1、1 2021 北京海淀高三（上）期末 数 学 2020.01 本试卷共 8 页，150 分。考试时常 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后， 本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、一、选择题共选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）抛物线x 2 y的准线方程是 （A） 2 1 x （B） 4 1 x （C） 2 1 y （D） 4 1 y （2）在复平面内，复数 i i 1
2、 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）在52x的展开式中， 4 x的系数为 （A）5 （B）5 （C）10 （D）10 （4）已知直线02:ayxl，点），（11A和点）（ 2 , 2B，若ABl/，则实数a的值为 （A）1 （B）1 （C）2 （D）2 （5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）12 （6）已知向量a，b满足1a，），（12b，且2ba，则ba （A）1 （B）0 （C）1 （D）2 2 （7）已知，是两个不同的平面，“ ”的一个充分条件是 （A）内有无数直线平行于 （B）存在平面，
3、， （C）存在平面， m ， n 且mn （D）存在直线l，l，l （8）已知函数 2 ( )1 2sin () 4 f xx 则 （A）( )f x是偶函数 （B）函数( )f x的最小正周期为2 （C）曲线( )yf x关于 4 x 对称 （D）(1)(2)ff （9）数列 n a 的通项公式为 2 3 n ann，n N，前n项和为 n S，给出 下列三个结论： 存在正整数, ()m n mn，使得 mn SS ； 存在正整数, ()m n mn，使得2 mnmn aaa a； 记， 12 (1,2,3,) nn Ta aa 则数列 n T 有最小项，其中所有正 确结论的序号是 （A）
4、（B） （C） （D） 3 （10）如图所示，在圆锥内放入连个球 1 O， 2 O，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中 粗线所示）分别为 , . 这两个球都与平面a相切，切点分别为 1 F， 2 F，丹德林（G Dandelin）利用这个 模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆， 1 F， 2 F为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为 Dandelin 双球。 若圆锥的母线与它的轴的夹角为 ， , 的半径分别为 1,4，点M为 上的一个定点，点P为椭圆 上的一个动点，则从点P沿圆锥表面到达M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是 （A）6 （B）8 （C）3 3 （D）4
5、 3 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空填空题共题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 （11）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式 变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取 样本中，高一学生有 16 人，则该样本中的高三学生人数为. （12）设等比数列 n a的前n项和为 n S.若 1 S、 2 S、 3 a成等差数列，则数列 n a的公比为. （13）已知双曲线 2 2 1 2 y x 的左右焦点分别为 1
6、2 ,F F，点( 3,4)M ，则双曲线的渐近线方程为； 12 MFMF; 4 （14）已知函数( )f x是定义域R的奇函数，且0 x 时，( )1 x f xae，则a ，( )f x的值域是； （15）已知圆 22 :(5)(2)2Pxy，直线: l yax，点(5,22)M，点( , )A s t. 给出下列 4 个结论： 当 0a ，直线l与圆P相离； 若直线l圆P的一条对称轴，则 2 5 a ； 若直线l上存在点A，圆P上存在点N，使得 90MAN，则a的最大值为 20 21 ； N为圆P上的一动点，若 90MAN，则t的最大值为 5 28 4 . 其中所有正确结论的序号是. 三
7、、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题共 15分）在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BCC B为矩形， 11 ACBCC B 平面,D E分别是棱 1 AA， 1 BB的中点. （）求证： 11 AEBC D平面 （）求证: 1 CCABC 平面 ()若 1 2ACBCAA,求直线AB与 11 BC D平面所成角的正弦值. 5 （17）（本小题共 14分）若存在ABC同时满足条件、条件、条件、条件中的三个，请选择一组这样的 三个条件并解答下列问题： （）求A的大小
8、； （）求cosB和a的值. 条件： 3 3 sin 14 C ； 条件： 7 3 ac； 条件：1ba； 条件： 5 cos 2 bA 6 （18）（本小题共 14分） 某公司在 20132021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年生产台数（单位：万台） 3 4 5 6 6 9 10 10 a 年返修台数（单位：台） 32 38 54 58 52 71 80 75 b 年利润（单位：百万元） 3.85 4.50 4.20 5.50 6.10 9.65 10.00 11.50 c 注：= 年
9、返修台数 年返修率 年生产台数 . （）从 20132020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的概率； （）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从 20132020年中随机选出 3 年，记表示这 3年中生产部门获得考核优秀的次数.求 的分布列和数学期望； （）记公司在 20132015 年，20162018 年，20192021年的年生产台数的方差分别为 222 123 ,sss.若 222 312 max ,ss s，其中 22 12 max ,ss表示 22 12 ,ss，这两个数中最大的数.请写出a的最大值和最小值.（只需写
10、 出结论） （注： 2222 12 1 ()()() n sxxxxxx n ，其中x为数据 12 , n x xx的平均数） 7 （19）（本小题共 14分）已知椭圆）（01: 2 2 2 2 ba b y a x W的离心率为 2 3 ，且经过点），（32C. （）求椭圆W的方程及其长轴长； （）A，B分别为椭圆W的左、右顶点，点D在椭圆W上，且位于x轴下方，直线CD交x轴于点Q，若 ACQ 的面积比 BDQ 的面积大32，求点D的坐标. （20）（本小题共 14分） 已知函数 ln ( ) x f x x . （）求函数)(xf的单调区间； （）设xxfxg)()(，求证：1)(xg；
11、（）设142)()( 22 aaxxxfxh.若存在 0 x使得0)( 0 xh，求a的最大值. 8 （21）（本小题共 14分）设A是由)2( nnn个实数组成的n行n列的数表，满足：每个数的绝对值是1，且所 有数的和是非负数，则称数表A是“n阶非负数表”. （）判断如下数表 1 A， 2 A是否是“4阶非负数表”； （）对于任意“5阶非负数表”A，记)(sR为A的第s行各数之和 ）（51 s，证明：存在 5, 4 , 3 , 2 , 1,kji，使得3)()()(kRjRiR； （）当)N(2 * kkn时，证明：对与任意“n阶非负数表”A，均存在k行k列，使得这k行k列交叉处的 2 k个
12、数之和不小于k. 2021 北京海淀高三（上）期末数学 参考答案 一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40 分。 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 B A D B A C D C C A 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分。 题号 （11） （12） （13） （14） （15） 答案 12 3 或-1 2 02 yx ），（11 1 三、解答题共 6 小题，共 85 分。 （16）（本小题共 15分） 解：（）在三棱柱 111 CBAABC 中， 11/ BB AA，且 11 BBAA . 因为点D，E分别是棱
13、 1 AA， 1 BB的中点， 所以EBAD 1 /，且EBAD 1 . 9 所以四边形DAEB1是平行四边形. 所以 1 / DBAE. 又因为DCBAE 11 平面，DCBDB 111 平面， 所以DCBAE 11 /平面. （）因为 11B BCCAC平面， 111 BBCCCC平面， 所以 1 CCAC ， 因为侧面 11B BCC为矩形， 所以BCCC 1 ， 又因为CBCAC，ABCAC平面，ABCBC平面， 所以ABCCC平面 1 . （）分别以CA，CB， 1 CC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系xyzC ，由 题意得)0 , 0 , 2(A，)0 ,
14、2 , 0(B，)2 , 2 , 0( 1 B，)2 , 0 , 0( 1 C，) 1 , 0 , 2(D. 所以)0 , 2 , 2(AB，)0 , 2 , 0( 11 BC，) 1, 0 , 2( 1 DC. 设平面DCB 11 的法向量为),(zyxn ，则 , 0 , 0 1 11 DCn BCn 即 . 02 , 02 zx y 令1x，则0y，. 2z 于是).2 , 0 , 1 (n 所以. 10 10 225 2 | ,cos ABn ABn ABn 所以直线AB与平面DCB 11 所成角的正弦值为 10 10 . （17）（本小题共14分） 选择 解：（）因为 73 3 ,s
15、in 314 acC， 10 由正弦定理可得： 3 sinsin 2 a AC c . 因为1ba， 所以ab. 所以0 2 A . 所以 3 A . （）在ABC中， 7 3 ac， 所以ac. 所以0 2 C . 因为 3 3 sin 14 C ， 所以 2 13 cos1sin 14 CC. 所以coscos()cos()BACAC sinsincoscosACAC 33 31131 2142147 所以 2 4 3 sin1cos 7 BB. 由正弦定理可得 4 33 72 ba ，即78ba. 因为1ba， 所以7a . 选择 解：（）因为 73 3 ,sin, 314 acC 11
16、 由正弦定理得 3 sinsin. 2 a AC c 在,ABC 5 cos 2 bA 所以0 2 C . 所以 2 3 A （）在,ABC 7 3 ac 所以ac 所以0 2 C . 因为 3 3 sin 14 C ， 所以 2 13 cos1sin 14 CC 所以coscos()cos()BACAC sinsincoscosACAC 33 311311 21421414 所以 2 5 3 sin1cos 14 BB 因为 5 cos 2 bA 所以 5 2 5 1 2 b . 由正弦定理得 3 sin 2 57 sin5 3 14 A ab B . （18）（本小题共 14分） 12 解
17、：（）由图表知，20132020年中，产品的平均利润小于 100元/台的年份只有 2015 年，2016 年. 所以从 20132020 年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于 100元/台的概率为 75. 0 8 6 （）由图表知，20132020 年中，返修率超过千分之一的年份只有 2013，2015 年，所以 的所有可能取值为 1,2,3 P（=1）= 28 3 3 8 2 2 1 6 C CC ,P（=2）= 28 15 3 8 1 2 2 6 C CC ,P（=3）= 14 5 3 8 0 2 3 6 C CC , 所以 的分布列为 （）a的最大值为 13，最小值为 7 （
18、19）（本小题共 14分） 解：（）因为椭圆W经过点 2, 3C ， 所以 22 43 1 ab 因为椭圆W的离心率为 3 2 ， 所以 3 2 c a ，其中 222 abc 所以4a 2b 所以椭圆W的方程为 2 2 1 164 y x ，长轴长2 8a （）当直线CD的斜率不存在时，由题意可知 2,3 ,D 2,0 ,Q 1 2 3 P 28 3 28 15 14 5 13 由（）可知 4,0 ,4,0 .AB 所以 ACQ 的面积为1 2 6 3 3 3 ， BDQ 的 面积为1 2 2 3 3 显然 ACQ 的面积比 BDQ 的 面积为大2 3. 方法一 当直线CD的斜率存在时，由题
19、意可设直线CD的方程为 3(2)yk x ，且 0k 令 0y ，得 3 2x k ，所以 3 (2,0)Q k 由 22 3(2) 1 164 yk x xy ，得 2 222 142 334 3 (4)()120yy kkkkk . 依题意可得点D的纵坐标2 22 2 344 343 3 1414 D kkk y kk . 因为点D在x轴下方，所以 0 D y ，即 3 424 k . 所以 ACQ 的面积为 11333 (24)3(6), 222 c AQy kk BDQ 的面积为 11313 422 222 DDD BQyyy kk 2 2 134 343 (2)() 214 kk k
20、k 2 2 134 343 (2)() 214 kk kk 因为 ACQ 的面积比 BDQ 的面积大2 3， 所以2 2 33134 343 (6)(2)()2 3 2214 kk kkk 14 此方程无解 综上所述，点D的坐标为(2, 3) . 方法二 因为点D在x轴下方，所以Q在线段AB（不包括端点）上. 由（）可知 ( 4,0), (4,0)AB . 所以 AOC 的面积为1 432 3 2 ， 所以点Q在线段OB（不包括端点）上，且 OCQ 的面积等于 BDQ 时的面积. 所以 OCB 的面积等于 BCD 的面积. 所以 / /ODBC. 设 ( , )D m n ， 0n , 则 0
21、33 422 n m . 因为点D在椭圆W上， 所以22 1 164 mn . 所以 2 3 m n 所以点 D 的坐标为(2, 3) （20）（本小题共 14分） 解：（）因为 x x xf ln )( ， 所以 2 ln1 )( x x xf . 令 0)( xf ，得 ex . )(xf 与 )( xf 在区间 ），（0 上的情况如下： x ), 0(e e ）（ , e 15 )( xf + 0 - )(xf 极大 所以)(xf的单调递增区间为), 0(e，单调递减区间为),( e. （）因为 x x xf ln )(，所以x x x xg ln )(. 所以 2 2 2 ln1 1
22、ln1 )( x xx x x xg . 当) 1 , 0(x时，0ln, 01 2 xx，所以0)( xg； 当), 1 ( x时，0ln, 01 2 xx，所以0)( xg. 所以)(xg在），（ 10内单调递增，在），（1内单调递减. 所以1) 1 ()( gxg. （）因为 x x xf ln )(，所以142 ln )( 22 aaxx x x xh. 当 2 1 0 a时，0)21 (242) 1 ( 2 aaaah，即存在 1，使得0) 1 (h； 当 2 1 a时，由（）可知，1 ln x x x ，即1 ln x x x . 所以 0 4 ) 16)(12( 4 1 3 4
23、4 ) 12( ) 2 12 42)( 2 2 2 2 22 aa aa a aa x aaxxxxh （ 所以对任意0 x，0)(xh，即不存在 0 x使得0)( 0 xh. 综上所述，a的最大值为 2 1 . （21）（本小题 14 分） 解：记( , )a i j为数表A中第i行第j列的数， 11 ( , ) nn ij a i j 为数表A中所有数的和， 11 ( , ) kk ij a i j 为数表A中前k 行k列交叉处各数之和 16 （） 1 A是“4 阶非负数表”； 2 A不是“4 阶非负数表” （）由题意知( , )1, 1a i j ，1,2,3,4,5i ，1,2,3,4
24、,5j 且数表A是“5 阶非负数表”， 所以( )(1,2,3,4,5)R s s 为奇数，且(1)(2)(3)(4)(5)0RRRRR 不妨设(1)(2)(3)(4)(5)RRRRR 当(3)0R时，因为(3)R为奇数，所以(3)1R 所以(1)+ (2)+ (3)3 (3)3RRRR 当(3)0R时，因为(3)R为奇数，所以(3)1R 所以(4)(5)2 (3)2RRR 所以(1)+ (2)+ (3)(4)(5)2RRRRR 有因为(1)R，(2)R，(3)R均为奇数， 所以(1)+ (2)+ (3)3RRR （） （1）先证明数表A中存在1n 行n列(2 )nk，其所有数的和大于等于 0
25、 设 1 ( )( , ) n j R ta i j (1,2, )in，由题意知 1 ( )0 n i R i 不妨设(1)(2)( )RRR n 由于 11-1 1111 ( )(1)( )( )(1) ( )( )( )0 nnnn iiii nR inR iR inR nR iR n ， 所以 1 11 1 ( )( )0 nn ii n R iR i n （2）由（1）及题意不妨设数表A前1n 行n列(2 )nk，其所有数的和大于等于 0 下面考虑前21k 行，证明存在21k 行k列，其所有数的和大于等于k 设 21 1 ( )( , ) k i T ja i j (1,2,2 )j
26、k，则 221 11 ( )( )0 kk ji T jR i 不妨设(1)(2)(2 )TTTk 因为( )T j为21k 个奇数的和，所以( )T j为奇数(1,2,2 )jk 当( )0T k 时，因为( )T k为奇数，所以( )1T k 所以 1 ( )( ) k j T jkT kk 当( )0T k 时，因为( )T k为奇数，所以( )1T k 17 所以 2 1 ( )( ) k j k T jkT kk 所以 2 11 ( )( ) kk jj k T jT jk （3）在（2）所设数表下A，证明前21k 行前k列中存在k行k列，其所有数的和k 设 1 ( )( , ) k j R ia i j (1,2,21)ik，则 21 11 ( )( ) kk ij R iT jk 当( )1R k时， 1 ( )( ) k i R ikR kk ； 当( )0R k时，(21)(22)( )0RkRkR k 所以 21 11 ( )( ) kk ii k R ikR ik ，所以 111 ( , )( ) kkk iji a i jR ik 综上所述，对于任何“n阶非负数表”A，均存在k行k列，使得这k行k列交叉处的所有数之和不小于k
