1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学 试卷试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）命题“x0RQ，x03Q”的否定是（ ） Ax0RQ，x03Q Bx0RQ，x03Q CxRQ，x3Q DxRQ，x3Q 2 （5 分）同时掷 3 枚硬币，至少有 1 枚正面向上的概率是（ ） A7 8 B5 8 C3 8 D
2、1 8 3 （5 分）过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则圆 柱的侧面积是（ ） A122 B12 C8 D10 4 （5 分）样本中共有五个个体，其值分别为 0，1，2，3，m若该样本的平均值为 1，则 其样本方差为（ ） A 10 5 B 30 5 C2 D2 5 （5 分）已知方程： 2 4 + 2 2 = 1，则“0m2”是“方程 C 表示焦点在 x 轴的椭圆” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）为了了解某县今年高考准备报考体育专业的学生的体重情况，将所得的学生体重 数据分组整理后
3、，画出了频率分布直方图（如图） ，已知图中从左到右的前 3 小组的频率 a，b，c 恰成等差数列，若抽取的学生人数是 48，则第 2 小组的频数为（ ） A6 B12 C18 D24 7 （5 分）在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论 第 2 页（共 17 页） 中不成立的是（ ） ABC平面 PDF BDF平面 PAE C平面 PDE平面 ABC D平面 PDF平面 PAE 8 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左焦点为 F1，若直线 l：ykx， 3 3 ，3与双曲线 C 交于 M、N 两点，且 MF1NF1，则双曲线
4、 C 的离心率的取值 范围是（ ） A （1，2） B2，2) C2，3 + 1 D(2，3 + 1 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9（5 分） 已知命题 p： 正四面体的任意一个面均为等边三角形， 则下列结论正确的是 （ ） A命题 p 的否定是假命题 B命题 p 是特称命题 C命题 p 是全称命题 D命题 p 既不是全
5、称命题也不是特称命题 10 （5 分）以下对概率的判断正确的是（ ） A在大量重复实验中，随机事件的概率是频率的稳定值 B从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为2 3 C甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，则玩一局甲不输的概率是1 3 D从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是1 2 11 （5 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左、右顶点 第 3 页（共 17 页） 分别为 A1、A2，P 为椭圆 C 上异于 A1、A2的任一点，则下列结论正确的有（ ） A椭圆 C 与椭圆 C： 2 2:1 + 2 2:1 =
6、1 有相同的焦点 B直线 PA1，PA2的斜率之积为 2 2 C存在点 P 满足|PF1|PF2|2a2 D若PF1F2为等腰直角三角形，则椭圆 C 的离心率为 2 2 或2 1 12 （5 分）系统找不到该试题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）我国古代数学名著九章算术有一抽样问题： “今有北乡若干人，西乡七千四 百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人， 问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有 人 14 （5 分）甲袋中有 1 个黄球和 1 个红球，乙袋中有 2 个
7、黄球和 2 个红球，球的大小，形 状完全相同，现随机从甲袋中取出 1 个球放人乙袋中，再从乙袋中随机取出 1 个球，则 从乙袋中取出的球是红球的概率是 15 （5 分）已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，A 为 C 上一点，线段 FA 的延长线交 x 轴于 B 点，若点 A 到 l：y1 的距离 d 等于 A 到 B 的距离，则|FB| 16 （5 分）球 O 的内接正四面体 ABCD 中，P、Q 分别为棱 AC、AD 上的点，过 PQ 作 平面 ，使得 AB、CD 与 平行，且 AB、CD 到 的距离分别为 1，2，则球 O 被平面 所截得的圆的面积是 四、解答题：共四、解答题：共 6
8、小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）有编号为 1，2，3 的三个小球和编号为 1，2，3 的三个盒子，将三个小球逐个 随机的放入三个盒子中，每个盒子放一个球，每只小球的放置是相互独立的 （1）共有多少种不同的放法？请列举出来； （2）求盒中放置的球的编号与所在盒的编号均不相同的概率 18 （12 分）某校期中考试高二化学学科采用新高考赋分模式，排名等级从高分到低分占比 分别是：A 等级 7%；B 等级 33%；C 等级 40%；D 等级 15%；E 等级 5%现随机抽取 100 名学生原始成绩（未赋分）进行
9、分析，其频率分布直方图如图所示 （1）求图中 a 的值； （2）以样本估计总体，估计本次化学成绩原始平均分及 C 等级最低原始分（结果保留整 数） 第 4 页（共 17 页） 19 （12 分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y（百千克）与某种液体肥料每 亩使用量 x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示 （1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请计算相关系 数 r 并加以说明（若|r|0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） ； （2）求 y 关于 x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产量 的增加量 y
10、约为多少？ 附：相关系数公式 r= =1 ()() =1 ()2 =1 ()2 = =1 =1 22 =1 22， 参考数据：0.3 0.55，0.9 0.95 回归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ， = 20（12 分） 如图， 四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 为菱形， AB2， BAD120， AA1平面 ABCD，且1= 3， （1）求证：AC1BD； （2）求二面角 BA1DA 的平面角的余弦值 第 5 页（共 17 页） 21 （12 分）如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱
11、形，PA底面 ABCD，E 是 PC 上 的一点，PE2EC，PC平面 BED，PA2， （1）求 AC 的长； （2）若平面 APB平面 CPB，试求 PB 与平面 PDC 所成角的正弦值 22 （12 分）过抛物线 C：y22px 上一点 P（1，2）作两条不同直线 l1，l2，且直线 l1，l2 与抛物线 C 的另外一个交点分别为 A，B （1）若直线 l1，l2的倾斜角互补，求证：直线 AB 的斜率为定值； （2）若直线 l1l2，且点 P 在直线 AB 上的射影为 D，问：是否存在定点 Q，使得|QD| 为定值？若存在，试求出 Q 点坐标及|QD|；若不存在，请说明理由 第 6 页（
12、共 17 页） 2020-2021 学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）命题“x0RQ，x03Q”的否定是（ ） Ax0RQ，x03Q Bx0RQ，x03Q CxRQ，x3Q DxRQ，x3Q 【解答】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题， 则命题“x0RQ，x03Q
13、”的否定是： “xRQ，x3Q” 故选：D 2 （5 分）同时掷 3 枚硬币，至少有 1 枚正面向上的概率是（ ） A7 8 B5 8 C3 8 D1 8 【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有 238 种结果， 满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有 1 种结果， 至少一次正面向上的概率是 1 1 8 = 7 8， 故选：A 3 （5 分）过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则圆 柱的侧面积是（ ） A122 B12 C8 D10 【解答】解：设圆柱的轴截面边长为 x， 则由 x28，解得 x
14、22， 所以圆柱的底面半径为2，母线长为 22， 所以圆柱的侧面积为： S圆柱侧2 2 22 =8 故选：C 第 7 页（共 17 页） 4 （5 分）样本中共有五个个体，其值分别为 0，1，2，3，m若该样本的平均值为 1，则 其样本方差为（ ） A 10 5 B 30 5 C2 D2 【解答】解：由已知 0，1，2，3，m 的平均值为 l，即有（0+1+2+3+m）51，易得 m 1 根据方差计算公式得 s2= 1 5 （11） 2+ （01）2+ （11）2+ （21）2+ （31）2=1 5 102 故选：D 5 （5 分）已知方程： 2 4 + 2 2 = 1，则“0m2”是“方程
15、C 表示焦点在 x 轴的椭圆” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若方程 C 表示焦点在 x 轴的椭圆，则 0m24， 解得：2m0 或 0m2， 故“0m2”是“方程 C 表示焦点在 x 轴的椭圆”充分不必要条件， 故选：A 6 （5 分）为了了解某县今年高考准备报考体育专业的学生的体重情况，将所得的学生体重 数据分组整理后，画出了频率分布直方图（如图） ，已知图中从左到右的前 3 小组的频率 a，b，c 恰成等差数列，若抽取的学生人数是 48，则第 2 小组的频数为（ ） A6 B12 C18 D24 【解答】 解： 已知
16、图中从左到右的前 3 小组的频率 a， b， c 恰成等差数列， 所以 2ba+c， 所以第 3b+0.0375+0.01250.2 解得 b0.05所以第二小组的频数为 4850.0512， 故选：B 7 （5 分）在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论 中不成立的是（ ） 第 8 页（共 17 页） ABC平面 PDF BDF平面 PAE C平面 PDE平面 ABC D平面 PDF平面 PAE 【解答】解：在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点， DFBC， DF平面 PDF，BC平面 PDF，BC平面 PDF，
17、故 A 正确； ABABPBPC，E 是 BC 中点， AEBC，PEBC， AEPEE，BC平面 PAE， DFBC，DF平面 PAE，故 B 正确； DF平面 PAE，DF平面 ABC，平面 PAE平面 ABC， 平面 PAE平面 PDEPE，且 PE 与平面 ABC 不垂直， 平面 PDE 与平面 ABC 不垂直，故 C 错误； DF平面 PAE，且 DF平面 PDF，平面 PDF平面 PAE，故 D 正确 故选：C 第 9 页（共 17 页） 8 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左焦点为 F1，若直线 l：ykx， 3 3 ，3与双曲线 C 交于 M、N 两点
18、，且 MF1NF1，则双曲线 C 的离心率的取值 范围是（ ） A （1，2） B2，2) C2，3 + 1 D(2，3 + 1 【解答】解：如图， 由直线 l：ykx， 3 3 ，3，可得直线 l 的倾斜角为 6， 3， MF1NF1，由对称性可得四边形 MF1NF2为矩形，则|MN|F1F2|2c， 则|ON|c，得 N（ccos，csin） ， 由 N 在双曲线上，可得 22 2 22 2;2 = 1， 整理可得：e4cos22e2+10 解得2= 1 1或 2 = 1 1+（舍） 6， 3，2 2 2 23 = 4 + 23 = (3 + 1)2， 即2 3 + 1； 又 3， 2;2
19、 2 3，即 c24a2，得 e= 2 双曲线 C 的离心率的取值范围是（2，3 + 1 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9（5 分） 已知命题 p： 正四面体的任意一个面均为等边三角形， 则下列结论正确的是 （ ） A命题 p 的否定是假命题 B命题 p 是特称命题 第 10 页（共 17 页） C命题 p 是全
20、称命题 D命题 p 既不是全称命题也不是特称命题 【解答】解：命题 p：正四面体的任意一个面均为等边三角形， 则：命题 p 的否定是假命题，命题 p 是全称命题； 故选：AC 10 （5 分）以下对概率的判断正确的是（ ） A在大量重复实验中，随机事件的概率是频率的稳定值 B从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为2 3 C甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，则玩一局甲不输的概率是1 3 D从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是1 2 【解答】解：对于 A，在大量重复实验中，由概率的古典定义知随机事件的概率是频率 的稳定值，故 A 正确； 对于 B， 从甲、 乙
21、、 丙三人中任选两名代表， 甲被选中的概率为 P= 1 1 2 1 3 2 = 2 3， 故 B 正确； 对于 C，甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏， 则玩一局甲不输的概率是 P1 3 33 = 2 3，故 C 错误； 对于 D，从三件正品、一件次品中随机取出两件， 则取出的产品全是正品的概率是 P= 3 2 4 2 = 1 2，故 D 正确 故选：ABD 11 （5 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左、右顶点 分别为 A1、A2，P 为椭圆 C 上异于 A1、A2的任一点，则下列结论正确的有（ ） A椭圆 C 与椭圆 C： 2 2:1 +
22、2 2:1 =1 有相同的焦点 B直线 PA1，PA2的斜率之积为 2 2 C存在点 P 满足|PF1|PF2|2a2 D若PF1F2为等腰直角三角形，则椭圆 C 的离心率为 2 2 或2 1 【解答】解：选项 A：在椭圆中由半焦距的求法可得：a2b2（a2+1）（b2+1） ，故 A 正确， 第 11 页（共 17 页） 选项 B：由已知 A1（a，0） ，A2（a，0） ，设 P（x，y） ， 则 k 1= +，2 = ，所以 k 1 2= 2 22 = 2(12 2) 22 = 2 2，故 B 正 确， 选项 C：由椭圆的定义可得|PF 1| + |2| = 2 2|1|2|， 所以|P
23、F1|PF2|a2，当且仅当|PF1|PF2|时取等号，故 C 错误， 选项 D：若 P 为直角顶点，则有2 = 2，所以离心率 e= = 2 2 ， 若点 F1或 F2为直角顶点，|PF 1| = 2 =2c，则离心率 e= 2 1，故 D 正确， 故选：ABD 12 （5 分）系统找不到该试题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）我国古代数学名著九章算术有一抽样问题： “今有北乡若干人，西乡七千四 百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人， 问北乡人数几何？”依分层抽样的方法
24、，则北乡共有 8100 人 【解答】解：设北乡共有 x 人，根据分层抽样原理知 :7488:6912 = 108 300， 解得 x8100 故答案为：8100 14 （5 分）甲袋中有 1 个黄球和 1 个红球，乙袋中有 2 个黄球和 2 个红球，球的大小，形 状完全相同，现随机从甲袋中取出 1 个球放人乙袋中，再从乙袋中随机取出 1 个球，则 从乙袋中取出的球是红球的概率是 1 2 【解答】 解： 先从甲袋中取出 1 个球放入乙袋， 再从乙袋出 1个球的总数为n= 2 151 =10， 取出红球的总数为 m= 1 131 + 1 121 =5， 所以乙袋中取出红球的概率为 P= = 5 1
25、0 = 1 2 故答案为：1 2 15 （5 分）已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，A 为 C 上一点，线段 FA 的延长线交 x 轴于 B 点，若点 A 到 l：y1 的距离 d 等于 A 到 B 的距离，则|FB| 3 【解答】解：由抛物线的方程可得 F（0，1） ， 第 12 页（共 17 页） 由抛物线的定义可得|AF|AB|，所以点 A 为 BF 的中点， 设 B（m，0） ，所以点 A 的坐标为（ 2 ， 1 2） ， 代入抛物线方程可得：m= 22， 所以|BF|=(22)2+ 12= 3， 故答案为：3 16 （5 分）球 O 的内接正四面体 ABCD 中，P、Q 分别为
26、棱 AC、AD 上的点，过 PQ 作 平面 ，使得 AB、CD 与 平行，且 AB、CD 到 的距离分别为 1，2，则球 O 被平面 所截得的圆的面积是 13 2 【解答】解：如图所示，将正四面体 ABCD 放入一个正方体中， 因为 AB、CD 到 的距离分别为 1，2， 所以 AB、CD 到 的距离之和为 3， 故直线 AB 到直线 CD 的距离为 3， 因为 BHAB，BHCD， 故 BH3，即正方体的棱长为 3， 因为球心是正方体的中心， 故球心 O 到平面 的距离为 d= 1 2， 又球的直径 2R= 32+ 32+ 32= 33， 所以所截得的截面圆的半径 r= 2 2=(3 3 2
27、 )2 (1 2) 2 = 26 2 ， 故球 O 被平面 所截得的圆的面积为 = 2= ( 26 2 )2= 13 2 故答案为：13 2 四、解答题：共四、解答题：共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第 13 页（共 17 页） 17 （10 分）有编号为 1，2，3 的三个小球和编号为 1，2，3 的三个盒子，将三个小球逐个 随机的放入三个盒子中，每个盒子放一个球，每只小球的放置是相互独立的 （1）共有多少种不同的放法？请列举出来； （2）求盒中放置的球的编号与所在盒的编号均不相同的概率 【解答】解： （1）共
28、有六种不同的放法，按盒子号 1，2，3 的顺序放入小球的情况为： 1，2，3；1，3，2；2，3，1；2，1，3；3，1，2；3，2，1； （2）设所求事件为 A，则 A 包含有 2，3，1；3，1，2 两个基本事件并且每个基本事件 等可能， 故() = 2 6 = 1 3 18 （12 分）某校期中考试高二化学学科采用新高考赋分模式，排名等级从高分到低分占比 分别是：A 等级 7%；B 等级 33%；C 等级 40%；D 等级 15%；E 等级 5%现随机抽取 100 名学生原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示 （1）求图中 a 的值； （2）以样本估计总体，估计本次化学成绩
29、原始平均分及 C 等级最低原始分（结果保留整 数） 【解答】解： （1）由频率分布直方图及频率之和为 1 可得： = 1(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)10 10 = 0.030， （2）原始平均分 = 45 0.1 + 55 0.15 + 65 0.15+ 75 0.3 + 85 0.25 + 95 0.05 = 71， 设C等级最低分为x， 由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为7%+33%+40%80%， 则有： （0.005+0.025+0.03+0.015）10+（60 x）0.0150.8， 解得 x57， 则 C 等级的最低原始分约为 57 19 （
30、12 分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y（百千克）与某种液体肥料每 第 14 页（共 17 页） 亩使用量 x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示 （1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请计算相关系 数 r 并加以说明（若|r|0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） ； （2）求 y 关于 x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产量 的增加量 y 约为多少？ 附：相关系数公式 r= =1 ()() =1 ()2 =1 ()2 = =1 =1 22 =1 22， 参考数据：0.3 0.55，0.9 0
31、.95 回归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ， = 【解答】解： （1）由已知数据可得 = 2+4+5+6+8 5 = 5， = 3+4+4+4+5 5 = 4 5 1 ( )( ) =（3）（1）+（1）0+00+10+316， 5 1 ( )2= (3)2+ (1)2+ 02+ 12+ 32= 25， 5 1 ( )2= (1)2+ 02+ 02+ 02+ 12= 2， 相关系数 = 5 =1 ()() 5 =1 ()2 5 =1 ()2 = 6 252 = 9 10 0.95 r0.75，可用线性回归模型拟合
32、 y 与 x 的关系； （2） = 5 =1 ()() 5 =1 ()2 = 6 20 = 0.3 = = 4 5 0.3 = 2.5 回归方程为 = 0.3 + 2.5 当 x12 时， = 0.2 12 + 2.5 = 6.1， 即当液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产量的增加量约为 6.1 百千克 20（12 分） 如图， 四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 为菱形， AB2， BAD120， 第 15 页（共 17 页） AA1平面 ABCD，且1= 3， （1）求证：AC1BD； （2）求二面角 BA1DA 的平面角的余弦值 【解答】解： （l）证明：连 AC
33、，BD，A1C1，B1D1，分别交于 O，O1， 以 O 为坐标原点，OB 所在直线为 x 轴，OC 所在直线为 y 轴，OO1、所在直线为 z 轴， 建立如图所示的直角坐标系， 则 A（0，1，0） ，1(0，1，3)，(3，0，0)，(3，0，0)， 故1 = (0，2，3)， = (23，0，0)， 1 = 0，故1 ，则 AC1BD （2）1(0， 1，3)，1 = (3，1， 3)， = (23，0，0)， 设面 BDA1的法向量 1= (， = )， 则3 + = 0 = 0 ，解得 1= (0， 3 ，1) 同法可求得面 AA1D 的法向量 2= (1， 3 ，0)， | = |
34、 1 2 | 1| 2| | = 3 4， 故所求二面角的平面角的余弦值为3 4 21 （12 分）如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，E 是 PC 上 的一点，PE2EC，PC平面 BED，PA2， （1）求 AC 的长； 第 16 页（共 17 页） （2）若平面 APB平面 CPB，试求 PB 与平面 PDC 所成角的正弦值 【解答】解： （1）设 ACBDF，连接 EF， PC面 BD，EF面 BDE， PCEF，则PACFEC， 设 AC2a，则 CFa， = 1 3 = 4+42 3 ， = ，即 = 2， = 22 （2）过点 A 作 AGPB
35、 于 G，面 APBCPB，且 APB面 CPBPB， 故 AG面 PBC，又BC面 PBC， BCAG，又BCPA，且 AGPAA，AG面 PAB，PA面 PAB， BC面 PAB，AB平面 PAB，BCAB， 四边形 ABCD 为正方形，故 AB2， 设点 B 到面 PCD 的距离为 d， ABCD，AB面 PCD 内， 点 A 到面 PCD 的距离即为点 B 到面 PCD 的距离， 可得 = 2， = = 1 2， 故 PB 与面 PCD 所成角的正弦值为1 2 22 （12 分）过抛物线 C：y22px 上一点 P（1，2）作两条不同直线 l1，l2，且直线 l1，l2 第 17 页（
36、共 17 页） 与抛物线 C 的另外一个交点分别为 A，B （1）若直线 l1，l2的倾斜角互补，求证：直线 AB 的斜率为定值； （2）若直线 l1l2，且点 P 在直线 AB 上的射影为 D，问：是否存在定点 Q，使得|QD| 为定值？若存在，试求出 Q 点坐标及|QD|；若不存在，请说明理由 【解答】 （1）证明：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 P（1，2）在抛物线上， 得 222p，p2，抛物线为 y24x， 所以= 12 11 = 12 1 21 = 4 1+2，同理 = 4 2+2， 由已知+ = 4 1+2 + 4 2+2 = 4(1+2+4) (1+2)(2+2) = 0，则 y1+y24， 所以= 4 1+2 = 1为定值，得证 （2）解：设直线 B：xmy+n， 联立 = + 2= 4 ，有 y24my4n0，1 + 2= 4 12= 4 ， 由 PAPB 有 4 1:2 4 2:2 = 1，y1y2+2（y1+y2）+200， 解得 n2m+5，则直线 AB：xmy+2m+5 过定点 R（5，2） ， 所以| = 42，取 PR 的中点 Q（3，0） ， 则在直角三角形 PDR 中，| = 1 2| = 22为定值
