1、第六章计数原理 6.2 排列与组合 6.2.1 排列排列 6.2.2 排列数排列数 课后篇巩固提升 基础达标练 1. - 等于( ) A.12 B.24 C.30 D.36 解析 - - =36. 答案 D 2.(2020 山东济南高三月考)6 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端, 丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有( ) A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.60 种 解析第 1步,甲、乙两本书必须摆放在两端,有 种不同的摆放方法; 第 2步,丙、丁两本书视为整体与其他两本共三本,有 种不同的摆放方法. 根据分步乘法计数原理,共有 =24(种)不同的
2、摆放方法,故选 A. 答案 A 3.已知 =10,则 n的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析由 =10,得(n+1)n-n(n-1)=10,解得 n=5. 答案 B 4.将 4 名司机、4名售票员要分配到 4 辆汽车上,每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配 方法有 ( ) A. 种 B. 种 C. 种 D.2 种 解析司机、售票员各有 种安排方法,由分步乘法计数原理知共有 种不同的安排方法. 答案 C 5.某单位安排 7 位员工在 10 月 1日至 7 日值班,每天安排 1 人,每人值班 1天.若 7 位员工中的甲、乙 排在相邻两天,丙不排在 10 月 1日,丁不排在
3、10 月 7日,则不同的安排方案共有( ) A.504种 B.960 种 C.1 008种 D.1 108种 解析甲、乙相邻的所有方案有 =1 440(种).其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在 10 月 1日值班的方案有 =240(种); 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在 10月 7日值班的方案有 =240(种); 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在 10月 1日值班,丁在 10 月 7 日值班的方案有 =48(种). 故符合题设要求的不同安排方案有 1 440-2240+48=1 008(种),故选 C. 答案 C 6.由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成能被 5整除,
4、且无重复数字的不同的五位数有( ) A.(2 )个 B.(2 )个 C.2 个 D.5 个 解析能被 5 整除,则个位需为 5或 0,有 2 个,但其中个位是 5 的含有 0在首位的排法有 个,故共有 (2 )个. 答案 A 7.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共 4节课,如果第一节不排体育,最后一节不 排数学,那么共有不同排法 种. 解析(方法一)若第一节排数学,共有 =6(种)排法; 若第一节不排数学,第一节有 2种排法,最后一节有 2种排法,中间两节任意排,有 222=8(种)排 法. 根据分类加法计数原理,共有 6+8=14(种)排法,故答案为 14. (方法二 间接法)
5、4 节课全部可能的排法有 =24(种),其中体育排第一节的有 =6(种),数学排 最后一节的有 =6(种),体育排第一节且数学排最后一节的有 =2(种),故符合要求的排法有 - 2 =14(种). 答案 14 8.7名班委有 7 种不同的职务,甲、乙、丙三人在 7名班委中,现对 7名班委进行职务具体分工. (1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案? (2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案? 解(1)先排正、副班长,有 种方案,再安排其余职务有 种方案,由分步乘法计数原理,知共有 =720(种)不同的分工方案. (2
6、)7 人中任意分工,有 种不同的分工方案,甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方 案有 种,因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有 =3 600(种). 9.把 1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列. (1)43 251 是这个数列的第几项? (2)这个数列的第 96 项是多少? (3)求这个数列的各项和. 解(1)先考虑大于 43 251 的数,分为以下三类: 第 1类,以 5开头的有 =24(个); 第 2类,以 45 开头的有 =6(个); 第 3类,以 435 开头的有 =2(个). 故不大于 43 251
7、的五位数有 -( )=88(个),即 43 251是第 88 项. (2)数列共有 =120(项),96 项以后还有 120-96=24(项),即比 96 项所表示的五位数大的五位数有 24 个,所以小于以 5 开头的五位数中最大的一个就是该数列的第 96 项,即为 45 321. (3)因为 1,2,3,4,5各在万位上时都有 个五位数,所以万位上数字的和为(1+2+3+4+5) 10 000, 同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有 个五位数,所以这个数列的各项和为 (1+2+3+4+5) (1+10+100+1 000+10 000)=152411 111=3 999 960. 能力提
8、升练 1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从 1,2,3,4,5,6 这六个 数字中任取 3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( ) A.120个 B.80 个 C.40 个 D.20 个 解析当十位是 3 时,个位与百位从 1,2 中选,有 种选法; 当十位是 4 时,个位与百位从 1,2,3中选,有 种选法; 当十位是 5 时,个位与百位从 1,2,3,4中选,有 种选法; 当十位是 6 时,个位与百位从 1,2,3,4,5 中选,有 种选法. 故伞数有 =2+6+12+20=40(个). 答案 C 2.(多选)(2020山东临淄英才中学
9、高二期中)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的 是( ) A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有 24 种 B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 54 种 C.甲、乙不相邻的排法种数为 72种 D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有 20 种 解析甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,可将甲、乙捆绑看成一个元素,则不同的排法有 =24(种),故 A正确; 最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 =42(种),故 B不正确; 甲、乙不相邻的排法种数为 =72(种),故 C 正确; 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有 =20(种),故
10、 D 正确. 故选 ACD. 答案 ACD 3.用 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的 6 位数,其中个位数字小于十位数字的六位数共有( ) A.300个 B.464 个 C.600 个 D.720个 解析(方法一)确定最高位有 种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的 5 个数字中取 3个排列, 共有 种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由分步乘法计数原理知,共有 =300(个). (方法二)由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半,故有 =300(个). 答案 A 4.某大楼安装了 5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝
11、中的一种 颜色,且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这 5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁 中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒.如果要实现所有不同的闪烁, 那么需要的时间至少是( ) A.1 205秒 B.1 200秒 C.1 195秒 D.1 190秒 解析由题意每次闪烁共 5秒,所有不同的闪烁为 个,相邻两个闪烁的时间间隔为 5 秒,因此需要的时 间至少是 5 +( -1)5=1 195(秒). 答案 C 5.3个人坐在有 8个座位的一排上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为 . 解析先排好 5个空座位,再让 3个人带着座位插到中
12、间 4个空中去,所以共有 =24(种)坐法. 答案 24 6.(2020 天津高三月考)某老师一天上 3 个班级的课,每班一节,如果一天共 9 节课,且老师不能连上 3 节课(第 5节和第 6节不算连上),那么这位老师一天的课表的所有排法有 种. 解析从 9节课中任意安排 3 节共有 =504(种), 其中前 5节课连排 3节共有 3 =18(种);后 4 节课连排 3 节共有 2 =12(种). 故老师一天课表的所有排法共有 504-18-12=474(种). 答案 474 7.某次文艺晚会上共演出 8 个节目,其中有 2 个唱歌、3个舞蹈、3 个曲艺节目,求分别满足下列条件 的节目编排方法
13、有多少种? (1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台; (2)2 个唱歌节目互不相邻; (3)2 个唱歌节目相邻且 3个舞蹈节目不相邻. 解(1)先排唱歌节目有 种排法,再排其他节目有 种排法,所以共有 =1 440(种)排法. (2)先排 3 个舞蹈节目和 3个曲艺节目,有 种排法,再从其中 7 个空(包括两端)中选 2个排唱歌 节目,有 种插入方法,所以共有 =30 240(种)排法. (3)把 2个相邻的唱歌节目看作一个元素,与 3个曲艺节目排列共有 种排法,再将 3 个舞蹈节目 插入,共有 种插入方法,最后将 2个唱歌节目互换位置,有 种排法,故所求排法共有 =2 880(种)排法.
14、 素养培优练 从数字 0,1,3,5,7 中取出三个不同的数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程 ax2+bx+c=0?其 中有实根的方程有多少个? 解先考虑组成一元二次方程的问题: 首先确定 a,只能从 1,3,5,7中选一个,有 种,然后从余下的 4个数中任选两个作 b,c,有 种, 所以由分步乘法计数原理知,可以组成一元二次方程 =48(个). 方程要有实根,必须满足 =b2-4ac0. 分类讨论如下: 当 c=0时,a,b可在 1,3,5,7中任取两个进行排列,有 个. 当 c0 时,分析根的判别式知,b只能取 5,7.当 b取 5时,a,c只能取 1,3 这两个数,有 种;当 b取 7 时,a,c 可取 1,3 或 1,5这两组数,有 2 种,此时共有( +2 )个. 由分类加法计数原理知,有实根的一元二次方程共有 +2 =18(个).
