C (2)3 或 1 (1
15、)令 x1，则 x 3 x n 4n，所以 x 3 x n 的展开式中， 各项系数和为 4n，又二项式系数和为 2n，所以4 n 2n2 n32，解得 n5.二项展开式 的通项 Tr1C r 5x5 r 3 x r C r 53rx 53 2r，令 53 2r2，得 r2， 所以 x2的系数为 C 2 53290，故选 C (2)令 x0，则(2m)9a0a1a2a9， 令 x2，则 m9a0a1a2a3a9， 又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2 a3a8a9)39， (2m)9 m939， m(2m)3， m3 或 m1. 点评： (1)利用赋值法求解时
16、，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值 (包括符号) (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝 对值去掉，再进行赋值 跟进训练 1在二项式(12x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为 128，则展开式 的中间项的系数为( ) A960 B960 C1 120 D1 680 C 因为偶数项的二项式系数之和为 2n 1128，所以 n17，n8，则展 开式共有 9 项，中间项为第 5 项，因为(12x)8的展开式的通项 Tr1C r 8(2x)r C r 8(2)rxr，所以 T5C 4 8(2)4x4，其系数为 C 4 8(2)41 120. 2 (ax)(
17、1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32， 则 a . 3 设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 令 x1，得 16(a1)a0a1a2a3a4a5， 令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5. ，得 16(a1)2(a1a3a5)， 即展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 a1a3a58(a1)，所以 8(a1) 32，解得 a3. 考点三 二项式系数的性质 二项展开式系数最大项的求法 如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展 开式各项系数分别为 A1，A2，An1，且第 k 项系数最大，应用 AkAk1， Ak
18、Ak1， 从 而解出 k 来，即得 二项式系数的最值问题 典例 31 设 m 为正整数，()xy 2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， ()xy 2m1 展开式的二项式系数的最大值为 b，若 15a8b，则 m . 7 ()xy 2m 展开式中二项式系数的最大值为 aC m 2m，() xy 2m1 展开式中二 项式系数的最大值为 bC m1 2m1，因为 15a8b，所以 15C m 2m8C m1 2m1，即 15 2m！ m！m！ 8 2m1！ m！m1！，解得 m7. 项的系数的最值问题 典例 32 已知(3xx2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的 二项式系数和大
19、 992， 则在 2x1 x 2n 的展开式中， 二项式系数最大的项为 ， 系数的绝对值最大的项为 8 064 15 360 x4 由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，故 2n32，解得 n5.由二项式系数的性质知， 2x1 x 10 的展开式中第 6 项的二项式 系数最大，故二项式系数最大的项为 T6C 5 10(2x)5 1 x 5 8 064. 设第 k1 项的系数的绝对值最大， 则 Tk1C k 10 (2x)10 k 1 x k (1)kC k 10 210 k x102k， 令 Ck10 210 kCk1 10 210 k1， Ck10 210 kCk1 10
20、 210 k1， 得 Ck102Ck 1 10， 2Ck10Ck 1 10， 即 11k2k， 2k110k 解得8 3k 11 3 . kZ，k3. 故系数的绝对值最大的项是第 4 项， T4C 3 10 27 x415 360 x4. 点评：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指 C 0 n， C 1 n，Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项的系数是指该项 中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关 跟进训练 1二项式 3x 1 3 x n 的展开式中只有第 11 项的二项式系数最大，则展开式 中 x 的指数为整数的项的个
21、数为( ) A3 B5 C6 D7 D 根据 3x 1 3 x n 的展开式中只有第 11 项的二项式系数最大，得 n20， 3x 1 3 x 20 的展开式的通项为 Tr1C r 20 ( 3x)20 r 1 3 x r ( 3)20 r Cr 20 x 204r 3 ， 要使 x 的指数是整数，需 r 是 3 的倍数且 0r20，r0,3,6,9,12,15,18，x 的 指数是整数的项共有 7 项 2已知(13x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于 121，则展开式中 二项式系数最大的项为 C 7 15(3x)7和C 8 15(3x)8 由已知得Cn 2 n Cn 1 n Cnn121， 则1 2n (n1)n1121， 即 n2n2400，解得 n15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为 T8C 7 15(3x)7和 T9C 8 15(3x)8.
