1、正弦余弦函数综合测试题正弦余弦函数综合测试题 一、单选题一、单选题 1函数( )3sin2cos2f xxx 图象的一条对称轴方程是（ ） A 12 x B 3 x C 5 12 x D 2 3 x 2函数 f(x)= 1 2 x+sin x 的图像大致是（ ） A B C D 3函数 sincos1yxxx在区间, 上的图象大致为（ ） A B 试卷第 2 页，总 5 页 C D 4 3 sin 8 ， 3 cos 8 ， 3 8 的大小关系是（ ） A 333 sincos 888 B 333 sincos 888 C 333 cossin 888 D 333 cossin 888 5关于
2、函数 f x4sin 2xxR 3 有如下命题，其中正确的个数有( ) yf x的表达式可改写为 f x4cos 2xxR 6 yf x是以2为最小正周期的周期函数； yf x 的图象关于点 ,0 6 对称； yf x的图象关于直线 x 3 对称 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 6函数 sin 2 sin,0,2f xxx x的图象与直线yk有且仅有两个不同的交 点，则 k的取值范围是（ ） A0,1 B0,3 C1,3 D0,2 7设， 0,，且，则下列不等关系中一定成立的是（ ） Asin sin Bsinsin Ccoscos Dcoscos 8若函数3 (2)ycosx的图像关
3、于点 4 (,0) 3 中心对称，则的最小值为（ ） A 3 B 4 C 6 D 2 9函数2cos1yx的定义域是( ) A2 ,2() 66 kkkZ B 2 2,2() 33 kkkZ C 22 2,2() 33 kkkZ D2,2() 33 kkkZ 10已知函数 3cos2 0, 2 f xx ，其图象与直线5y 相邻两 个交点的距离为 2 ，若, 12 16 x ， 2f x 恒成立，则的取值范围是（ ） A , 6 4 B, 46 C, 3 6 D0, 4 11已知函数( ) cos()(0f xx ，0)剟是奇函数，且在, 34 上单调 递减.则的最大值是（ ） A 1 2 B
4、 2 3 C 3 2 D2 12已知0， 2 ，在函数 sinf xx， cosg xx的图象的 交点中， 相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 2 ， 当, 6 4 x 时， 函数 f x的 图象恒在 x 轴的上方，则的取值范围是（ ） A , 6 3 B, 6 3 C , 3 2 D, 3 2 二、填空题二、填空题 13已知曲线 sin 6 yx 关于直线1x 对称，则的最小值为_. 试卷第 4 页，总 5 页 14若 2 4cos30 x ，则函数 sinyx 的值域是_ 15已知 1 4 ，函数 sin 4 f xx 在区间,2上单调. 1 ,1 4 ； f x在区间,2上单调递减； f
5、 x在区间0,上有零点； f x在区间0,上的最大值一定为 1. 以上四个结论，其中正确结论的编号是_. 16 已知函数 f x是定义域在R上的偶函数， 且 11f xf x， 当0 , 1x时， 3 f xx，则关于x的方程 cosf xx在 1 5 , 2 2 上所有实数解之和为_. 三、解答题三、解答题 17已知函数 3 ( )sin(2) 4 f xx （1）求() 8 f 的值； （2）求该函数的单调递增区间； （3）用“五点法”作出该函数一个周期的图像. 18函数 2sin 2 6 f xx . （1）求函数 f x的单调递增区间和最小正周期； （2）请用“五点法”画出函数 f x
6、在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的 表格中填上所需的数值，再画图） ； x 2 6 x 0 y （3）求函数 f x在 2 , 12 3 上的最大值和最小值，并指出相应的x的值. 19已知函数( ) cos 2 3 f xx . （1）求函数( )yf x的对称轴方程； （2）求函数 ( )f x在区间, 12 2 上的最大值和最小值. 20已知函数( ) 2cos 4 4 f xx . (1)求函数 ( )f x的最大值以及相应的 x 的取值集合； (2)若直线x m 是函数 ( )f x的图像的对称轴，求实数 m 的值. 21已知函数 cos 6 fxx （03）的零点为 6 x
7、 . （1）求函数 f x的最小正周期； （2）求函数 f x在,0上的单调递减区间. 22设函数( )sin(2 ),(0),( )f xxyf x图像的一条对称轴是直线 8 x . （1）求； （2）求函数( )yf x的单调递增区间; （3）画出函数( )yf x在区间0,上的图像. 答案第 1 页，总 16 页 参考答案参考答案 1D 【分析】 利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】 解：( )3sin2cos2f xxx 31 2sin2cos2 22 xx 2sin 2 6 x 所以( )2sin 2 6 f xx 令2, 62 xkkZ ，解得, 62
8、 k xkZ 令1k 则 2 3 x 故函数的一条对称轴为 2 3 x 故选：D 2A 【分析】 判断出函数的奇偶性排除 BD；再利用特殊值排除 C. 【详解】 函数 ( )f x 2 x sinx，()sin( ) 2 x fxxf x ，所以( )f x为奇函数，图象关于原点 对称，排除 BD； 当 2 x 时，()sin10 2424 f ，排除 C. 故选：A. 3C 【分析】 先求出函数的奇偶性，可判断 AB错误；再取特殊值可判断 D错误. 答案第 2 页，总 16 页 【详解】 因为( )sincos1f xxxx，则sincos1( )fxxxxf x ， 即 ( )f x为偶函
9、数，其函数图象关于y轴对称，据此可知选项 AB错误； 且当x时，sincos120y ，据此可知选项 D错误. 故选：C. 【点睛】 思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置 (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4D 【分析】 首先利用诱导公式将 3 cos 8 化为sin 8 ，由正弦函数的单调性可与 3 sin 8 比较大小，接下 来根据 3 1 8 ，而三角函数值小于 1做进一步的判断，据此可得出答案. 【详解】 由诱
10、导公式得 33 cossinsin 8288 ，且 sinyx 在0, 2 上是单调递增函数， 因为 3 2848 ，所以 33 1sinsincos 888 ， 因为 3 1 8 ，所以 333 cossin 888 . 故选：D. 5C 【分析】 利用诱导公式变形判断；由正弦函数的周期公式判断；求得 f 6 的值可判断； 求得 f 3 的值可判断 【详解】 答案第 3 页，总 16 页 f x4sin 2x4cos2x4cos 2x 3236 ，正确； f x的最小正周期 2 T 2 ，错误； f4sin0 633 ，则 yf x的图象关于点 ,0 6 对称，正确； 由 2 f4sin0
11、333 不为最值，错误 其中正确的个数为 2故选 C 【点睛】 本题考查命题的真假判断与应用，考查诱导公式，yAsin x型函数的图象和性质， 属基础题 6C 【分析】 先分类讨论去绝对值号，得出函数 f x的解析式，然后画出函数 f x与yk的图象进 行判断. 【详解】 3sin ,0 sin2 sin sin ,2 xx f xxx xx ， 如图所示， 要使 sin2 sin,0,2f xxx x的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则 只需13k. 故选：C. 答案第 4 页，总 16 页 【点睛】 本题考查根据函数图象的交点个数求参数的取值范围，较简单，画出函数的图象是关键. 7C
12、 【分析】 根据正弦函数以及余弦函数在0,上的单调性求解即可. 【详解】 因为，0,，且， 而 sinyx 在0,上有增有减；故sin与sin大小关系不确定， cosyx 在0,上单调递减；若，则coscos成立； 故选：C 【点睛】 本题主要考查了利用正余弦函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题. 8C 【分析】 根据函数3(2)ycosx的图像关于点 4 (,0) 3 中心对称，由 8 cos()0 3 求出的 表达式即可. 【详解】 因为函数3(2)ycosx的图像关于点 4 (,0) 3 中心对称， 所以 8 cos()0 3 ， 所以 8 32 k ， 解得 13 , 6 kkZ
13、， 所以 min 6 故选：C 【点睛】 本题主要考查余弦函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 答案第 5 页，总 16 页 9C 【分析】 根据偶次方根的被开方数大于等于零得到不等式，再根据余弦函数的性质计算可得； 【详解】 解：因为2cos1yx 所以2cos1 0 x 得 1 cos 2 x， 22 22 33 kxk 剟，kZ 故选：C 【点睛】 本题考查函数的定义域，三角不等式（利用三角函数的性质）的解法，属于基础题 10A 【分析】 由 5是函数的最大值，结合已知可得周期，从而得值，再由不等式恒成立得的范围 【详解】 由题意 ( )f x的最大值是 5，所以由( )f
14、 x的图象与直线5y 相邻两个交点的距离为 2 知 2 T ， 2 4 2 即( )3cos(4)2f xx， ( )2f x 即cos(4)0 x， , 12 16 x 时，4, 34 x ， 因为 2 ，所以 36 ， 44 ， 所以 32 42 ，解得 64 故选：A 【点睛】 关键点点睛： 本题考查三角函数的性质， 解题时能确定具体数值的先确定具体值， 如4， 而的求法有两种： （1）由x的范围，求出4x的范围，并根据的范围得出 3 和 4 的范围，然后 答案第 6 页，总 16 页 根据余弦函数性质得出不等关系 （2）先利用余弦函数性质，求出( )2f x 时，x的范围，再由已知区间
15、, 12 16 是这个 范围的子集，得出结论 11C 【分析】 直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值. 【详解】 解：( )f x是奇函数， (0)cos0f，且0 剟， 2 ， ( )cos() 2 f xx ， 令：22 2 kxk 剟，()kZ， 解得： 22 22 kk x 剟，()kZ， 由于函数在, 34 上单调递减， 故： 2 23 2 42 k k ， 当0k 时， 整理得： 3 2 2 ， 故： 3 2 ，可得的最大值为 3 2 . 故选：C. 【点睛】 本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学 生的运算能力和转
16、化能力，属于基础题型. 答案第 7 页，总 16 页 12D 【分析】 由 f xg x得sincosxx，所以tan1x，可求得 4 k xkZ ，再利用，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 2 ，可得 2 x ，即可得2，再利用正弦函数图象的特点，可得 0 3 2 ，即可求出 的取值范围. 【详解】 由 f xg x得sincosxx，所以tan1x， 可得： 4 xkkZ ，所以 因为相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 2 x ， 所以2， 所以 sin 2f xx， 当, 6 4 x 时，2 32 x ， 要满足函数 f x的图象恒在 x轴的上方，需满足方程 0 3 2 ，解得 32
17、， 故选：D 【点睛】 本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题. 13 3 【分析】 由题意可得出的表达式，由此可求得的最小值. 【详解】 答案第 8 页，总 16 页 因为曲线 sin 6 yx 关于直线1x 对称，所以 62 kkZ ， 所以() 3 kkZ ，当0k 时，取最小值为 3 . 故答案为： 3 . 【点睛】 本题考查利用正弦型函数的对称性求参数的最值，考查计算能力，属于中等题. 14 1 1 , 2 2 【分析】 根据 22 sincos1xx，将不等式转化为关于sinx的不等式，解出不等式即可得到 sinyx 的值域 【详解】 2 4cos30 x， 2 4 1 si
18、n30 x，即 2 1 sin 4 x ， 11 sin 22 x，即函数 sinyx 的值域是 1 1 , 2 2 . 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系，一元二次不等式的解法，属于基础题 15 【分析】 根据题意可得2T，从而可得 2 1 T ，且 2 2442 kkkZ ， 然后利用三角函数的性质逐一排除即可 求解. 【详解】 首先，因为函数 f x在区间,2上单调，显然2T，故 2 1 T ， 其次，还应满足2 2442 kkkZ ， 解得 31 482 k kkZ，因为 1 1 4 ， 答案第 9 页，总 16 页 故唯有1k ，故 15 48 ，故错； 且因为1k ，所以 f
19、 x在区间,2上单调递减，故对； 当0,x时，, 444 x . 15 48 ， 7 248 ， 所以0,x时， f x在区间0,上没有零点，故错； 由可知 f x在区间0,上的最大值一定为 1，故对.综上，正确的是. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了三角函数的性质，需熟记三角函数的周期公式、单调区间，属于中档题. 167 【分析】 判断出 f x的奇偶性和周期性，画出 f x和cosyx在1,3上的图象，根据对称 性求得所求. 【详解】 依题意 f x是定义在R上的偶函数，由于11f xf x， 所以 f x是周期为2的周期函数.由于函数 cosyx 的最小正周期为 2 2 ， 所以cos
20、yx的最小正周期为1，且coscosxx，所以函数cosyx为 偶函数. 画出 f x和cosyx在1,3上的图象如下图所示（画 f x两个周期的图象，不影 响后续分析） ， 由图可知，在区间 1 5 , 2 2 上，两个函数图象的交点共7个，其中6个两两分别关于直线 1x 对称， 有一个是1,1，所以关于x的方程 cosf xx在 1 5 , 2 2 上所有实数解之和为 答案第 10 页，总 16 页 3 2 17 . 故答案为：7 【点睛】 本小题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，属于中档题. 17 （1）()1 8 f ； （2） 5 , 88 kkkZ ； （3）作图见解析. 【分
21、析】 （1）直接代入求值； （2）解不等式 3 222 242 kxk 得单调增区间； （3）先 列表描点再画图即可 【详解】 解： （1）()sin()1 82 f （2）当 3 222 242 kxk 时，( )f x单调递增 解得： 5 , 88 kxkkZ 答案第 11 页，总 16 页 故 ( )f x的单调递增区间为： 5 , 88 kkkZ （3）先列表 x 0 8 3 8 5 8 7 8 3 2 4 x - 3 4 - 2 0 2 5 4 ( )f x 2 2 -1 0 1 0 2 2 图像如图 18 （1）单调递增区间是 ,k 63 k ，kZ；最小正周期； （2）填表见解析
22、； 作图见解析； （3） 最大值为 2，最小值为1， 2 3 x 时 f x取得最小值， 3 x 时 f x取 得最大值. 【分析】 （1）根据正弦函数的图象与性质求出函数 f x的单调递增区间和最小正周期； （2）列表，描点、连线，画出函数 f x在长度为一个周期的闭区间上的简图； （3）求出 2 , 123 x 时函数 f x的最大值和最小值，以及对应x的值. 答案第 12 页，总 16 页 【详解】 解： （1）函数 2sin 2 6 f xx ， 令 2 22 262 kxk，kZ； 解得 2 2 22 33 kxk，kZ； 即 63 kxk，kZ； 所以函数 f x的单调递增区间是
23、,k 63 k ，kZ； 最小正周期 2 2 T ； （2）填写表格如下； x 12 3 7 12 5 6 13 12 4 3 2 6 x 0 2 3 2 2 5 2 y 0 2 0 2 0 2 用“五点法”画出函数 f x在长度为一个周期的闭区间上的简图为； （3） 2 , 123 x 时， 7 20. 66 x ， 1 sin 2,1 62 x ， 所以函数 2sin 2 6 f xx 在 2 , 12 3 上取得最大值为 2，最小值为1， 答案第 13 页，总 16 页 且 2 3 x 时 f x取得最小值， 3 x 时 f x取得最大值. 【点睛】 本题考查正弦型函数的性质以及“五点法
24、”作图， 本题要掌握基础函数的性质以及整体法的 应用，同时熟悉“五点法”作图，考查分析能力以及作图能力，属中档题. 19 （1） 26 k x ，kZ； （2）最小值为1，最大值为 3 2 . 【分析】 （1）直接利用余弦型函数的性质和整体思想求出函数的对称轴方程 （2）利用整体思想，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，再求出函数的最值 【详解】 解： （1）由2 3 xk 得 26 k x ，即函数的对称轴方程为 26 k x ，kZ， （2） 当 1 22 x 时，2 6 x ， 4 2 633 x ， 所以 3 1cos 2 32 x 所以当2 3 x ，即 3 x 时，函数( )f
25、x取得最小值，最小值为( )cos1f x ， 当2 36 x ，即 12 x 时，函数( )f x取得最大值，最大值为 3 ( )cos 62 f x . 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 20 （1） ( )f x的最大值为 2，x的取值集合为|() 162 k x xk Z（2） () 416 k mk Z 【分析】 （1）根据余弦函数的性质可得 ( )f x的最大值和相应的x的取值集合； （2）求解函数的对称轴，可得 m的值 【详解】 解(1)( )2cos 4 4 f xx ， 答案第
26、 14 页，总 16 页 ( )f x的最大值为 2，此时42, 4 xkk Z， 所求 x的取值集合为|() 162 k x xk Z. (2)令4 () 4 xkk Z，则() 416 k xk Z. 直线x m 是函数 ( )f x的图像的对称轴， () 416 k mk Z. 【点睛】 本题考查三角函数的图象及性质的应用以及计算能力属于基础题 21 （1）； （2） 7 , 12 ，,0 12 . 【分析】 （1）根据 cos 6 fxx （03）的零点为 6 x ，由 cos0 666 f 求解. （2）由 cos 2 6 f xx ，利用余弦函数的单调性结合,0 x 求解， 【详解
27、】 （1）因为 cos 6 fxx （03）的零点为 6 x ， 所以cos0 666 f ， 则 662 k （kZ） ，得62k（kZ）. 又03，所以2. 故函数 f x的最小正周期 2 2 T . 答案第 15 页，总 16 页 （2）由（1）知 cos 2 6 f xx ， 令222 6 kxk （kZ） ， 得 1212 kxk （kZ）. 因为,0 x ， 所以 7 , 12 x 或,0 12 x . 故函数 f x在,0上的单调递减区间为 7 , 12 ，,0 12 . 【点睛】 本题主要考查余弦函数的正确和单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22 （1） 3 4 ；
28、 （2） 5 , 88 kkkZ ； （3）答案见解析. 【分析】 （1）由正弦函数的对数轴求出； （2）根据正弦函数性质求得增区间； （3）列表描点连线可得图象注意五点法中的特殊点和区间的端点 【详解】 解： （1） 8 x 是函数( )yf x的一条对称轴， sin 21 8 ，即, 42 kkZ 0， 3 4 （2）由（1）知 3 sin 2 4 yx 由题意得 3 222, 242 kxkkZ 5 2, 88 kxkkZ 答案第 16 页，总 16 页 所以函数 3 sin 2 4 yx 的单调递增区间为 5 , 88 kkkZ （3）由 3 sin 2 4 yx 可知 3 2 4 x 3 4 2 0 2 5 4 x 0 8 3 8 5 8 7 8 y 2 2 1 0 1 0 2 2 故函数 3 sin 2 4 yx 在区间0,上的图像为： 【点睛】 本题考查三角函数的对称性， 单调性， 考查用列表描点法作正弦型函数的图象 属于基础题
