1、1 三角函数三角函数 一、任意角的概念与弧度制一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角正角，顺时针旋转为负角负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为360kkZ x轴上角：180kkZ y轴上角： 90180kkZ 3、第一象限角：036090360kkkZ 第二象限角：90360180360kkkZ 第三象限角：180360270360kkkZ 第四象限角：270360360360kkkZ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：036090360kkkZ 锐角：090 小于90的角：90 例题 ： 1下列各角中，与
2、27角终边相同的是（ ） A63 B153 C207 D387 2已知cos0,sin0, 22 且 cos0，则角 为（ ） A第一象限的角 B第二象限的角 C第三象限的角 D第四象限的角 3若角为第二象限角，则角 2 为（ ）象限角 A第一 B第一或第二 C第二 D第一或第三 5、若为第二象限角，那么 2 为第几象限角？ kk22 2 kk 224 2 , 24 , 0 k , 2 3 4 5 , 1 k 所以 2 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad. 7 7、角度与弧度的转化：、角度与弧度的转化：01745. 0 180 1 81573
3、0.57 180 1 8 8、角度与弧度对应表：、角度与弧度对应表： 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 360 弧度 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 2 9 9、弧长与面积计算公式、弧长与面积计算公式 弧长：lR；面积： 2 11 22 SlRR，注意：这里的均为弧度制. 例题：4 5 12 （ ） A70 B75 C80 D85 5300化成弧度制为（ ） A10 3 B 5 6 C 5 3 D 7 3 二、任意角的三角函数二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r ；余弦cos x r ；正切tan y x 其中, x y为角终边上任意点坐标
4、， 22 rxy. 例例 6已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，若(4,3)P是角终边上的一点，则 cos（ ） A 3 5 B 4 5 C 4 3 D 3 4 r y)(x, P 3 7已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，终边与单位圆交于 13 , 22 P ， 则sin（ ） A 3 2 B 1 2 C 3 D 3 2 8已知tan2，则 2 22 1 sin2cos sin2cos （ ） A 3 2 B 5 2 C4 D5 2 2、三角函数值对应表：、三角函数值对应表： 3 3、三角函数在各象限中的符号、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（
5、简记为“全 s t c” ） sin tan cos 第一象限：0, 0.yx sin0,cos0,tan0, 第二象限：0, 0.yx sin0,cos0,tan0, 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 0 1 tan 0 3 3 1 3 无 3 1 3 3 0 无 0 4 第三象限：0, 0.yx sin0,cos0,tan0, 第四象限：0,
6、 0.yx sin0,cos0,tan0, 4 4、同角三角函数基本关系式、同角三角函数基本关系式 22 sincos1 sin tantancot1 cos cossin21)cos(sin 2 cossin21)cos(sin 2 (cossin，cossin，cossin，三式之间可以互相表示，三式之间可以互相表示) 5.5.诱导公式诱导公式 口诀： 奇变偶不变口诀： 奇变偶不变, ,符号看象限符号看象限(所谓奇偶指的是 2 n 中整数n的奇偶性， 把看作锐角) 2 1 2 ( 1) sin, sin() 2 ( 1)s , n n n n con 为偶数 为奇数 ； 2 1 2 ( 1
7、)s , s() 2 ( 1)sin, n n con n co n 为偶数 为奇数 . . .公式（一） ：与2,kkZ sin)2sin( k；cos)2cos( k；tan)2tan( k .公式（二） ：与 sinsin ；coscos；tantan .公式（三） ：与 sinsin；coscos；tantan .公式（四） ：与 sinsin；coscos；tantan .公式（五） ：与 2 sincos 2 ；cossin 2 ； .公式（六） ：与 2 sincos 2 ；cossin 2 ； 5 .公式（七） ：与 3 2 3 sincos 2 ； 3 cossin 2 ；
8、.公式（八） ：与 3 2 3 sincos 2 ； 3 cossin 2 ； 例题：9已知为第三象限角，且 2 5 sin 5 ，则cos（ ） A 5 5 B 5 5 C 2 5 5 D 2 5 5 10在0,2上满足 1 sin 2 x 的x的取值范围是（ ） A0 6 , B 5 , 66 C 2 , 63 D 5 , 6 11若 3 sin 3 ， 2 a ，则sin 2 （ ） A 6 3 B 1 2 C 1 2 D 6 3 12已知 1 cos 2 ，0,，则（ ）. A 6 B 5 6 C 3 D 2 3 13sin330等于（ ） A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3
9、2 14sin 3 的值是（ ） A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 15若是第三象限角，则点 tan 3,cos在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 16 2 sin 3 （ ） A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 17sin210的值为（ ） A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 三、三、三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 6 5 5、三角函数的图像与性质表格、三角函数的图像与性质表格 sinyx cosyx tanyx 图 像 定 义 域 R R , 2 x xkkZ 值 域 1,1 1,1 R 最 值 当2 2 xk kZ时，
10、 max 1y； 当2 2 xk kZ时， min 1y 当2xkkZ时， max 1y；当2xk kZ时， min 1y 既无最大值也无最小值 周 期 性 2 2 奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在2,2 22 kk kZ上是增函数； 在 3 2,2 22 kk kZ上是减函数 在2,2kkkZ 上是增函数； 在2,2kkkZ 上是减函数 在, 22 kk kZ上是增函数 对 称 性 对称中心,0kkZ 对称轴 2 xkkZ 对称中心 ,0 2 kkZ 对称中心,0 2 k kZ 无对称轴 函 数 性 质 7 对称轴xkkZ 21已知函数 sin 0 22 f xx 的图象过
11、点 3 0, 2 ，则 f x图象的一 个对称中心为（ ） A 1 ,0 3 B1,0 C 4 ,0 3 D2,0 22已知函数 sin 0 4 f xx 的最小正周期为，则 8 f （ ） A1 B 1 2 C1 D 1 2 23函数 sin2yx 的图象的一条对称轴的方程是（ ） A 2 x B 4 x C 8 x D 5 8 x 24若，为锐角，且 2 cos()sin() 63 ，则（ ） A 3 B 6 C 3 D 6 25函数 3cos1 ( ) x f x x 的部分图象大致是（ ） A B C D 26函数 cos(),0,2 yx x 的简图是（ ） A B C D 27函数
12、 2 cos 53 yx 的最小正周期是（ ） A 5 B 5 2 C2 D5 28已知0,x，则满足 1 cos 2 x 的x的取值范围是（ ） 8 A 2 , 33 B 2 0, 33 C 5 0, 6 D 2 0, 3 29函数3cos 2 8 yx 的一个对称中心是（ ） A ,0 8 B 5 ,0 16 C 3 ,0 8 D 7 ,0 16 1、将函数sinyx的图象上所有的点，向左（右）平移个单位长度，得到函数 sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到 原来的 1 倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx 的图象上所有点的纵坐
13、标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变） ，得到函数 sinyAx的图象。 2、函数函数sin0,0yAxA的性质：的性质： 振幅：A；周期： 2 T ；频率： 1 2 f T ；相位：x；初相：。 3 3、周期函数：一般地，对于函数 f x，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一 个x值， 都满足 f x Tf x， 那么函数 f x就叫做周期函数，T叫做叫做该函数的周期该函数的周期. . 4 4、)sin(xAy 对称轴：令 2 xk ，得 2 k x 对称中心：kx，得 k x，)(0 ,(Zk k ； )cos(xAy 对称轴：令 kx，得 k x； 对称中心： 2 kx，得 2
14、k x，)(0 , 2 (Zk k ； 周期公式周期公式: : 函数sin()yAx及cos()yAx的周期 2 T (A、为常数，且 A 9 0). 函数xAytan的周期 T (A、为常数，且 A0). 6. 五点法作五点法作)sin(xAy的简图的简图，设 xt，取 0、 2 、 2 3 、2来求相 应x的值以及对应的 y 值再描点作图。 7. )sin(xAy 的的图像 例题：30要得到函数sin 2 3 yx 的图象，只需将函数sin2yx的图象（ ） A向左平移 3 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度 D向右平移 6 个单位长度 31要得到函数 y=
15、1+sin x的图象，只需将函数 y=sin x 的图象（ ） A向上平移 1 个单位长度 B向下平移 1 个单位长度 C向右平移 1 个单位长度 D向左平移 1个单位长度 32要得到函数sin 2 2 yx 的图象，只要将函数sin2yx的图象（ ） A向右平移 2 个单位长度 B向左平移 2 个单位长度 C向右平移 4 个单位长度 D向左平移 4 个单位长度 33为了得到函数sin(2) 6 yx 的图象，只需把函数sin2yx的图象 10 A向左平移 6 个长度单位 B向右平移 6 个长度单位 C向右平移 12 个长度单位 D向左平移 12 个长度单位 34如图是周期为的函数()cos0
16、,0yx 的部分图象，则=（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 35如图是函数( ) sin()(0,0,0)f xAxA 的部分图象，则 6 f （ ） A 1 2 B1 C 3 2 D 1 2 36若函数( ) sin()0,0 2 f xx 的部分图象如图所示，直线 6 x 是它 的一条对称轴，则 4 f （ ） A 3 2 B 1 2 C 3 2 D 1 2 37已知函数 sinf xx(0， 2 ) 的部分图象如图所示，则（ ） A2， 6 B 1 2 ， 6 11 C2， 3 D 1 2 ， 3 参考答案参考答案 1D 【解析】 【分析】 写出与27终边相同角的集合，取
17、k 值得答案. 【详解】 与27角终边相同的角的集合为27360 ,kkZ ， 取1k ，可得387. 与27角终边相同的是387. 故选：D 【点睛】 本小题主要考查终边相同的角，属于基础题. 2B 【解析】 【分析】 由cos0 2 ，sin0 2 ，可得2434kk，kZ，结合cos0得答 案 【详解】 由cos0 2 ，sin0 2 ，可得 3 22 22 kk ， 2434kk，kZ 又cos0， 角为第二象限的角 故选：B 【点睛】 本题考查三角函数的象限符号，是基础题 12 3D 【解析】 【分析】 根据的范围，求出 2 的范围即可. 【详解】 因为角为第二象限角， 所以22,
18、2 kxkkZ ， 所以, 422 x kkkZ ， 当2knnZ时，22, 422 x nnnZ ，此时 2 是第一象限角； 当21knnZ时， 53 22, 422 x nnnZ ，此时 2 是第三象限角； 所以 2 是第一或第三象限角， 故选：D 【点睛】 本题主要考查了象限角的范围，属于基础题. 4B 【解析】 【分析】 利用 180 1rad ，进行转化求解. 【详解】 因为 180 1rad ， 故 5 12 5180 75 12 . 故选：B. 【点睛】 本题考查弧度转化角度，公式为： 180 1rad . 13 5C 【解析】 【分析】 利用180 弧度计算可得结果. 【详解】
19、 180 弧度， 5 300300 1803 ， 故选：C. 【点睛】 本题考查了角度数化弧度数，属于基础题. 6B 【解析】 【分析】 由P的坐标求得| |OP，再由任意角的三角函数的定义得答案. 【详解】 由(4,3)P，得 22 435OP ， 又角终边经过(4,3)P， 4 cos 5 . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，是基础题. 7D 【解析】 【分析】 根据正弦函数的定义求解 【详解】 由三角函数的定义， 3 sin 2 y . 14 故选：D. 【点睛】 本题考查正弦函数的定义，属于简单题 8D 【解析】 【分析】 巧用“1”，化弦为切，由已知可得解.
20、 【详解】 222 2222 1 sin2cossin2sincos2cos sin2cossin2cos 2 2 tan2tan2 5 tan2 故选:D 【点睛】 本题关键在于化弦为切，属于基础题. 9B 【解析】 【分析】 利用同角三角函数的平方关系 22 sincos1，计算可得结果 【详解】 Q 为第三象限角， cos0， 22 sincos1， 2 2 2 55 cos1 sin1 55 ， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题. 10B 15 【解析】 【分析】 利用单位圆，画出正弦线解三角不等式 【详解】 如图， 5 0,2 66 . 故选：B
21、【点睛】 本题考查了利用正弦线解三角不等式，属于容易题. 11A 【解析】 【分析】 由三角函数的诱导公式可得sincos 2 ，结合同角三角函数的平方关系及角所在 的象限可得： 2 cos1 sin ，然后求解即可得解. 【详解】 解：因为sincos 2 ， 又 3 sin 3 ， 2 a ， 所以 22 36 cos1sin1() 33 ， 16 故sin 2 6 3 ， 故选：A. 【点睛】 本题考查了同角三角函数的平方关系及诱导公式，属基础题. 12D 【解析】 【分析】 利用特殊角的三角函数值即可求出. 【详解】 因为 1 cos 2 ，且0,， 21 cos 32 ，所以 2 3
22、 . 故选：D 【点睛】 本题主要考查了特殊角的三角函数值，属于基础题. 13B 【解析】 00000 1 sin330sin(36030 )sin( 30 )sin30 2 故选 B 14D 【解析】 【分析】 由条件利用诱导公式进行化简求值，或利用三角函数线求值. 【详解】 由正弦函数的定义及诱导公式可知： 3 sinsin 332 ， 故选：D. 【点睛】 本题考查三角函数求值问题，属于简单题.一般地三角函数求函数值问题遵循“大化小、负 17 化正、钝化锐”，然后进行求值. 15B 【解析】 【分析】 根据诱导公式及的象限可判断坐标正负. 【详解】 因为是第三象限角，所以tan 3tan
23、 0，coscos0， 所以点(tan(3),cos()在第二象限. 故选：B. 【点睛】 本题考查三角函数的诱导公式，考查逻辑推理的核心素养. 16C 【解析】 【分析】 利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】 23 sinsincos 32662 . 故选：C 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值以及诱导公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 17B 【解析】 由诱导公式可得 1 sin21030 2 sin ，故选 B. 18C 【解析】 【分析】 根据正弦函数的值域求解. 【详解】 18 当sinx等于1时，1 sinyx 有最大值2. 故选：C. 【点睛】 本
24、题考查正弦函数的最值，属于简单题. 19A 【解析】 【分析】 将 sinyx 向右平移 3 个单位即可得到 sin 3 f xx ，利用图象法即可得到答案. 【详解】 sinyx 在 , 2 2 上单调递增，将 sinyx 向右平移 3 个单位即可得到 sin 3 f xx ，故 ( )f x的单调递增区间为, 6 2 ， , 6 3 是, 6 2 的子集，所以 A 正确. 故选：A. 【点睛】 本题考查正弦型函数的单调区间问题，本题可以直接利用平移得到，是一道基础题. 20C 【解析】 【分析】 根据诱导公式，化简不等式为 3 sin 2 x ，结合正弦函数图像，即可求解. 【详解】 由
25、33 cossin 222 xx ，又 0,2 x ， 所以 43 sin 32 ， 53 sin 32 19 再结合正弦函数图像，可得 x范围为 45 0,2 33 . 故选:C 【点睛】 本题考查了诱导公式，以及利用正弦函数的图象解不等式，属于中档题 21C 【解析】 【分析】 将 3 0, 2 代入函数可得 3 ，则 sin 23 f xx ，令 23 xkk Z即可 求得对称中心. 【详解】 由题知 3 0sin 2 f，又 0 2 ， 所以 3 ，则 sin 23 f xx ， 令 23 xkk Z，则 2 2 3 xkkZ， 当1k 时， 4 3 x ， 即 4 ,0 3 为 f
26、x图象的一个对称中心， 可验证其他选项不正确. 故选：C. 【点睛】 本题考查了三角函数的性质，考查了求三角函数的对称中心，计算量不大，属于基础题. 22A 【解析】 【分析】 根据 ( )f x的周期公式及条件，可求出的值，代入数据，即可得答案. 【详解】 20 函数 sin0 4 f xx 的最小正周期为， 周期 2 T ，解得2，即 sin 2 4 f xx ， sin 2sinsin1 884442 f ， 故选：A. 23B 【解析】 【分析】 根据正弦函数的对称性即可得到结论 【详解】 解：由2 2 xk ，得 24 k x ，kZ， 当0k 时， 4 x ， 故 4 x 是函数的
27、一条对称轴. 故选：B 【点睛】 本题主要考查正弦函数的对称性，由正弦函数的图象和性质是解决本题的关键 24C 【解析】 【分析】 化简已知得cos()=cos(+ ) 66 ，再通过分析角的范围结合余弦函数的图象即得解. 【详解】 因为 2 cos()sin() 63 ， 所以cos()sin(+ )=cos(+ ) 6266 ， 因为0,0 22 ， 所以 2 , 366 663 ， 21 所以(), 663 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换和余弦函数的图象的应用， 意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平. 25A 【解析】 【分析】 根据函数解析式知： f x为奇函数且0
28、, 2 x 上恒正，即可得正确选项. 【详解】 3cos() 13cos1 ()( ) xx fxf x xx ，故 f x为奇函数， 当0, 2 x 时，( )0f x ，又( )0f ， 故选：A 【点睛】 本题考查了根据函数解析式识别函数图象，属于简单题. 26B 【解析】 【分析】 由 cos（x）cosx及余弦函数的图象即可得解 【详解】 由cos()cosyxx知，其图象和 cosyx 的图象相同， 故选 B 【点睛】 本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于基础题 27D 【解析】 22 【分析】 利用函数的周期公式，即可求解，得到答案 【详解】 由题意，函数 2 cos() 5
29、3 yx ，所以函数的最小正周期是： 2 5 2 5 T . 故选：D 【点睛】 本题主要考查了三角函数的周期的求法， 其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关 键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题 28D 【解析】 【分析】 由余弦函数的单调性可求. 【详解】 由 1 cos 2 x ，0,x，得 2 3 x ，又函数 cosyx 在0,上单调递减， 不等式 1 cos 2 x 等价于 2 coscos 3 x ， 所以 2 0 3 x ，故x的取值范围是 2 0, 3 故选 D 【点睛】 本题考查余弦函数的单调性的应用，属于基础题. 29B 【解析】 【分析】 计算余弦型函数的对称
30、中心，然后直接进行判断即可. 【详解】 令2, 82 xkkZ，则 5 , 162 k xkZ 23 所以函数3cos 2 8 yx 的对称中心为 5 ,0 , 162 k kZ 令0k ，所以函数3cos 2 8 yx 的一个对称中心是 5 ,0 16 故选：B 【点睛】 本题考查余弦型函数的对称中心，属基础题. 30C 【解析】 【分析】 利用函数sinyAx的图象变换规律，可得结论. 【详解】 将函数sin2yx的图象向左平移 6 个单位长度，可得sin 2 6 yx ，即 sin 2sin 2 63 yxx 的图象. 故选：C. 【点睛】 本题考查正弦型函数图象变换，属于基础题. 31
31、A 【解析】 【分析】 由函数图象平移原则即可知如何平移 y=sin x 的图象得到 y=1+sin x的图象. 【详解】 根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数 y=sin x 的图象向上平移 1 个单位可得 y=1+sin x 的图象，故选：A. 【点睛】 本题考查了由平移前后的函数解析式描述图象变换过程，属于简单题. 32D 24 【解析】 【分析】 由题意利用函数sinyAx的图象变换规律，得出结论. 【详解】 解：只要将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位长度， 即可得到函数sin 2 2 yx 的图象， 故选：D. 【点睛】 此题考查函数sinyAx的图象变换，属于基础题
32、33D 【解析】 本试题主要是考查了三角函数的图像的变换的运用 因为为了得到函数sin(2) 6 yx 的图象， 只需把函数sin2yx的图象向左平移 12 个长 度单位sin2() 12 yx 可以推出sin(2) 6 yx 得到结论，选 D. 解决该试题的关键是理解平移是对 x 而言的，因此要平移时，将 x 前面的系数提取出去，对 x 本身加减一个数得到 34A 【解析】 【分析】 由周期为可求出2，而图像过了点,0 6 代入可求出的值 【详解】 由周期 2 T ，得 2. 由五点对应法得 2 62 ，得 6 ， 故选：A. 25 【点睛】 此题考查由正弦函数图像求解析式，考查五点法的应用
33、，属于基础题 35B 【解析】 【分析】 根据三角函数的图像求出解析式 ( )2cos2f xx ，将 6 x 代入解析式即可求解. 【详解】 解析：由图可知2A.最小正周期 2 T ，2， 又由2sin 22 22 f ，得 2 ， ( )2sin 22cos2 2 f xxx ， 即2cos1 63 f . 故选：B 【点睛】 本题考查了由三角函数的图像求解析式、求特殊角的三角函数值，属于基础题. 36C 【解析】 【分析】 结合函数的图象与已知条件,求出函数的周期,确定 , 得到函数的解析式，即可求出答案. 【详解】 解：结合图像可知，当 6 x ，此时函数取到最大值 1， 故 5 41
34、264 T ，T， 由 2 得 2， 又“五点法”得 5 2 12 ，得 6 ， 所以( )sin 2 6 f xx ， 26 sin 2 446 f 3 sincos 2662 ， 故选 C 【点晴】 利用对称轴结合图象求出周期是本题的关键,考查计算能力,属于基础题. 37A 【解析】 【分析】 先根据函数图象得到周期求出2，然后带特殊点求值即可. 【详解】 解:由题图可知函数的周期 13 1212 T ，则2， 则 sin 2f xx， 将 12 x 代入解析式中得 3 sin 2 12122 f ， 则2 63 k ，kZ或 2 2 63 k ，kZ， 解得2 6 k ，kZ或2 2 k ，kZ， 因为 2 ，则 6 . 故选:A 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质求函数解析式，考查数形结合思想，是基础题.
