1、不等式的证明不等式的证明 考试要求 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合 法、分析法 1基本不等式的推广 如果 a1，a2，an为 n 个正数，则a 1a2an n na1a2an，当且仅当 a1a2an时，等号成立 2柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)(ac bd)2(当且仅当 adbc 时，等号成立) (2)柯西不等式的向量形式：设 ， 是两个向量，则|，当且仅当 或 是零向量，或存在实数 k，使 k(， 为非零向量)时，等号成立 (3)柯西不等式的三角形不等式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则 x
2、1x22y1y22 x2x32y2y32 x1x32y1y32. (4)柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实 数， 则(a 2 1a 2 2a 2 n)(b 2 1b 2 2b 2 n)(a1b1a2b2anbn)2， 当且仅当 bi0(i 1,2，n)或存在一个数 k，使得 aikbi(i1,2，n)时，等号成立 3不等式的证明方法 (1)比较法 作差法(a，bR)：ab0ab；ab0a0，b0)：a b1ab； a b1a0， M2a3b3， N2ab2a2b， 则 M， N 的大小关系为 MN 2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b
3、2)(a2b2)(2ab)(a b)(ab)(2ab) 因为 ab0，所以 ab0，ab0,2ab0， 从而(ab)(ab)(2ab)0，故 2a3b32ab2a2b. 3已知 a，b，c 是正实数，且 abc1，则1 a 1 b 1 c的最小值为 9 abc1， 1 a 1 b 1 c 3 b a a b c a a c c b b c 32 b a a b2 c a a c2 c b b c 369， 当且仅当 abc 时等号成立 4 设 a， b， m， nR， 且 a2b25， manb5， 则 m2n2的最小值为 5 根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得 255(
4、m2n2)， 即 m2n25， 所以 m2n2的最小值为 5. 考点一 用综合法与分析法证明不等式 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是 “执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆 过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合 法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利 用这一辩证关系，可以开阔解题思路，开阔视野 1(2020 全国卷)设 a，b，cR，abc0，abc1. (1)证明：abbcca0 且 abbcca1，求证：abc 3. 证明 因为 a，b，c0，所以要证 abc 3， 只需证
5、明(abc)23. 即证 a2b2c22(abbcca)3， 而 abbcca1， 故需证明 a2b2c22(abbcca)3(abbcca)， 即证 a2b2c2abbcca. 而 abbccaa 2b2 2 b 2c2 2 c 2a2 2 a2b2c2(当且仅当 abc 时等号成立)成立， 所以原不等式成立 3(2019 全国卷)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1.证明：(1)1 a 1 b 1 ca 2 b2c2； (2)(ab)3(bc)3(ca)324. 证明 (1)因为 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且 abc1，故有 a2b2c2abbccaabbcca
6、 abc 1 a 1 b 1 c. 所以1 a 1 b 1 ca 2b2c2. (2)因为 a，b，c 为正数且 abc1，故有 (ab)3(bc)3(ca)333ab3bc3ac3 3(ab)(bc)(ac)3(2 ab)(2 bc)(2 ac) 24. 所以(ab)3(bc)3(ca)324. 点评： (1)利用综合法证明不等式时， 常用的不等式有： a20； |a|0； a2 b22ab， 它的变形形式又有(ab)24ab， a2b2 2 ab 2 2 等； ab 2 ab(a0， b0)，它的变形形式又有 a1 a2(a0)， b a a b2(ab0)， b a a b2(ab0)等
7、 (2)用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析的过 程是寻求结论成立的充分条件，而不一定是充要条件，同时要正确使用“要 证”“只需证”这样的“关键词” 考点二 放缩法证明不等式 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧，常 见的放缩方法有： 变换分式的分子和分母，如 1 k2 1 kk1， 1 k 2 k k1，上面不等式中 kN *，k1； 利用函数的单调性； 利用结论，如“若 0a0，则a b0，| x1 a 3，|y2| a 3，求证：|2xy4|a. (2)求证： 1 12 1 22 1 32 1 n20，|x1|a 3，可得|2x2| 2a 3 ，
8、 又|y2|a 3， |2xy4|(2x2)(y2)| |2x2|y2|2a 3 a 3a. 即|2xy4|a. (2) 1 n2 1 nn1 1 n1 1 n， 1 12 1 22 1 32 1 n21 1 22( 1 2 1 3 1 n1 1 n) 5 4( 1 2 1 n) 7 4. 点评：(1)本例(1)采用了绝对值不等式的性质证明不等式，通过变形、配凑达 到证明的目的；(2)本例(2)采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不 一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太 窄，真正做到恰到好处 跟进训练 1设 n 是正整数，求证：1 2 1 n1 1
9、n2 1 2n1. 证明 由 2nnkn(k1,2，n)， 得 1 2n 1 nk 1 n. 当 k1 时， 1 2n 1 n1 1 n； 当 k2 时， 1 2n 1 n2 1 n； 当 kn 时， 1 2n 1 nn 1 n， 1 2 n 2n 1 n1 1 n2 1 2n n n1. 原不等式成立 2若 a，bR，求证： |ab| 1|ab| |a| 1|a| |b| 1|b|. 证明 当|ab|0 时，不等式显然成立 当|ab|0 时， 由 0|ab|a|b| 1 |ab| 1 |a|b|， 所以 |ab| 1|ab| 1 1 |ab|1 1 1 1 |a|b| |a|b| 1|a|b
10、| |a| 1|a|b| |b| 1|a|b| |a| 1|a| |b| 1|b|. 综上，原不等式成立 考点三 柯西不等式的应用 柯西不等式的解题策略 (1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西 不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题 (2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当 则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件. 典例 2 (2019 全国卷)设 x，y，zR，且 xyz1. (1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值； (2)若(x2)2(y1)2(za)21 3成立，证明：a3 或 a1. 解 (1
11、)由于 (x1)(y1)(z1)2 (x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1) 3(x1)2(y1)2(z1)2， 故由已知得(x1)2(y1)2(z1)24 3，当且仅当 x 5 3，y 1 3，z 1 3时 等号成立 所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为4 3. (2)由于(x2)(y1)(za)2 (x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2) 3(x2)2(y1)2(za)2， 故由已知得(x2)2(y1)2(za)22a 2 3 ，当且仅当 x4a 3 ，y1a 3 ， z2a2 3 时等号成立 因此(x
12、2)2(y1)2(za)2的最小值为2a 2 3 . 由题设知2a 2 3 1 3，解得 a3 或 a1. 点评：利用柯西不等式证明不等式或求解某些含有约束条件的多变量的最值 问题，解决的关键是构造两组数，并向柯西不等式的形式进行转化 跟进训练 1已知 a，b，cR，且满足 a2b3c6，求 a22b23c2的最小值 解 由柯西不等式，得(123)(a22b23c2)(1 a 2 2b 3 3c)2. 得 6(a22b23c2)(a2b3c)236. 所以 a22b23c26. 当且仅当a 1 2b 2 3c 3 ，即 abc1 时，上式等号成立所以 a22b23c2 的最小值为 6. 2设 x，y，zR，且 x2 16 y2 5 z2 41，求 xyz 的取值范围 解 由柯西不等式，得 42( 5)222 x 4 2 y 5 2 z 2 2 4x 4 5 y 52 z 2 2 ， 即 251(xyz)2. 所以 5|xyz|，所以5xyz5. 即 xyz 的取值范围是5,5 3已知 a，b，c，d 为实数，且 a2b24，c2d216，证明：acbd8. 证明 由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)因为 a2b24，c2 d216， 所以(acbd)264， 因此 acbd8.
