1、高二数学（文科） 第1页 共4页 眉山市高中 2022 届第三学期期末教学质量检测 数学试题卷（文史类） 2021.01 数学试题卷（文史类）共 4 页满分 150 分考试时间 120 分钟 注意事项： 1.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮 擦擦干净后，再选涂其他答案标号 2. 答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 4. 考试结束后，将答题卡交回 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，只 有一项
2、是符合题目要求的 1. 抛物线xy 2 的准线方程为 A 4 1 x B 4 1 x C 4 1 y D 4 1 y 2棱长为2的正四面体的表面积为 A3 B32 C33 D34 3设ml,是两条不同的直线，a是一个平面，则下列说法正确的是 A若,lm ma?，则laB若,llma，则/ /ma C若, / /llma，则ma D若/ / ,/ /lmaa，则ml/ 4“实数0a”是“直线012: 1 yaxl与直线012) 1( : 1 ayxal”垂直的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab -=的实轴
3、长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为 Axy 2 1 Bxy2 Cxy2 Dxy3 6下列说法正确的是 高二数学（文科） 第2页 共4页 A若“p且q”为真命题，则p，q中至多有一个为真命题； B命题“若1 2 a，则1a”的否命题为“若1 2 a，则若1a”； C命题“01, 0 2 00 xxRx”的否定是“01, 2 xxRx”； D命题“若,sinsinyx 则yx ”的逆否命题为真命题. 7函数224)( 23 bxaxxxf在1x处有极值，则ba的值等于 A9 B6 C3 D2 8圆1: 22 1 yxC与圆078: 22 2 yyxC公切线的条数为 A0 B1 C2 D3 9已知
4、函数xxxfln)(，则)(xf的最小值为 A e 1 B1 C0 D e 1 10椭圆1 39 : 22 yx C，过点) 1, 1 (M的直线l交椭圆C交于BA,两点，且BMAM ，则直 线l的直线方程是 A023 yx B023 yx C043 yx D043 yx 11设 1 F、 2 F是椭圆 1 C和双曲线 2 C的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 12 PFPF，线段 1 PF的垂直平分线经过 2 F，若 1 C和 2 C的离心率分别 为 1 e、 2 e，则 21 11 ee 的值 A 2 5 B3 C 2 3 D2 12正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为3，点E，
5、F分别在棱 111 ,CDCC上，且ECEC2 1 ， 11 2FCFD，下列几个命题：异面直线 1 AD与BF垂直； 过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；三棱锥BEFB 1 的体 积为 2 3 过点 1 B作平面a，使得AEa，则平面a截正方体所得的截面面积 为 2 195 . 其中真命题的序号为 A B C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上 高二数学（文科） 第3页 共4页 13已知yx,满足约束条件 20 20 360 xy xy xy -+ +- - ，则目标函数yxz4的最大值为 . 14直线：0 yx被圆0162:
6、22 yxyxC截得的弦长等于_. 15已知等腰直角三角形ABC中， 2 C，22CA，D为AB的中点，将它沿CD 翻折，使 点A与点B间的距离为22，此时三棱锥ABDC 的外接球的表面积为_. 16实数yx,满足1yyxx，则点),(yx到直线01 yx的距离的取值范围是_. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 17（本小题10分） 点（4，4）在抛物线)0(2: 2 ppyxC上，且A，B为C上两点，点A与点B的横坐标之和为4 （1）求抛物线C的方程； （2）求直线AB的斜率 18（本小题12分） 如图：在多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平
7、面ACD，1 2 1 DEABACAD， 90DAC，F是CD的中点 （）求证：/AF平面BCE； （）求证：平面BCE平面CDE； A B C D F E 高二数学（文科） 第4页 共4页 A B C E F G 19（本小题12分） 已知函数0, 1 3 1 )( 23 aaxxxf （1）当1a时，求)(xfy 在点（1，) 1 (f）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积。 （2）是否存在实数a，使得)(xf在2, 0上的最小值为 6 5 ？若存在，求出a的值，若不存在， 说明理由. 20（本小题12分） 如图，三棱台EFGABC 的底面是正三角形，平面ABC平面BCGF，GFCB2， C
8、FBF （1）求证：CGAB； （2）若ABC和梯形BCGF的面积都等于3，求三棱锥BEGF 的体积 21（本小题12分） 已知函数)0()(x x e xf x （e为自然对数的底数），函数mxxg)(. （）求函数)(xf的最小值； （）若不等式0)()(xgxf在)0(，上恒成立，求实数m的取值范围. 22（本小题12分） 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点)0, 2(P且离心率 2 2 e，过点)0, 3 2 (Q作斜 率不为0的直线与椭圆交于BA,两点。 （1）求椭圆方程； （2）求证：PBPA； 高二数学（文科） 第5页 共4页 （3）求PAB面积的最大值。 高二数学（文科）
9、 第6页 共4页 眉山市高中2022届第三学期期末教学质量检测 数学（文科）参考答案 2021.01 一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B D C A C B B D A C D B 二、填空题 1328 1472 1512 16 22 (,1 22 三、解答题 17 解： （1） 因为点 （4， 4） 在抛物线上， 代入得： 162p 4p2， 3分 所以抛物线C的方程为x2 4y 4分 （2）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，且x1+x24， 设直线:AB ykxm， 2 4 ykxm xy 2 440 xkxm， 6分 1
10、2 4xxk， 8分 44k， 1k 9分 故直线AB的斜率为 1 10分 18解：（1）证明：取CE的中点M，连结MF，MB， F是CD的中点 MFDE且MF 1 2 DE 1分 AB平面ACD，DE平面ACD 高二数学（文科） 第7页 共4页 ABDE，MFAB AB 1 2 DEMF AB 3分 四边形ABMF是平行四边形 AFBM， AF平面BCE，BM平面BCE AF平面 BCE 6分 （没有写（没有写AF 平面平面BCE，扣，扣1分分） （2）证明：ACAD AFCD，又DE平面ACD AF平面ACD AFDE，又CDDED AF平面 CDE 9分 又BMAF，BM平面CDE BM
11、平面BCE 平面BCE平面 CDE 12分 （没有写没有写CDDED，扣，扣1分）分） 19 解： （1） a1时， f （x） 1 3 x3x2+1， 2 ( )2fxxx 2分 故 1 (1) 3 f，(1)1 f ， 故曲线yf （x） 在点 （1， f （1） ） 处的切线方程是y 1 3 （x1） ， 4分 即3x+3y40，直线3x+3y40在x轴，y轴上的截距均为 4 3 ， 故所求三角形的面积为 8 9 ； 6分 （2） 2 ( )2(2 )fxxaxx xa ，令( )0fx，解得：x0或x2a， 当02a2，即0a1时，当x0，2a时，( )0fx，( )f x单调递减，
12、当x2a，2时，( )0fx，f（x）单调递增， 则f （x）minf （2a） 8 3 a34a3+1 5 6 ， 解得： a 1 2 ， 9分 高二数学（文科） 第8页 共4页 当2a2，即a1时，当x0，2时，( )0fx，( )f x单调递减， 则f （x）minf （2） 8 3 4a+1 5 6 ， 解得： a 17 24 1， 舍， 11分 综上： 存在a 1 2 ， 使得f （x） 在0， 2上的最小值是 5 6 12分 20（1）证明：由ABCEFG是三棱台得，平面ABC平面EFG，从而BCFG 取BC的中点为D，连结DF CB2GF，CD GF， 四边形CDFG为平行四边形
13、，CGDF BFCF，D为BC的中点，DFBC，CG BC 2分 平面ABC平面BCGF，且交线为BC，CG平面 BCGF， 4分 CG平面ABC，而AB平面ABC，CG AB 6分 （2） 解： 正三角形ABC的面积为3， BC2， GF1 8分 正三角形EFG的面积 3 4 EFG S 9分 梯形BCGF的面积等于3， 梯形BCGF的高 2 3 3 h 10分 1 3 F BEGB EFGEFG VVSh 132 31 3436 12分 21解：（）函数f（x）定义域为（0，+）， 高二数学（文科） 第9页 共4页 22 (1) ( ) xxx xeeex fx xx ， 2分 令( )0
14、fx，则x1 x （0，1） 1 （1，+） f（x） 0 + f（x） 减 极小值 增 所以f （x） 的减区间为 （0， 1） ； 增区间为 （1， +） 5分 所以，函数f（x）有最小值 (1)fe， 6分 （）不等式f（x）+g（x）0在（0，+）上恒成立等价于，不等式0 x e mx x 在 （0， +） 上恒成立， 故不等式 2 x e m x 在 （0， +） 上恒成立， 8分 令 2 ( ) x e h x x ，x（0，+），则 3 (2) ( ) x ex h x x 当x （0， 2） 时，h （x）0，所以h （x）在 （0， 2）上为增函数； 9分 当x（2，+）时，
15、h（x）0，所以h（x）在（2，+）上为减函数； 10分 所以 2 max ( )(2) 4 e h xh ， 11 分 所以 2 4 e m 所求的m的取值范围为 高二数学（文科） 第10页 共4页 2 (,) 4 e ， 12分 22 解：（1）由题意知 222 2 2 2 c a a abc ，所以2,2ab， 所以椭圆方程为 22 1 42 xy 3分 （2）设直线AB的方程为 2 3 xmy， 1122 ( ,), (,)A x yB xy 22 2 3 1 42 xmy xy 22 (918)12320mymy， 2 144(916)m 12 2 12 2 12 918 32 91
16、8 m yy m y y m 4分 11 (2,)PAxy， 22 (2,)PBxy 2 12121212 222 2 222 416 (2)(2)(1)() 39 32412163232 1616(2) (1)0 91839189918 PA PBxxy ymy ym yy mmmm mm mmm PAPB 7分（3）法1：设直线PA的方程为2xty 22 2 1 42 xty xy 22 (2)40tyty，所以P点的纵坐标 2 4 2 t t ，所以 PA= 2 2 4 1 2 t t t , 同理可得 高二数学（文科） 第11页 共4页 PB= 2 2 4 1 21 t t 8分 PA
17、PB 3 42 2 2 1 1616 1 252 2()5 t ttt tt t t ， 9分 令 11 2ntt tt 所以PAPB 2 168 16 11 21 2 2 n n n n n n ， 10 分 由双勾函数单调性可知，当2n时， PAPB有最大值 32 9 ， 即 1 2 PAB SPA PB 的最大值为16 9 法2：接第二问， 12 11 22 PAB SPA PBPQ yy 2 1212 2 ()4 3 yyy y 22 22 144(916)28 916 3918918 mm mm 10分 令 2 9164mv ，所以 PAB S 2 88 2 2 v v v v ，由双勾函数单调性可知，4v 时， PAB S 有最大值 16 9 12分
