1、姓名_ 座位号_ （在此卷上答题无效） 2021 年六安市省示范高中高三教学质量检测年六安市省示范高中高三教学质量检测 文科数学试题文科数学试题 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、座位号等填写在答题卡和答题卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用 橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
2、分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。要求的。 1已知复数1zi （i 为虚数单位） ，则一在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合ln 1Ax yx， 2 Bx yx，则AB（ ） A0,1 B0,1 C0,1 D0,1 3设 1 2021 2020a ， 2000 log2021b ， 2021 1 log 2020 c 则（ ） Aacb Bbca Cbac Dabc 4已知命题 2 :20p xx，:24 x q，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知函数
3、yf x的部分图象如图所示，则 f x的解析式可能为（ ） A 1 sin 2 fxxx B 1 sin 2 fxxx C 1 cos 2 f xxx D 1 ( )cos 2 f xxx 6已知0,1A，0,3B，C 在抛物线 2 4yx上，且到焦点的距离为 5，则ABC的面积为（ ） A4 B5 C8 D10 7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A8 6 B 4 8 3 C16 6 D 4 16 3 8六安市新建的广播电视发射塔计划于 2021 年 3 月竣工，它被誉为六安的“东方明珠塔” ，是一个集发射 和接收信号、应急指挥、旅
4、游休闲于一体的多功能文化景观塔发射塔总体高度 308 米，主要由塔座、 塔身、塔楼、桅杆四部分组成其塔身是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图 1） ，它的最小 口径为 2r 米，在最小口径上方 h 米处的口径为 4r 米，若某同学在平面直角坐标系中绘制出了该双曲线 （如图 2） ，则其渐近线的方程为（ ） A 3h yx r B 3 3 h yx r C 3r yx h D 3 3 r yx h 9设等差数列 n a的前 n 项和为 n S，公差0d 且 22 17 aa，则 n S取得最小值时，n 的值为（ ） A3 B4 C3 或 4 D4 或 5 10 九章算术是中国古代的数学专
5、著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，这是一 个伟大创举。其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其 等也，以等数约之”下面的程序框图体现了该算法的主要过程，若输入168m，105n，1i 时， 则输出的结果为（ ） A21m，4i B21m，5i C23m，4i D23m，5i 11已知 22 :1O xy，直线:20l xy，P 为 l 上的动点，过点 作O的切线 PA，PB，切点为 A，B，则OPAB最小值为（ ） A1 B2 C2 D2 2 12 已 知 函 数 xx f xee， 3 1 sin 6 g xxxax 对 于 任 意
6、1 x， 2 x且 12 xx， 都 有 12 12 0 fxfx g xg x ，则实数 a 的取值范围是（ ） A0a B0a C1a D1a 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知两个单位向量 1 e与 2 e的夹角为 3 ，则+ 12 ee_ 14若实数 x，y 满足 10 220 30 x xy y ，则zxy的最大值为_ 15已知 ln,0 ,0 axbx x fx g xx ，为偶函数，若曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为 10 xy ，则ab_ 16如图，在ABC中，ADBC，垂足为 D，DEAB，垂足
7、为 E现将ABC沿 AD 折起，使得 BCBD， 若三棱锥ABCD外接球的球心为 ， 半径为 1， 则DOE面积的最大值为_ 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 17 （本小题满分 10 分） 从下列选项中，选择其中一个作为条件进行解答： 已知数列 n a的前 n 项和 1 22 n n S ； 已知数列 n a是等比数列， 23 12aa， 34 24aa； 已知数列 n a中， 1 2a ，且对任意的正整数 m，n 都有 mnm n aaa （1）求数列 n a的通项公式；
8、（2）已知 221 1 loglog n nn b aa ，求数列 n b的前 2021 项的和 2021 T 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 sin2sin1 2 x f xx （1）求函数 f x的单调递增区间； （2）将函数 f x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，再把图象向右平移 24 个 单位长度，得到函数 yg x的图象，当0, 2 x 时，求函数 g x的值域 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面 ABCD/ABCD，22BCCDAB，3PA，E 是 PD 的中点 （1）证明：/ /AE平面 PBC； （
9、2）若 3 ABC ，求三棱锥PACE的体积 20 （本小题满分 12 分） 为积极响应国家对垃圾分类处理的号召，增强市民的环保意识，加快城市生态文明的建设，某市决定在 A，B，C 三个社区进行垃圾分类回收试点， 现准备建造一座垃圾处理站 D， 集中处理三个社区的湿垃圾 如 图，已知7ABBC千米，1BD 千米， 2 3 ADB ， 1 cos 7 ABC （1）求垃圾处理站 D 与社区 A 之间的距离； （2）假设有大、小两种运输车，负责在各社区和垃圾处理站之间运输湿垃圾，车在运输期间都是直线 行驶，每辆大车的行车费用为每千米 a 元，每辆小车的行车费用为每千米a元（01） 现有两种运输湿垃
10、圾的方案 方案一：用一辆大车运输，从 D 出发，依次经 A，B，C，再由 C 返回到 D； 方案二：用三辆小车运输，均从 D 出发。分别到 A，B，C，再各自原路返回到 D 请从行车费用的角度比较哪种方案更合算，并说明理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 lnf xxaxb， 1 x g xx e （1）若0b， f x的极大值是1，求 a 的值； （2）若0a， h xg xf x在0,上存在唯一零点，求 b 的值 22 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，短轴长为2 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A，B 分
11、别为椭圆 C 的左、右顶点，若过点4,0P且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点，直线 AM 与 BN 相交于点 Q证明：点 Q 在定直线上 2021 年皖西高中教学联盟高三教学质量检测年皖西高中教学联盟高三教学质量检测 文科数学参考答案文科数学参考答案 一一、选择题选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D A A A A B C B C D 1 【答案】D 【解析】因为 11 2 i z ，所以 1 z 在复平面内对应的点 11 , 22 在第四象限所以选 D 2 【答案】C 【解析】因为,1A ，0,B ，所以0,1AB所以选
12、 C 3 【答案】D 【解析】因 1 0 2021 202020201a ， 202020202020 0log1log2021log20201b， 20212021 1 loglog10 2020 c ，所abc所以选 D 4 【答案】A 【解析】 2 :2012p xxx ，:242 x qx 所以pq，且qp，所以 是 q 的充分不必要条件 所以选 A 5 【答案】A 【解析】由图象关于原点对称，可知函数 f x为奇函数，排除 C，D； 又因为0,x时， 1 sin0 2 f xxx恒成立，排除 B 选项 所以选 A 6 【答案】A 【解析】因为点 C 在抛物线 2 4yx上，设 00
13、,C x y， 抛物线 2 4yx的准线方程为1x， 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 由 0 15x ，得 0 4x ， 所以 0 11 3 144 22 ABC SABx 所以选 A 7 【答案】A 【解析】由三视图知，几何体是一个直三棱柱上放着一个直径为 1 的球，直三棱柱的底面的面积为 2，高 为 4，所以体积为8 6 所以选 A 8 【答案】B 【解析】设双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab ， 由题意得，ar，双曲线又过点2 , r h， 代入方程可得 22 22 4 1 rh rb ， 3 3 h b ， 所以双曲线渐近线的方程为 3 3
14、bh yxx ar 所以选 B 9 【答案】C 【解析】由 22 17 aa，可得 1717 0aaaa， 因为0d ，所以 17 0aa， 所以 17 0aa，又 17 0aa，所以 4 0a 因为0d ，所以 n a是递增数列，所以 123456 0aaaaaa， 显然前 3 项和或前 4 项和最小所以选 C 10 【答案】B 【详解】按照程序框图运行程序，输入：168m，105n， mn，则63m，105n，2i ； mn，则63m，n=42，3i ； mn，则21m，42n，4i ； mn，则21m，21n，5i ； 5i 满足mn，输出21m，5i 所以选 B 11 【答案】C 【解
15、析】圆心为0,0O，半径1r ， OAOB，PAPB，ABOP， 1 2 PAOB SOPAB， 又 1 22 2 PAOBPOA SSOAPAPA 2OPABPA要使OPAB取到最小值即PA要取到最小值 由勾股定理 22 2 1OPPArPA，即OP要取到最小值 当直线 OP 与直线20 xy垂直时， OP取最小值2，PA最小值为 1 所以OPAB最小值为 2所以选 C 12 【答案】D 【解析】由题意知， f x与 g x的单调性相同， f x单调递增，所以 g x也单调递增， 2 1 cos 2 gxxxa， 因为 g x是增函数，故 2 1 cos0 2 xxa恒成立 即 2 1 co
16、s 2 axx恒成立 2 1 cos 2 h xxx，则 sinh xxx， 因为 1 cos0hxx ，故 sinh xxx单调递增， 又 00 h ，故当0 x时 00 h ，当0 x时 00 h 故 2 1 cos 2 h xxx最小值为 01h故1 a所以选 D 二、填空题二、填空题 13 【答案】3 【解析】因为 222 121212 23eeeee e所以 12 3ee 14 【答案】11 2 【解析】zxy在 5 ,3 2 处取得最大值 15 【答案】3 【解析】当0 x时，0 x ，lnfxaxbx， 因为 f x为偶函数，所以 fxf x， 所以0 x时， lnf xax b
17、x， a fxb x ， 由题意知 12 11 f f ，所以1a ，2b， 可得3ab 16 【答案】 1 4 【解析】由题意知，Rt ACD中，取 AC 的中点为 ，则OAOCOD， 又BCBD且BCAD， BCABD，BCAB，ABC也是Rt， 故OAOBOC，OAOBOCOD， 即 为三棱锥ABCD外接球球心，连接 OE， 又易知DEAB且DEBCDEABC，DEOE， 在Rt DOE， 222 12DEOEODDE OE ， 11 24 Rt DOE SDE OE ， 当且仅当DEOE时，等号成立 Rt max 1 4 DOE S 三、解答题三、解答题 17 【解析】 （1）若选，当
18、1n 时， 11 2aS，=2，当2 n时， 1 2n nnn aSS ； 若选， 23 12aa， 34 24aa， 1 2a，2q ，2n n a； 若选，令1m， 11nn a aa n a是以 1 2a 为首项， 2q 为公比的等比数列，2n n a （2）由题意知， 111 11 n b n nnn 2021 1111112021 11 2232021202220222022 T 18 【解析】 （1） sincos2sin 4 fxxxx 由22 242 kxk ，kZ， 解得 3 22 44 kxk ，kZ 函数 f x的单调增区间为 3 2,2 44 kkkZ （2）将函数 f
19、 x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ， 得到函数2sin 2 4 yx ，再把所得函数图象向右平移 24 个单位长度， 得到函数 2sin 2 3 g xx 由0, 2 x ，可得函数 g x的值域为 6 ,2 2 19 【解析】 （1）证明：取 PC 的中点 F，可得 1 / / / 2 EFCDAB ， AEFB是平行四边形/AEBF， 又AE 平面 PBC，BF 平面 PBC /AE平面 PBC （2）1AB ，2BC ，60ABC，3AC，ABAC 11 13 3 22 32 P ACED ACEP ACDACD VVVS 20 【解析】 （1）在ABD中，
20、 222 2cosABBDADBD ADADB， 即 22 7160ADADADAD ，解得2AD 所以垃圾处理站 D 与小区 A 之间的距离为 2 千米 （2）在ABD中，由 sinsin120 ADAB ABD 可得 2sin12021 sin 77 ABD ， 所以 2 7 cos 7 ABD， 可得 12 74 3212 7 coscos 77777 CBDABCABD 在BCD中 222 2cosDCBDBCBD BCDBC，2DC 方案一费用： 1 277242 7ya DAABBCCDaa， 2 222 1210ya DADBDCaa ， 当 12 yy时，此时 27 5 ，方案
21、一，方案二一样合算； 当 12 yy时，此时 27 0 5 ，方案二合算； 当 12 yy时，此时 27 1 5 ，方案一合算 综上可知，当 27 5 时，方案一，方案二一样合算； 21 【解析】 （1）若0b，则 lnf xxax f x的定义域为0,， 1 fxa x 若0a， 0fx， f x在定义域内单调递增，无极大值； 若0a， 1 0,x a ， f x单调递增； 1 ,x a ， f x单调递减 1 x a 时， f x取得极大值 11 ln11f aa ， 1 ln0 a 1a （2）若0a，则 lnf xxb， 1ln x h xg xfxx exb 11 11 xx x h
22、 xxexe xx 令 0h x，得 1 e0 x x ， 当0 x时， 1 ex x 有唯一解 0 x，即 0 0 1 ex x ， 当 0 0,xx时， 0h x；当 0, xx时， 0h x 所以 h x在 0 0,x单调递减，在 0, x 单调递增 又因为 h x有且只有 1 个零点，所以 0 0h x 即 0 000 eln0 x xxxb 因为 0 0e 1 x x， 00 ln0 xx，整理可得10b 故1b 22 【解析】 （1）因为椭圆的离心率 1 2 ， 1 2 c a ，2ac ， 又22 3b ，3b 因为 2222 33bacc，所以 1c，2a， 所以椭圆 C 的方
23、程为 22 1 43 xy （2）解法一：设直线:4MN xty， 11 ,M x y， 22 ,N x y， 22 4 1 43 xty xy ，可得 22 3424360tyty， 所以 12 2 12 2 24 34 36 34 t yy t y y t 直线 AM 的方程： 1 1 2 2 y yx x 直线 BN 的方程： 2 2 2 2 y yx x 由对称性可知：点 Q 在垂直于 x 轴的直线上， 联立可得 1221 21 262 3 ty yyy x yy 因为 12 12 2 3 yy t y y ， 所以 1221 1221 2121 362262 1 33 yyyyty
24、yyy x yyyy 所以点 Q 在直线1x 上 解法二：设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 33 ,Q x y， 123 ,x x x两两不等， 因为 P，M，N 三点共线， 所以 22 12 22 1212 2222 12 1212 3 13 1 44 44 4444 xx yyyy xx xxxx ， 整理得： 1 212 2580 x xxx 又 A，M，Q 三点共线，有： 31 31 22 yy xx 又 B，N，Q 三点共线，有 32 32 22 yy xx 将与两式相除得： 2 2 2 2121 33 2 2 3123 12 2222 222 2 yxyxxx xyxx yx 2 2 2 1 21 2 2 12 1 2 3 12 224 22 3 12 4 x x xx xxx x 即 2 211212 3 3121212 22242 22224 xxx xxxx xxxx xxx ， 将 1 212 2580 x xxx 即 1212 5 40 2 x xxx 代入得： 2 3 3 2 9 2 x x 解得 3 4x （舍去）或 3 1x ， 所以 Q 在定直线1x 上
