1、漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 1 页页 （共（共 16 页）页） 漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一） 数数 学学 答 案答 案 （考试时间：120 分钟；满分：150 分） 本试卷分第卷和第卷两部分。第卷为选择题，第卷为非选择题。 第卷（选择题第卷（选择题 60 分）分） 一一单项单项选择题选择题（本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题项是符合题 目要求的目要求的.） 1已知集合3 , 2 , 1 ,
2、 2M，2 , 2N，下列结论成立的是 ANM BNM CMNM D1NCM 2若复数 3 2 1 z i （i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，其终边上一点P绕原 点顺时针旋转 6 到达点3,4Q的位置，则 sin 6 A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 4已知F为抛物线xy8 2 的焦点，M为抛物线上任意一点，点4 , 4A，则MFMA 的最小值为 A6 B24 C52 D4 5原始的蚊香出现在宋代根据宋代冒苏轼之名编写的格物粗谈记载：“端 午时，
3、 贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫”如图，为某 校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线l上取 长度为 1 的线段AB，做一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为 半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半 径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，当得到的“螺旋蚊 香”与直线l恰有5个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最大值为 A14 B 3 56 C24 D30 6已知ABC中，5 ACAB，8BC ，点O是ABC的重心，则 ACBO A10 B 2 23 C13 D 2 29 7正实数a，b，c满足22 a a，
4、33 b b，4log4cc，则实数a，b，c之间的大小关系为 Acab Bcba Cbca Dacb 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 2 页页 （共（共 16 页）页） 8正四面体ABCD的体积为4，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这 两个正四面体公共部分的体积为 A3 B 8 3 C2 D 4 3 二二多项选择题（本大题共多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符在每小题给出的四个选项中，有多个选项符 合题目要
5、求，全部选对的得合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9小王于 2016 年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了 10 年期每月还款数额相同的 还贷方式，且截止 2020 年底，他没有再购买第二套房子.下图是 2017 年和 2020 年小王的家庭收入用 于各项支出的比例分配图： 2017 年各项支出 2020 年各项支出 根据以上信息，判断下列结论中不正确的是 A小王一家 2020 年用于饮食的支出费用跟 2017 年相同 B小王一家 2020 年用于其他方面的支出费用是 2017 年的 3 倍 C小
6、王一家 2020 年的家庭收入比 2017 年增加了 1 倍 D小王一家 2020 年用于房贷的支出费用比 2017 年减少了 10已知等差数列 n a的公差0d ，前n项和为 n S，若 610 SS，则下列说法正确的是 A 8 0a B 16 0S C若0d ，则 810 0aa D若 0d ，则 128 aa 11在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R ，内切圆半径为3r，满 足 3 coscoscos R CcBbAa，ABC的面积6 ABC S，则 A4cba B6R C 6 1 sinsinsinCBA D 3 1 2sin2sin2sinCBA 12已知
7、函数 | | ( )sin x f xex，则下列结论正确的是（ ） 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 3 页页 （共（共 16 页）页） A ( )f x是周期为2的奇函数 B( )f x在 3 , 44 上为增函数 C ( )f x在( 10 ,10 )内有 21 个极值点 Daxxf)( 在 4 0 ，上恒成立的充要条件是 1a 第卷（非选择题第卷（非选择题 90 分）分） 三三填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 5 2 2 x x 的展开式中， 5
8、x的系数为_ 14 定义在R上的偶函数 )(xfy ， 当 0 x时， 1 2 1 )( x xf， 则不等式 1)(lgxf的解集为_ 15三棱柱 111 CBAABC 中，CABBBCC平面平面 11 ， 3 1 CBC，ACB是等腰直角三角形， 2 ACB，2 1 CCCB，则异面直线 11B A与 1 AC所成角的余弦值为_ 16已知双曲线C：1 2 2 2 2 b y a x （0a，0b）的左、右焦点分别为 F ，F，以坐标原点O为圆心， OF为半径的圆交C的一条渐近线于,A B两点，且线段BF被C的另一条渐近线平分，则C的离心率 为_；若C的焦距为4，P为C上一点，且tan 2
9、2OFP ，直线PF交C于另一点Q，则 QF _ （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四四解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（本小题满分 10 分） 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且 222 bcabc. （1）若2b，sin2sinCB，求ABC的面积； （2）求coscosBC的最大值. 18（本小题满分 12 分） 已知等比数列 n a的前n项和为 n S，满足14 3 S，且 1 2a， 2 a， 3 2 1 a依次构成等差数列. （1）求数
10、列 n a的通项公式； （2） 请从nab nn nn nab 122 loglog 1 nn n aa b 这三个条件选择一个， 求数列 n b的 前n项和 n T. 注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分. 19（本小题满分 12 分） 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 4 页页 （共（共 16 页）页） 如图，圆柱 1 OO的轴截面 11 ABB A是正方形， 1 O、O分别是上、下底面的圆心，C是弧AB的中点， D、E分别是 1 AA与BC中点. （1）求证：DE/平面 11 ACB； （2）求锐二面
11、角 11 BACB的余弦值. 20（本小题满分 12 分） 中国制造 2025是经国务院总理李克强签批，由国务院于 2015 年 5 月印发的部署全面推进实施制造 强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领. 制造业是国民经济的主体，是立国 之本、兴国之器、强国之基. 发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命 线. 某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布 2 ( ,)N ， 并把质量差在(,) 内的产品为优等品， 质量差在(,2 ) 内的产品为一等 品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该
12、企业生产的正品中随机 抽取 1000 件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据频率分布直方图，求样本平均数x；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） （2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为 100，用样本平均数x作为的近似 值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率； 参考数据：若随机变量服从正态分布 2 ,N ，则： 0.6827P ， 220.9545P，330.9973P （3）假如企业包装时要求把 3 件优等品球和 5 件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸 出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求随机变量X的
13、分布列及期望值 21（本小题满分 12 分） 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 5 页页 （共（共 16 页）页） 已知函数( )ln(1) 1f xx， ln ( ) xa g xexb （0a，bR） （1）当1a ，讨论)(xg在R上的零点个数； （2）若关于x的不等式xxfbaxg)(ln)(恒成立，求实数a的取值范围. 22（本小题满分 12 分） 阿基米德（公元前 287 年 公元前 212 年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数 学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与
14、短半轴长的乘积在平 面直角坐标系xOy中，椭圆E： 22 22 1 xy ab （0ab）的面积为2 3，两焦点与短轴的一个顶 点构成等边三角形过点1 0M，且斜率不为0的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B （1）求椭圆E的标准方程； （2）设椭圆E的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线4x交于点F，试证明B，Q，F三 点共线； （3）求AOB面积的最大值. 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 6 页页 （共（共 16 页）页） 学校: 准考证号: 姓名: （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 工作秘密启用前 漳州市 2
15、021 届高三毕业班适应性测试（一） 数数 学学 参参 考考 答 案答 案 （考试时间：120 分钟；满分：150 分） 本试卷分第卷和第卷两部分。第卷为选择题，第卷为非选择题。 第卷（选择题第卷（选择题 60 分）分） 一一单项单项选择题选择题（本本大大题共题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合项是符合 题目要求的题目要求的.） 1C 2D 3D 4A 5 B 6C 7A 8C 【解析】 1 集合3 , 2 , 1 , 2M，2 , 2N， 不满足NM ， 则 A 错；2 , 2NM ， 则
16、B 错；MNM， 则 C 正确； 31，NCM，则 D 错.故选 C. 2 3 2 122 1 1111 i zi iiii 则 1zi ，复数z在复平面上对应的点为1, 1，故复数z在复平面上对应的点位于第四象限，故 选 D. 3依题意可知3,4Q在角 6 的终边上，所以 6 4 sin 5 ，故选 D 4点4 , 4A是抛物线内的一点，设点M在抛物线准线上的射影为N，根据抛物线的定义可知 MNMF ，要求MFMA 的最小值，即求MNMA 的最小值. 当A，M，N三点共线时， MNMA 取到最小值624. 故选 A. 5由题意得， 恰好有 6 段圆弧或有7段圆弧与直线l相交时， 才恰有5个交
17、点， 每段圆弧的圆心角都为 2 3 ， 且从第 1 段圆弧到第n段圆弧的半径长构成等差数列：1，2，n 当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有5个交点时，“螺旋蚊香”的总长度 的最大值为 3 56 2 771 3 2 故选 B. 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 7 页页 （共（共 16 页）页） 6 由题意，以BC所在直线为 x 轴，BC的垂直平分线为 y 轴建立坐标系， 由于5 ACAB，8BC，则0 , 4B，0 , 4C，故3 , 0A 又点O是ABC的重心，则1 , 0O (4,1)BO ， 43AC ， ，13316A
18、CBO，故选 C 74log4cccc4log4， 即c为函数xy 4 log与xy 4的图象交点的横坐标 33 b bb b 431， 即b为函数 x y31与xy 4的图象交点的横坐标 22 a aa a 4 2 1 2， 即a为函数 x y 2 1 2与xy 4的图象交点的横坐标 在同一坐标系中画出图象，可得cab.故选 A. 8如图，点E，F，G，H，I，J分别是边AB，AC，AD，BC， CD，DB的中点，这两个正四面体公共部分为多面体GEFHIJ 三棱锥A EFG是正四面体，其棱长为正四面体ABCD棱长的一半， 则 11 = 82 A EFGA BCD VV 这两个正四面体公共部分
19、的体积为 1 4442 2 A BCDA EFG VV . 故选 C. 二、二、多项选择题多项选择题（本本大大题共题共 4 小题小题，每小题，每小题 5 分分，共，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分。）分。） 9ACD 10BCD 11ABD 12BD 【解析】 9 由于小王选择的是每月还款数额相同的还贷方式，故可知 2020 年用于房贷方面的支出费用跟 2017 年 相同，D 错；设一年房贷支出费用为n，则可知 2017
20、 年小王的家庭收入为 5 60%3 nn ，2020 年小王 的家庭收入为 5 40%2 nn ， 55 150% 32 nn ，小王一家 2020 年的家庭收入比 2017 年增加了 50% ， C 错；2017、2020 年用于饮食的支出费用分别为 5555 25%,25% 31228 nnnn ，A 错；2017、2020 年用于其他方面的支出费用分别是 553 6%,12% 310210 nnnn ，B 对故选 ACD 10由已知 610 SS，得 89 0aa. 若 8 0a ，则 9 0a ，不满足 0d ，故 A 错； 由 116 1689 16 80 2 aa Saa ，故 B
21、 正确；当0d 时，且 89 0aa，则 8 0a ， 9 0a ， 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 8 页页 （共（共 16 页）页） 所以 8109 20aaa，故 C 正确；当 0d 时，且 89 0aa，则0 8 a，0 9 a，所以 0 910 daa，所以 81210 20aaa，则 812 aa，故 D 正确. 故选 BCD. 11 4, 6)( 2 3 )( 2 1 cbacbarcbaS ABC ，A 正确； 已知 3 coscoscos R CcBbAa 所以, 3 cossin2cossin2coss
22、in2 R CCRBBRAAR 即 3 1 2sin2sin2sinCBA，D 正确； 若ABC为锐角三角形， , 6 3 1 2 1 2sin 2 1 2sin 2 1 2sin 2 1 2222 RCRBRARS ABC 所以6R ，若ABC为直角三角 形或钝角三角形时可类似证明，B 正确； 212 sinsinsin abc R ABC ，所以 3 1 sinsinsinCBA，C 错故选 ABD. 12因为 xf的定义域为R，()sin()( ) x fxexf x ，所以 xf是奇函数， 但是 22 (2 )sin(2 )sin( ) xx f xexexf x ，所以 xf不是周期
23、为2的函数，故 A 错 误； 当(,0) 4 x 时，( )sin x f xex ，(cos( )sin )0 x xfxex ，( )f x单调递增， 当 3 (0,) 4 x 时，( )sin x f xex，(sin)0c(os x xfxex， ( )f x单调递增， 且 ( )f x在 3 (,) 44 连续，故( )f x在 3 (,) 44 单调递增，故 B 正确； 当 0,10 )x时， ( )sin x f xex， 4 sin2cossin xexxexf xx ， 令 ( )0fx 得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) 4 xkk ， 当 ( 10 ,0)x
24、 时，( )sin x f xex ， 4 cos2sincos xexxexf xx 令 ( )0fx 得，(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) 4 xkk , 因此， ( )f x在( 10 ,10 )内有 20 个极值点，故 C 错误； 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 9 页页 （共（共 16 页）页） 当 4 0 ，x时， sin ( ) x ex f xaxa x ， 设 sin ( ) x ex g x x ，所以 2 sincossin x xxxxxe xg x ， 令( )sin
25、cossinh xxxxxx，(0, 4 x ， 0sincossinxxxxxh， xh单调递增， 00 hxh，所以 0 x g，( )g x在(0, 4 单调递增. 当x趋近于0时， x xe xg x sin 趋近于1， 所以1a，故 D 正确. 故选 BD. 三三填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 1340 14),10() 10 1 , 0( 15 4 3 162，9 13 5 2 2 x x 展开式的通项为 5 105 2 2 155 2 2 r rr rrr r TCxCx x 令 5 105 2 r，则2r ， 所
26、以 5 2 2 x x 的展开式中， 5 x的系数为 22 5 240C 故答案为40. 14由已知，当0 x时， 1 ) 2 1 ()( x xf，不等式1lgxf等价于1lg fxf 又)(xf定义在 R 上的偶函数， 所以1lgx，所以1lgx或1lgx，解得10 x或 10 1 0 x 则不等式1lgxf的解集为),10() 10 1 , 0( 故答案为),10() 10 1 , 0(. 15因为 3 1 CBC，2 1 CCCB，所以2 1 DA， 又因为ACB是等腰直角三角形， 2 ACB，2CB，所以22 11 BA， 因为CABBBCC平面平面 11 ，又BCAC ， 11 C
27、C B BCABBC平面平面 所以BBCCAC 11 平面，所以 1 ACAC 又 1 2ACCC，所以22 1 AC 根据题意可知异面直线 11B A与 1 AC所成角为DBA 11 ， 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 10 页页 （共（共 16 页）页） 根据余弦定理得， 4 3 22222 22222 2 cos 2 22 111 2 1 2 1 2 11 11 DBBA DADBBA DBA 故答案为 4 3 . 16如图所示建立平面直角坐标系，设BF的中点为M，则由双曲线的对称性知， BOMFOMAOF， 所以
28、3 BOMFOMAOF ， 所以 222 360tan bac a b ，可得 22 4ac ，4 2 2 a c ，2 a c e； C的焦距为4，所以2c ，1a . 设QFx，则22QFxax， 又由tan2 2OFP，得 1 cos 3 OFP， 所以 1 cos 3 OFQ ，在F FP中，由余弦定理得， 222 2 cosQFQFFFQF FFF FQ， 即 2 2 1 2162 4 3 xxx ，解得9x，即9QF 故答案为2，9. 四四、解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
29、步骤.） 17解：（1）因为sin2sinCB，2b，所以 24cb， 因为 222 bcabc，所以 222 1 cos 22 bca A bc ， 2 分 又因为(0,)A，所以 3 A 3 分 所以ABC的面积 113 sin2 42 3 222 SbcA 5 分 （2）由（1）可得 3 A ， M B O FF Q P A x y 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 11 页页 （共（共 16 页）页） 所以 3 coscoscoscoscoscos BBABBCB 6 sinsin 2 3 cos 2 1 BBB 8
30、 分 因为 2 0 3 B，所以 5 36 6 B， 9 分 所以当 3 B 时， 6 sincoscos BCB有最大值 1 10 分 18解：（1）设等比数列的公比为q，根据已知条件， 1 2a， 2 a， 3 2 1 a依次构成等差数列， 所以 312 2 1 22aaa，则 2 111 2 1 22qaaqa， 2 分 因为0 1 a，所以 2 2 1 22qq，解得2q 4 分 由14 3 S，即14 321 aaa，所以1442 111 aaa，解得2 1 a 5 分 所以 n n a2 6 分 （2）选nnab n nn 2 7 分 ）（nbbbbT n nn 3212222 3
31、21 321 9 分 2 1 21 21 nn n 2 12 2 nn n 12 分 选 nn nab 7 分 n nn nbbbbT2232221 321 321 （*） 1432 22322212 n n nT 9 分 可得 2212 21 212 2223222 111321 nn n nn n nnnT 11 分 所以221 1 n n nT 12 分 选 1 11 1 1 loglog 1 122 nnnnaa b nn n 9 分 11 1 1 1 11 3 1 2 1 2 1 1 21 n n nnn bbbT nn 12 分 19解：（1）取 1 CB的中点为M，连接ME， 1
32、 AM 则EM/ 1 BB/ 1 AA，且 11 1 2 EMAAAD 2 分 所以四边形 1 ADEM为平行四边形， 所以DE/MA 1 ，又 1 AM 面 11 ACB，DE 面 11 ACB 所以DE/面 11 ACB. 4 分 （2） 1 OO面ABC，则OBOO 1 ，OCOO 1 ， AB是圆柱底面的直径，C是弧AB的中点，所以CBCA，O为AB中点，则OBOC 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 12 页页 （共（共 16 页）页） 以O为原点，OB，OC， 1 OO分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标
33、系O xyz ， 如图 5 分 设1OB ，则1,0,0B ，0,1,0C ， 1 1,0,2A ， 1 1,0,2B 6 分 1 2,0, 2AB ， 1 1,1, 2AC 设平面 1 ABC的一个法向量为 111 ,nx y z，则 1 1 0 0 n AB n AC ， 11 111 220 20 xz xyz ，取 1 1x ，则 1 1y ， 1 1z ， 则1,1,1n 8 分 11 2,0,0AB ， 1 1,1, 2AC 设平面 11 ABC的一个法向量为 222 ,mxy z，则 11 1 0 0 m AB m AC ， 1 111 20 20 x xyz ，解得 1 0 x
34、 ，取 1 2y ，则 1 1z ， 则0,2,1m 10 分 所以 2 115 cos, 535 m n m n mn . 11 分 所以锐二面角 11 BACB的余弦值为 15 5 . 12 分 20解：（1） 465656666676 0.010 100.020 100.045 10 222 x 76868696 0.020 100.005 10 22 2 分 70 3 分 （2）由题意样本方差 2 100s ，故 2 10s ，所以 2 (70,10 )XN， 4 分 由题意，该厂生产的产品为正品的概率 (6090)(6070)(7090)PPXPXPX 1 (0.68270.9545
35、)0.8186 2 .所以DE/面 11 ACB. 6 分 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 13 页页 （共（共 16 页）页） （3）X所有可能取值为0，1，2，3. 7 分 03 35 3 8 5 0 28 C C P X C 12 35 3 8 15 1 28 C C P X C 21 35 3 8 15 2 56 C C P X C 30 35 3 8 1 3 56 C C P X C 9 分 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 11 分 8 9 56 1 3
36、56 15 2 28 15 1 28 5 0XE 12 分 21解：（1）1a ， x g xexb ，( )1 x g xe，令 0g x ，得0 x 当0 x， 0gx ，)(xg在0 ,单调递减 当0 x， 0g x ，)(xg在，0单调递增 所以0 x是 xg的极小值点同时也是最小值点，即bgxg1)0()( min 2 分 当01b，即1b时，)(xg在R上没有零点； 当01b，即1b时，)(xg在R上只有 1 个零点； 3 分 时，即当1, 01bb 因为()0 b gbe，所以)0 ,()(在xg只有一个零点， 又因为bebbebg bb 2)(，取2)(,2)( xx exxe
37、x， ( )20 x xe令，得ln2x 当2lnx，02)( x ex， )(x 在, 2ln单调递增 当2lnx，02)( x ex， )(x 在2ln,单调递减 02ln222ln2)2(ln 2ln e，所以对xR， 0 x，所以 0)(b ，即02 beb 所以02)(bebg b ，所以), 0()(在xg内只有一个零点， 所以 xg在R上有两个零点. 5 分 综上所述，当1b时， xf在R上有两个零点； 当1b时，函数 xf在R上没有零点； 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 14 页页 （共（共 16 页）页）
38、 当1b时，函数 xf在R上有一个零点. 6 分 （2）方法一： xxfbaxg)(ln)(恒成立， , 1x 即xxbabxe ax 1) 1ln(ln ln 1) 1ln(ln ln xae ax 7 分 所以) 1( , 1) 1ln(ln ln xxxaxe ax 构造xexh x )(，所以01)( x exh， xh在R上单调递增 只需) 1ln(lnxax，即) 1ln(lnxxa恒成立 8 分 令) 1ln()(xxxu， 1 2 1 1 1)( x x x xu 9 分 当21 x时，0)( x u ，所以)(xu在1,2单调递减； 当2x时，0)( x u ，所以)(xu在
39、2,单调递增， 所以2)2( min uu，即2lna 11 分 又0a，所以 2 0ea . 12 分 方法二： 1x ，有 ln lnln11 xa eax ，则当2x时， 2 ln ln1 a ea 7 分 令 2 ln ln1 a aea ，所以 a在0,单调递减， 8 分 注意到 2 ()0e，所以 2 0ea .（必要性） 9 分 下面证明1 x ex（xR） 令 1 x xex ， 1 x xe 当0 x， 0 x，所以 x在0,上单调递增 当0 x， 0 x，所以 x在,0上单调递减 所以 010 0 min ex， 即对x R， 10 x xex ，即 1 x ex（xR）得
40、证. 因为1 xex，所以 ln ln1 x ex，即ln1xx，即0, 1lnxxx . 当 2 0ae时， ln2 1 lnln(1) 1ln(1) 11 xax eex axxx 11 分 ln lnln(1) 1 xa eax .（充分性） 12 分 方法三： xxfbaxg)(ln)( ，即 ln lnln(1) 1 xa exbabxx 恒成立 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 15 页页 （共（共 16 页）页） ln lnln(1) 1 xa eax 7 分 即1x ， ln ( )lnln(1) 10 xa
41、 aaex 恒成立， 8 分 注意到( )a在0a单调递增, 9 分 当 2 0ae时， 22 ( )()1ln(1)1 (1)(2)0 x aeexxx ， 所以( )0a 10 分 当 2 ae时， 22 ( )()1ln(1)( ) x aeexh x 注意到(2)0h，存在2x，使得( )0a，矛盾 11 分 综上， 2 0ae . 12 分 22解：（1）由题意可得： 222 2 3 =2c + ab a abc ，解得 2a， 3b ，1c 2 分 则椭圆方程为 22 1 43 xy 3 分 （2）设直线l的方程为1xty，设 11 ,A x y， 22 ,B x y 由 22 1
42、 1 43 xty xy ，整理得 22 34690tyty 12 2 12 2 6 34 9 34 t yy t y y t 4 分 椭圆E的左、右顶点分别为2,0P ，2,0Q， 直线PA方程为： 1 1 2 2 y yx x ， 又直线PA与直线4x交于点F，则 1 1 6 4, 2 y F x ， 5 分 因为 BQ k , QF k 都存在，所以要证B，Q，F三点共线，只需证 QFBQ kk 6 分 只需证 2 2 6 2 1 1 2 2 x y x y 只需证 3 3 1 1 1 1 2 ty y ty y 只需证 121221 333yytyyyty 只需证032 2121 yy
43、yty 漳州市漳州市 2021 届高三毕业班适应性测试（一届高三毕业班适应性测试（一） 数学试题数学试题 第第 16 页页 （共（共 16 页）页） 而0 43 6 3 43 9 232 22 2121 t t t tyyyty 故B，Q，F三点共线. 8 分 （3）由（2）可得 12 2 12 2 6 34 9 34 t yy t y y t 2 2 121212 2 1161 =4 2234 AOB t SOMyyyyy y t 10 分 令 2 1mt（1m），则 2 66 1 31 3 OAB m S m m m 令 1 3f mm m ，函数 f m在区间1,)单调递增， 即当1m，即0t 时，S取到最大值 3 2 . 12 分
