1、第 1 页（共 14 页） 2020-2021 学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）设 U1，2，3，4，5，A1，2，B1，4，5，则 A（UB）（ ） A1 B2 C1，2，3 D1，2，4，5 2 （5 分）命题“x（0，+） ，lnx1x”的否定是（ ） Ax（0，+） ，lnx1x Bx（0，+） ，lnx1x Cx
2、（0，+） ，lnx1x Dx（0，+） ，lnx1x 3（5 分） 在平面直角坐标系中， 角 的顶点与原点重合， 角 的始边与 x 轴非负半轴重合， 角 的终边经过点 P（3，4） ，则 cos（ ） A 3 5 B4 5 C 3 25 D 4 25 4 （5 分）sin16 3 的值等于（ ） A1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 5（5 分） 为了得到函数 ycos （3x1） 的图象， 只需把 ycos3x 的图象上的所有点 （ ） A向左平移 1 个单位 B向右平移 1 个单位 C向左平移1 3个单位 D向右平移1 3个单位 6 （5 分）函数 f（x）lnx+2x3 的零点
3、所在的一个区间是（ ） A(0， 1 2) B(1 2，1) C(1， 3 2) D(3 2，2) 7 （5 分）设 alog30.6，blog0.30.6，则（ ） Aaba+b0 Ba+b0ab Cab0a+b Da+bab0 8 （5 分）当生物死后，它体内的碳 14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率） ，大约每经 过 5730 年衰减为原来的一半 2010 年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材 料草裹泥） 上提取的草茎遗存进行碳14检测， 检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%， 以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（ ） （参考数据：log0.50.5520.8573
4、，log0.50.4481.1584） A2919 年 B2903 年 C4928 年 D4912 年 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全全部选对得部选对得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 第 2 页（共 14 页） 9 （5 分）设 a1，在下列函数中，图象经过定点（1，1）的函数有（ ） Ayxa Byax 1 Cylogax+1 Dyax3+1 10 （5 分）已知函数() = 2
5、(3 6)，则（ ） Af（x）的最大值是 2 Bf（x）的最小正周期为 3 Cf（x）在0， 6上是增函数 Df（x）的图象关于点( 6 ，0)对称 11 （5 分）下列命题中是假命题的是（ ） A “xA”是“xAB”的充分条件 B “ab”是“ac2bc2”的必要条件 C “mn”是“0.2m0.2n”的充要条件 D “”是“tantan”的充要条件 12 （5 分）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月 土地占地费 y1（单位：万元）与仓库到车站的距离 x（单位：km）成反比，每月库存货 物费 y2（单位：万元）与 x 成正比，若在距离车站 10km 处建
6、仓库，则 y1为 1 万元，y2 为 4 万元，下列结论正确的是（ ） A1= 1 By20.4x Cy1+y2有最小值 4 Dy1y2无最小值 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 f（x）lg（x1）+ 1 2的定义域是 14 （5 分）函数 f（x）2sin（x）+4sinxcos 的最大值是 15 （5 分）已知函数() = 3 ， 2 ( + 2)，2，则 f（log 32）的值等于 16 （5 分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价” 计 费方式如表：若某户居民本月交纳水
7、费为 66 元，则此户居民本月用水量为 每户每月用水量 水价 不超过 12m3的部分 3 元/m3 第 3 页（共 14 页） 超过 12m3但不超过 18m3的部分 6 元/m3 超过 18m3的部分 9 元/m3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 17 （10 分）已知 1 与 2 是三次函数 f（x）x3+ax+b（a，bR）的两个零点 （1）求 a，b 的值； （2）求不等式 ax2bx+10 的解集 18 （12 分）问题：是否存在二次函数 f（x）ax2+bx+c（a
8、0，b，cR）同时满足下列条 件：f（0）3，f（x）的最大值为 4，_？若存在，求出 f（x）的解析式；若不存在， 请说明理由在f（1+x）f（1x）对任意 xR 都成立，函数 yf（x+2）的图象 关于 y 轴对称，函数 f（x）的单调递减区间是1 2 ，+ )这三个条件中任选一个，补充 在上面问题中作答 19 （12 分）已知( 4 ) = 2 （1）求2 的值； （2）求1 2+2 12 的值 20 （12 分）已知函数() = 2 3+1 ( ) （1）判断 f（x）在 R 上的单调性，并证明你的结论； （2）是否存在 a，使得 f（x）是奇函数？若存在，求出所有 a 的值；若不存在
9、，请说明 理由 21 （12 分）如图 1，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里 慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图 2，某摩天轮最高点 Q 距离地面高度 AQ 为 110m，转盘直径为 100m，设置有 48 个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在 座舱转到距离地面最近的位置 P 进舱，转一周需要 30min （1）求游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到 10min 后距离地面的高度； （2）以轴心 O 为原点，与地面平行的直线为 x 轴，PQ 所在的直线为 y 轴建立直角坐标 系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 tmin 后距离地面的高度为 ym，求在转动
10、一周的 过程中，y 关于 t 的函数解析式； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面 的高度差 h（单位：m）关于 t 的函数解析式，并求高度差的最大值（结果精确到 0.1m） 第 4 页（共 14 页） 参考公式：sinsin2cos+ 2 sin 2 参考数据：sin 15 0.2079，sin 48 0.0654 22 （12 分）已知函数 f（x）logax（a0，且 a1） （1）若 0 x1x2，试比较(1+2 2 )与(1)+(2) 2 的大小，并说明理由； （2）若 a1，且 A（t，f（t） ） ，B（t+2，f（t+2） ） ，C（t
11、+4，f（t+4） ） （t2）三点在函 数 yf（x）的图象上，记ABC 的面积为 S，求 Sg（t）的表达式，并求 g（t）的值 域 第 5 页（共 14 页） 2020-2021 学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）设 U1，2，3，4，5，A1，2，B1，4，5，则 A（UB）（
12、） A1 B2 C1，2，3 D1，2，4，5 【解答】解：U1，2，3，4，5，A1，2，B1，4，5， UB2，3 则 A（UB）A1，22，31，2，3， 故选：C 2 （5 分）命题“x（0，+） ，lnx1x”的否定是（ ） Ax（0，+） ，lnx1x Bx（0，+） ，lnx1x Cx（0，+） ，lnx1x Dx（0，+） ，lnx1x 【解答】解：命题“x（0，+） ，lnx1x”的否定是“x（0，+） ，lnx1x” 故选：B 3（5 分） 在平面直角坐标系中， 角 的顶点与原点重合， 角 的始边与 x 轴非负半轴重合， 角 的终边经过点 P（3，4） ，则 cos（ ）
13、A 3 5 B4 5 C 3 25 D 4 25 【解答】解：角 的顶点与原点重合，角 的始边与 x 轴非负半轴重合， 角 的终边经过点 P（3，4） ，则 cos= 3 9+16 = 3 5， 故选：A 4 （5 分）sin16 3 的值等于（ ） A1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 【解答】解：sin16 3 =sin（5+ 3）sin 3 = 3 2 故选：D 5（5 分） 为了得到函数 ycos （3x1） 的图象， 只需把 ycos3x 的图象上的所有点 （ ） A向左平移 1 个单位 B向右平移 1 个单位 第 6 页（共 14 页） C向左平移1 3个单位 D向右平移1
14、 3个单位 【解答】解：只需把 ycos3x 的图象上的所有点向右平移1 3个单位， 即可得到函数 ycos（3x1）的图象， 故选：D 6 （5 分）函数 f（x）lnx+2x3 的零点所在的一个区间是（ ） A(0， 1 2) B(1 2，1) C(1， 3 2) D(3 2，2) 【解答】解：函数 f（x）的定义域为（0，+） ，其图象在定义域上为一条不间断的曲线， 且(1) = 10，(3 2) = 3 20， 由零点存在性定理可知，函数 f（x）在(1， 3 2)上存在定理 故选：C 7 （5 分）设 alog30.6，blog0.30.6，则（ ） Aaba+b0 Ba+b0ab
15、Cab0a+b Da+bab0 【解答】解：log30.6log310，a0， log0.30.6log0.310，b0， ab0， + = 1 + 1 = 1 30.6 + 1 0.30.6 =log0.63+log0.60.3log0.60.9， 又0log0.61log0.60.9log0.60.61， 0 + 1， aba+b0， 故选：A 8 （5 分）当生物死后，它体内的碳 14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率） ，大约每经 过 5730 年衰减为原来的一半 2010 年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材 料草裹泥） 上提取的草茎遗存进行碳14检测， 检测出碳14的残
16、留量约为初始量的55.2%， 以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（ ） （参考数据：log0.50.5520.8573，log0.50.4481.1584） A2919 年 B2903 年 C4928 年 D4912 年 【解答】解：根据题意可设原来量为 1，则经过 t 年后变成了 155.2%0.552， 第 7 页（共 14 页） 所以 1 (1 2) 5730=0.552， 两边取对数，得 5730 =log0.50.552， 解得 t0.857357304912， 49122010+12903， 以此推断此水坝建成的年代大概是公元前 2903 年 故选：B 二、选择题：本题共二、选择
17、题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对得全部选对得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）设 a1，在下列函数中，图象经过定点（1，1）的函数有（ ） Ayxa Byax 1 Cylogax+1 Dyax3+1 【解答】解：对于选项 A：当 x1 时，y1a1，所以选项 A 正确， 对于选项 B：当 x1 时，ya01，所以选项 B 正确， 对于选项 C：当 x1 时，yloga1+11，所以选项 C
18、正确， 对于选项 D：当 x1 时，ya+1，图象不经过定点（1，1） ，所以选项 D 错误， 故选：ABC 10 （5 分）已知函数() = 2(3 6)，则（ ） Af（x）的最大值是 2 Bf（x）的最小正周期为 3 Cf（x）在0， 6上是增函数 Df（x）的图象关于点( 6 ，0)对称 【解答】解：函数() = 2(3 6)的最大值为 2，故 A 正确； f（x）的最小正周期 T= 2 3 ，故 B 错误； 当 x0， 6时，3x 6 6， 3，所以 f（x）在0， 6上是增函数，故 C 正确； 因为 f（ 6）2sin（3 6 6）= 3，故 f（x）的图象不关于点( 6 ，0)对
19、称，故 D 错误 故选：AC 11 （5 分）下列命题中是假命题的是（ ） 第 8 页（共 14 页） A “xA”是“xAB”的充分条件 B “ab”是“ac2bc2”的必要条件 C “mn”是“0.2m0.2n”的充要条件 D “”是“tantan”的充要条件 【解答】解：因为 AB 是集合 A 的子集，故“xA”是“xAB”的必要条件，故选 项 A 为假命题； 当 ac2bc2时，则 ab，所以“ab”是“ac2bc2”的必要条件，故选项 B 为真命题； 因为 y0.2x是 R 上的减函数，所以当 mn 时，0.2m0.2n，故选项 C 为假命题； 当 30，300，但 tantan，故
20、选项 D 为假命题 故选：ACD 12 （5 分）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月 土地占地费 y1（单位：万元）与仓库到车站的距离 x（单位：km）成反比，每月库存货 物费 y2（单位：万元）与 x 成正比，若在距离车站 10km 处建仓库，则 y1为 1 万元，y2 为 4 万元，下列结论正确的是（ ） A1= 1 By20.4x Cy1+y2有最小值 4 Dy1y2无最小值 【解答】解：依题意设1= 1 ，y2k2x （k10，k20） ， （x0） ， 在距离车站 10km 处建仓库，则 y1为 1 万元，y2为 4 万元， 1 10 = 1，10k
21、24， 解得：k110，k20.4， 1= 10 ，y20.4x， （x0） ， y1+y2= 10 +0.4x 210 0.4 =4，当且仅当10 =0.4x 即 x5 时，等号成立， 所以选项 B，C 正确，选项 A 错误， 1 2= 10 0.4在（0，+）上单调递减，y1y2无最小值，选项 D 正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 f（x）lg（x1）+ 1 2的定义域是 （1，2）（2，+） 第 9 页（共 14 页） 【解答】解：函数() = ( 1) + 1 2的定义域为 10
22、 2 0， 解得 x1，且 x2 函数() = ( 1) + 1 2的定义域为（1，2）（2，+） 故答案为： （1，2）（2，+） 14 （5 分）函数 f（x）2sin（x）+4sinxcos 的最大值是 210 【解答】解：函数 f（x）2sin（x）+4sinxcos 2sinxcos2cosxsin+4sinxcos 6sinxcos2cosxsin = 210sin（x+） ， 因为 xR， 所以 sin（x+）1， 故 f（x） 210， 所以函数 f（x）的最大值为210 故答案为：210 15 （5 分）已知函数() = 3 ， 2 ( + 2)，2，则 f（log 32）的
23、值等于 18 【解答】解：根据题意，函数() = 3 ， 2 ( + 2)，2， 0log321，则 2+log322， 则 f（log32）f（2+log32）f（log318）= 3318=18， 故答案为：18 16 （5 分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价” 计 费方式如表：若某户居民本月交纳水费为 66 元，则此户居民本月用水量为 17m3 每户每月用水量 水价 不超过 12m3的部分 3 元/m3 超过 12m3但不超过 18m3的部分 6 元/m3 超过 18m3的部分 9 元/m3 【解答】解：设用水量为 xm3，水费为 y 元， 第 10 页
24、（共 14 页） 当 0 x12 时，y3x， 当 12x18 时，y123+（x12）66x36， 当 x18 时，y123+66+（x18）99x90， y= 3，0 12 6 36，12 18 9 90，18 ， 366672， 令 6x3666 得：x17， 即此户居民本月用水量为 17m3 故答案为：17m3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 17 （10 分）已知 1 与 2 是三次函数 f（x）x3+ax+b（a，bR）的两个零点 （1）求 a，b 的值； （2）求
25、不等式 ax2bx+10 的解集 【解答】解： （1）由函数的零点可得 f（x）0 的两个根为 1、2，则有1 + + = 0 8 + 2 + = 0， 解得 = 7 = 6 （2）由（1）知 a7，b6，代入不等式 ax2bx+10， 得7x26x+107x2+6x10（7x1） （x+1）0， 解得1x 1 7 故不等式 ax2bx+10 的解集为（1，1 7） 18 （12 分）问题：是否存在二次函数 f（x）ax2+bx+c（a0，b，cR）同时满足下列条 件：f（0）3，f（x）的最大值为 4，_？若存在，求出 f（x）的解析式；若不存在， 请说明理由在f（1+x）f（1x）对任意
26、xR 都成立，函数 yf（x+2）的图象 关于 y 轴对称，函数 f（x）的单调递减区间是1 2 ，+ )这三个条件中任选一个，补充 在上面问题中作答 【解答】解：由 f（0）3，可得 c3，则 f（x）ax2+bx+3， 若选择f（1+x）f（1x）对任意 xR 都成立， 可得 f（x）的对称轴为 x1，所以 2 =1， 第 11 页（共 14 页） 又 f（x）的最大值为 4，可得 a0 且 f（1）4，即 a+b+34， 解得 a1，b2， 此时 f（x）x2+2x+3； 若选择函数 yf（x+2）的图象关于 y 轴对称， 可得 f（x）关于 x2 对称，则 2 =2， 又 f（x）的最
27、大值为 4，可得 a0 且 f（2）4，即 4a+2b+34， 解得 a= 1 4，b1， 此时 f（x）= 1 4x 2+x+3； 若选择函数 f（x）的单调递减区间是1 2 ，+ )， 可得 f（x）关于 x= 1 2对称，则 2 = 1 2， 又 f（x）的最大值为 4，可得 a0 且 f（1 2）4，即 1 4a+ 1 2b+34， 解得 a4，b4， 此时 f（x）4x24x+3 19 （12 分）已知( 4 ) = 2 （1）求2 的值； （2）求1 2+2 12 的值 【解答】解： （1）因为( 4 ) = 2， 可得1 1+ = 2，可得 tan3，tan2= 2 12 = 3
28、 4， 可得2 = 3 4 3 = 1 4； （2）1 2+2 12 = 2+2 22 = 2+2 22 = 1 6 20 （12 分）已知函数() = 2 3+1 ( ) （1）判断 f（x）在 R 上的单调性，并证明你的结论； （2）是否存在 a，使得 f（x）是奇函数？若存在，求出所有 a 的值；若不存在，请说明 理由 【解答】解： （1）函数() = 2 3+1 ( )在 R 上是单调减函数 第 12 页（共 14 页） 证明如下： 在 R 上任取 x1，x2，令 x1x2， f（x1）f（x2）（ 2 31+1 ）（ 2 32+1 ） = 2(32+1)2(31+1) (31+1)(
29、32+1) = 2(3231) (31+1)(32+1)， x1x2，2（32 31）0，(31+ 1)(32+ 1)0， f（x1）f（x2）= 2(3231) (31+1)(32+1) 0， 函数() = 2 3+1 ( )在 R 上是单调减函数 （2）存在 a，使得 f（x）是奇函数 函数() = 2 3+1 ( )， f（x）f（x） ，即 2 3+1 a（ 2 3+1 ） ， 整理得：23 1+3 + 2 3+1 =2a， 解得 a1 21 （12 分）如图 1，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里 慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图 2，某摩天轮最高点
30、 Q 距离地面高度 AQ 为 110m，转盘直径为 100m，设置有 48 个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在 座舱转到距离地面最近的位置 P 进舱，转一周需要 30min （1）求游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到 10min 后距离地面的高度； （2）以轴心 O 为原点，与地面平行的直线为 x 轴，PQ 所在的直线为 y 轴建立直角坐标 系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 tmin 后距离地面的高度为 ym，求在转动一周的 过程中，y 关于 t 的函数解析式； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面 的高度差 h（单位：m）关于 t 的函数
31、解析式，并求高度差的最大值（结果精确到 0.1m） 参考公式：sinsin2cos+ 2 sin 2 参考数据：sin 15 0.2079，sin 48 0.0654 第 13 页（共 14 页） 【解答】解： （1）设 t0min 时，游客甲位于 P（0，50） ， 以 OP 为终边的角为 2， 根据摩天轮转一周大约需要 30min，可知座舱转动的速度约为 15 /， 由题意可得，= 50( 15 2) + 55（0t30） ， 当 t10 时，= 50( 15 10 2) + 55 = 50 6 + 55 = 80， 所以游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到 10min 后距离地面的高度为
32、80 米； （2）由（1）可得，y= 50( 15 2) + 55； （3）如图，甲，乙两人的位置分别用点 A，B 表示，则AOB= 2 48 = 24， 经过 tmin 后，甲距离地面的高度为1= 50( 15 2) + 55， 点 B 相对于 A 始终落后 24rad，此时乙距离地面的高度为2 = 50( 15 13 24 ) +55， 则甲、乙高度差为 h= |1 2| = 50|( 15 2) ( 15 13 24 )|， 利用 sinsin2cos+ 2 sin 2 ，可得 = 100| 48 ( 15 48)|，0 30， 当 15 48 = 2 或 3 2 ，即 t7.8 或 2
33、2.8， 所以 h 的最大值为100 48 6.5米， 所以甲乙两人距离地面的高度差的最大值约为 6.5 米 第 14 页（共 14 页） 22 （12 分）已知函数 f（x）logax（a0，且 a1） （1）若 0 x1x2，试比较(1+2 2 )与(1)+(2) 2 的大小，并说明理由； （2）若 a1，且 A（t，f（t） ） ，B（t+2，f（t+2） ） ，C（t+4，f（t+4） ） （t2）三点在函 数 yf（x）的图象上，记ABC 的面积为 S，求 Sg（t）的表达式，并求 g（t）的值 域 【解答】解：设 K= (1+2 2 ) (1)+(2) 2 = (1+2 2 ) 1
34、+2 2 = (1+2 2 ) 12= ( 1 2+ 2 1 2 )； 1 2+ 2 1 2 1， （0 x1x2） （1）对 a 进行讨论： 当 a1 时， K0， (1+2 2 ) (1)+(2) 2 ； 当 0a1 时， K0， (1+2 2 ) (1)+(2) 2 ； （2）分别过 A、B、C 作 x 轴垂线交 x 轴于 M、N、P，所以 S 等于两梯形面积和与大梯 形面积之差， Sg（t）= 1 2（f（t）+f（t+2） ） 2+ 1 2（f（t+2）+f（t+4） ） 2 1 2（f（t）+f（t+4） ） 42loga （t+2）loga（t）loga（t+4）= (+2) 2 (+4) = (1+ 4 (+4)， （t2） ； g（t）的值域为(0，(4 3)
