1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年湖南省郴州市高二（上）期末数学试卷学年湖南省郴州市高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 ）有一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）设i为虚数单位，复数12zi ，则| (z ) A3 B5 C5 D34i 2 （5 分）已知等差数列 n a中， 28 18aa，则 5 (a ) A7 B11 C9 D18 3 （5 分） “02x”是“23x ”的( ) A充分不必要条件
2、 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭 圆的面积公式， 设椭圆的长半轴长、 短半轴长分别为a，b， 则椭圆的面积公式为Sab 若 椭圆的离心率为 1 2 ，面积为2 3，则椭圆的标准方程为( ) A 2 2 1 4 x y或 2 2 1 4 y x B 22 1 43 xy 或 22 1 43 yx C 22 1 63 xy 或 22 1 63 yx D 22 169 xy 或 22 1 916 xy 5 （5 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 3 A ，3a ，
3、3b ， 则(c ) A3 B33 C3 D2 3 6 （5 分）下列可能是函数 2 ( )() xx f xx ee的图象的是( ) A B C D 7 （5 分） 九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题： “衰分”是按比例递减分配的意 第 2 页（共 16 页） 思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”如：甲、乙、丙、丁“衰分”得 100，60， 36，21.6 个单位，衰分比为40%，今共有粮(0)m m 石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰 分” ，衰分比为20%，已知乙衰分得 100 石，则丁衰分得( ) A90 石 B80 石 C51.2 石 D64 石 8 （5 分）设动直线xm
4、与函数 2 ( )f xx，( )2g xlnx的图象分别交于M，N，则|MN的 最小值为( ) A 1 2 B1 C12ln D12ln 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列命题正确的是( ) A若ab，bc，则ac B若ab，则 22 acbc C若ab，cd，则acbd D若ab，cd，则acbd 10 （5
5、 分）已知等轴双曲线C过点(2,1)，则下列结论正确的是( ) A双曲线C的方程为 22 3xy B双曲线C的离心率为2 C焦点到渐近线的距离为3 D双曲线C的焦距为2 11 （5 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，下列结论正确的是( ) A异面直线AC与 1 BC所成的角为 3 B 1 DA是平面 11 ABC D的一个法向量 C二面角 1 ABCB的正切值为 2 2 D正方体 1111 ABCDABC D的外接球的体积为 3 2 12 （5 分）已知函数 32 1 ( )2 3 f xxx在区间(2,3)aa上存在最小值，则整数a可以取 ( ) A2 B1 C0
6、D1 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 1 ( ) 2 f x x 的定义域为 14 （5 分）已知向量(2a ，1，3)，( 4b ，2，) x，若ab，则x 第 3 页（共 16 页） 15 （5 分）已知命题:1px ，2， 2 0 xa ，命题:qxR ， 2 240 xax若命题p 和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是 16 （5 分） 已知过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F， 斜率为 3 3 的直线交抛物线于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点， 且| 16A
7、B ， 则p ； 若直线(1)yxk与抛物线C相交于M， N两点，满足| 2|FMFN，则k 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在 1 1a ， 2 152 a aa； 3 9S ， 5 25S ； 2 n Sn这三个条件中任选一 个补充在下面的问题中 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且公差0d ，若_， （）求数列 n a的通项公式； （）记 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）在锐角ABC中，已知内角A
8、，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 2 sin3( coscos)aAcBbC （）求角A； （）若ABC的面积为3，且5bc，求a 19 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 6 CAD ， 且1A D C D， 3 2 2 PA，ABC 和PBC均是等边三角形，O为BC的中点 （）求证：PO 平面ABCD； （）求CB与平面PBD所成角的正弦值 20 （12 分）垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从 而转变成公共资源的一系列活动的总称 分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值， 力 第 4 页（共 16 页） 争物尽其用垃圾分类后，大部分运往垃圾
9、处理厂进行处理为了净化环境，保护水资源， 某化工企业在 2020 年底投入 100 万元购入一套污水处理设备 该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每 年的维护费都比上一年增加 2 万元 （）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元） ； （） 问： 该企业污水处理设备使用几年年平均污水处理费用最低？最低年平均费用是多少 万元？ 21 （12 分）已知函数( ) x f xxlnxaea，其中aR （）当0a 时，求函数在(e，f（e）)处的切线方程； （）若函数( )f x在定义域内单调递减，求实数a的取值
10、范围 22 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，左、右顶点分别 为 1( 2A ，0)， 2( 2 A，0)，P为椭圆上的动点（不与 1 A， 2 A重合） ，且直线 1 PA与 2 PA的 斜率的乘积为 1 2 （）求该椭圆的方程； （）已知( 4,0)Q ，过Q的直线与椭圆交于D，E两点，求 1 DEF面积的最大值 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年湖南省郴州市高二（上）期末数学试卷学年湖南省郴州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 8
11、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 ）有一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）设i为虚数单位，复数12zi ，则| (z ) A3 B5 C5 D34i 【解答】解：12zi ， 22 |125z 故选：C 2 （5 分）已知等差数列 n a中， 28 18aa，则 5 (a ) A7 B11 C9 D18 【解答】解：因为数列 n a为等差数列， 所以 285 218aaa， 所以 5 9a 故选：C 3 （5 分） “02x”是“23x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充
12、要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： “02x”可以推出“23x ” ， “23x ”不可以推出“02x” ，比如1x ， 故“02x”是“23x ”的充分不必要条件， 故选：A 4 （5 分）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭 圆的面积公式， 设椭圆的长半轴长、 短半轴长分别为a，b， 则椭圆的面积公式为Sab 若 椭圆的离心率为 1 2 ，面积为2 3，则椭圆的标准方程为( ) A 2 2 1 4 x y或 2 2 1 4 y x B 22 1 43 xy 或 22 1 43 yx C 22 1 63 xy 或 22 1 63 yx D 22 1
13、69 xy 或 22 1 916 xy 第 6 页（共 16 页） 【解答】解：因为离心率为 1 2 ，则有 1 2 c e a ， 所以2ac， 又椭圆的面积为2 3Sab， 所以2 3ab ， 又 222 abc， 解得 2 4a ， 2 3b ， 故椭圆的方程为 22 1 43 xy 或 22 1 43 yx 故选：B 5 （5 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 3 A ，3a ，3b ， 则(c ) A3 B33 C3 D2 3 【解答】解：因为 3 A ，3a ，3b ， 所 以 由 余 弦 定 理 222 2c o sabcb cA， 可 得 2 1
14、9323 2 cc ， 整 理 可 得 2 360cc， 解得2 3c ，或3（舍去） 故选：D 6 （5 分）下列可能是函数 2 ( )() xx f xx ee的图象的是( ) A B C D 【解答】解： 22 ()() ()()( ) xxxx fxxeex eef x ， 第 7 页（共 16 页） 所以( )f x是R上的奇函数，故可排除AB， 而 200 (0)0 ()0fee，说明图象过坐标原点， 故选：C 7 （5 分） 九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题： “衰分”是按比例递减分配的意 思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”如：甲、乙、丙、丁“衰分”得 100，60
15、， 36，21.6 个单位，衰分比为40%，今共有粮(0)m m 石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰 分” ，衰分比为20%，已知乙衰分得 100 石，则丁衰分得( ) A90 石 B80 石 C51.2 石 D64 石 【解答】解：由题意，衰分比为20%，且乙衰分得 100 石， 设丙衰分得x石，则80% 100 x ，得80 x ； 再设丙衰分得y石，则80% 80 y ，得64y 石 故选：D 8 （5 分）设动直线xm与函数 2 ( )f xx，( )2g xlnx的图象分别交于M，N，则|MN的 最小值为( ) A 1 2 B1 C12ln D12ln 【解答】解：根据题意可得 2
16、( ,)M m m，( ,2)N mlnm， 所以 2 |2(0)MNmlnm m 设 2 ( )2(0)h mmlnm m 2 22(1) ( )2(0) m h mmm mm ， 所以当(0,1)m时，( )0h m，( )h m单调递减， 当(1,)m时，( )0h m，( )h m单调递增， 所以( )minh mh（1）1， 所以|MN的最小值为 1 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分
17、，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 第 8 页（共 16 页） 9 （5 分）下列命题正确的是( ) A若ab，bc，则ac B若ab，则 22 acbc C若ab，cd，则acbd D若ab，cd，则acbd 【解答】解：A若ab，bc，则ac，正确； Bab，则 22 acbc，0c 时不成立，因此不正确 Cab，cd，则acbd，正确； D若ab，cd，则acbd不一定正确 故选：AC 10 （5 分）已知等轴双曲线C过点(2,1)，则下列结论正确的是( ) A双曲线C的方程为 22 3xy B双曲线C的离心率为2 C焦点到渐近线的距离为3 D双曲
18、线C的焦距为2 【解答】解：设等轴双曲线C的方程为 22 xym， 过点(2,1)， 22 21m，解得3m ， 双曲线C的方程为 22 3xy，即选项A正确； 3ab，6c ， 离心率2 c e a ，即选项B正确； 不妨取焦点( 6，0)到渐近线yx的距离为 |60| 3 2 ，即选项C正确； 焦距为22 6c ，即选项D错误 故选：ABC 11 （5 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，下列结论正确的是( ) A异面直线AC与 1 BC所成的角为 3 B 1 DA是平面 11 ABC D的一个法向量 C二面角 1 ABCB的正切值为 2 2 D正方体 1111 A
19、BCDABC D的外接球的体积为 3 2 【解答】解：选项A，连接 1 AD， 1 CD， 第 9 页（共 16 页） 11 / /ADBC， 1 CAD为异面直线AC与 1 BC所成的角， 1 ACD为等边三角形， 1 3 CAD ， 异面直线AC与 1 BC所成的角为 3 ，即选项A正确； 选项B，由正方体的性质，知AB 平面 11 ADD A， 1 ABDA， 又 11 ADDA， 1 ABADA，AB、 1 AD 平面 11 ABC D， 1 DA平面 11 ABC D， 1 DA是平面 11 ABC D的一个法向量，即选项B正确； 选项C，设 11 BCCBO，连接OA，则O为 1
20、BC的中点， 1 OBBC，由正方体的性质，知AB 平面 11 BCC B， AOB为二面角 1 ABCB的平面角， 在Rt ABO中， 2 tan2 ABOB AOB OBOB ，即选项C错误； 选项D，正方体 1111 ABCDABC D的体对角线为3， 设其外接球的半径为R，则23R ， 3 2 R， 外接球的体积 3 433 () 322 V，即选项D正确 故选：ABD 12 （5 分）已知函数 32 1 ( )2 3 f xxx在区间(2,3)aa上存在最小值，则整数a可以取 ( ) A2 B1 C0 D1 【解答】解：由 32 1 ( )2 3 f xxx，得 2 ( )2(2)f
21、xxxx x， 故( )f x在(, 2) ，(0,)上是增函数， 在( 2,0)上是减函数，作出其大致图象如图所示， 第 10 页（共 16 页） 令 32 1 22 3 xx ，得0 x 或3x ， 则结合图象可知， 320 30 a a ， 解得： 1a ，2)，又aZ， a可以取1，0，1 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 1 ( ) 2 f x x 的定义域为 (2,) 【解答】解：要使函数 1 ( ) 2 f x x 有意义， 只需20 x ， 解得2x ， 则函数 1 ( ) 2
22、f x x 的定义域为(2,) 故答案为：(2,) 14 （5 分）已知向量(2a ，1，3)，( 4b ，2，) x，若ab，则x 10 3 【解答】解：向量(2a ，1，3)，( 4b ，2，) x，ab，则8230a bx ， 解得 10 3 x ， 故答案为10 3 15 （5 分）已知命题:1px ，2， 2 0 xa ，命题:qxR ， 2 240 xax若命题p 和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是 (，2 【解答】解：因为1x ，2， 2 0 xa ，则有 2 a x对1x ，2恒成立， 第 11 页（共 16 页） 所以 2 ()1 min ax， 因为xR ， 2 24
23、0 xax，则有 2 ( 2 )44 0a ，解得2a或2a， 因为命题p和命题q都是真命题， 所以有 1 22 a aa 或 剠 ，解得2a， 故实数a的取值范围是(，2 故答案为：(，2 16 （5 分） 已知过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F， 斜率为 3 3 的直线交抛物线于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点， 且| 16AB ， 则p 2 ； 若直线(1)yxk与抛物线C相交于M， N两点，满足| 2|FMFN，则k 【解答】解：由已知设直线的方程为： 3 () 32 p yx，代入抛物线方程可得： 22 4280 xpxp，则 12 7xxp，
24、所以由 12 |816ABxxpp，解得2p ， 所以抛物线的方程为： 2 4yx， 设 3 (M x， 3) y， 4 (N x， 4) y， 因为| 2|FMFN，则由抛物线的定义可得： 34 12(1)xx ，即 43 21xx， 34 2yy， 又 2 33 4yx， 2 44 4yx，所以 34 4xx， 所以解得 3 2x ， 3 2 2y ， 所以 3 3 2 2 13 y x k， 故答案为：2， 2 2 3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在
25、1 1a ， 2 152 a aa； 3 9S ， 5 25S ； 2 n Sn这三个条件中任选一 个补充在下面的问题中 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且公差0d ，若_， 第 12 页（共 16 页） （）求数列 n a的通项公式； （）记 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （）若选： 1 1a ， 2 152 a aa；设公差为d， 则 2 111 (4 )()aadad， 即 2 14(1)dd，解得2d 所以21 n an 若选时， 3 9S ， 5 25S ； 所以 1 1 339& 54 525& 2 ad ad ，解得 1
26、 1a ，2d ， 所以21 n an 若选： 2 n Sn， 所以 22 1 (1)21 nnn aSSnnn ， （）由（）得： 1 11111 () (21)(21)2 2121 n nn b a annnn ， 所以 11111111 (1)(1) 2335212122121 n n T nnnn 18 （12 分）在锐角ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 2 sin3( coscos)aAcBbC （）求角A； （）若ABC的面积为3，且5bc，求a 【解答】解： （）因为2 sin3( coscos)aAcBbC， 由正弦定理可得2sinsin3(sinco
27、ssincos)3sin()3sinAACBBCBCA， 因为(0,) 2 A ，sin0A ， 所以 3 sin 2 A，可得 3 A （）由于 1 sin 2 ABC SbcA ，可得 13 3 22 bc，解得4bc ， 又5bc， 第 13 页（共 16 页） 所以 2222 ()252417bcbcbc， 所以由余弦定理可得 222 1 2cos172413 2 abcbcA ，可得13a 19 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 6 CAD ， 且1A D C D， 3 2 2 PA，ABC 和PBC均是等边三角形，O为BC的中点 （）求证：PO 平面ABCD； （）求C
28、B与平面PBD所成角的正弦值 【解答】 （）证明：在ACD中，由已知可得3AC ， 因为ABC，PBC均为边长是3的等边三角形，且O为BC的中点， 所以OABC，OPBC，且 3 2 OAOP， 在PAO中，已知 3 2 2 PA，则有 222 POOAPA， 所以OPOA， 又因为OABCO，OA 平面ABCD，BC 平面ABCD， 所以OP 平面ABCD； （）解：以O为坐标原点，OA，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直 角坐标系， 则 3333 (0,0, ), (0,0),(0,0),(1,0) 2222 PBCD， 所以 3 (0, 3,0),(1, 3,0),(0,
29、1, 3) 2 BCBDBP， 设平面PBD的法向量为( , , )nx y z， 则 0 0 BP n BD n ，即 30 30 xy yz ， 第 14 页（共 16 页） 则(3,3,1)n ， 所以 |39 sin|cos,| 13| BC n BC n BCn ， 故CB与平面PBD所成角的正弦值为 39 13 20 （12 分）垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从 而转变成公共资源的一系列活动的总称 分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值， 力 争物尽其用垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理为了净化环境，保护水资源， 某化工企业在 2020
30、年底投入 100 万元购入一套污水处理设备 该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每 年的维护费都比上一年增加 2 万元 （）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元） ； （） 问： 该企业污水处理设备使用几年年平均污水处理费用最低？最低年平均费用是多少 万元？ 【解答】解： （）由题意得，该企业使用该设备每年的维护费是以 2 为首项，2 为公差的 等差数列， 所以使用该设备x年的维护费为 2 (1) 22 2 x x xxx （万元） ， 则总费用为1000.5(2462 )xx万元， 所以 2 1000
31、.5100 1.5(*) xxx yxxN xx （） 100100 1.5 21.521.5yxx xx ， 第 15 页（共 16 页） 当且仅当 100 x x ，即10 x 时，等号成立， 此时y取得最小值，为 21.5 万元， 故该企业污水处理设备使用 10 年年平均污水处理费用最低，最低年平均费用是 21.5 万元 21 （12 分）已知函数( ) x f xxlnxaea，其中aR （）当0a 时，求函数在(e，f（e）)处的切线方程； （）若函数( )f x在定义域内单调递减，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当0a 时，( )f xxlnx，则f（e）e，( )1fxl
32、nx， 函数在(e，f（e）)处的切线斜率fk（e）2， 切线方程为2()yexe，即20 xye； （2）函数( )f x的定义域为(0,)，( )1 x fxlnxae ， ( )f x在(0,)内是减函数， ( )10 x fxlnxae 在(0,)内恒成立， 1 x lnx a e 在(0,)内恒成立， 令 1 ( ) x lnx g x e ，则 1 1 ( ) x lnx x g x e ， 由函数 1 y x 和ylnx 在(0,)上递减可知， 函数 1 ( )1h xlnx x 在(0,)单调递减，且h（1）0， (0,1)x 时，( )0g x，即( )g x在(0,1)单调
33、递增， (1,)x时，( )0g x，即( )g x在(1,)单调递减， 故 1 ( )(1) max g xg e ， 1 a e ， 即a的取值范围为 1 ,) e 22 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，左、右顶点分别 为 1( 2A ，0)， 2( 2 A，0)，P为椭圆上的动点（不与 1 A， 2 A重合） ，且直线 1 PA与 2 PA的 斜率的乘积为 1 2 （）求该椭圆的方程； 第 16 页（共 16 页） （）已知( 4,0)Q ，过Q的直线与椭圆交于D，E两点，求 1 DEF面积的最大值 【解答】解： （）设
34、( , )P x y，由题意得 1 222 yy xx ， 化简得椭圆的方程为 2 2 1(2) 2 x yx （）根据题意可知直线DE的斜率存在，且不为 0， 设 1 (D x， 1) y， 2 (E x， 2) y，直线DE的方程为4xty， 代入椭圆方程整理得 22 (2)8140tyty， 则 222 ( 8 )4 14(2)8(14)ttt ， 0，所以 2 14t ， 12 22 88 22 tt yy tt ， 12 2 14 2 y y t 222 121212 |1|1()4DEtyytyyy y 2 222 222 8142 214 1()41 222 tt tt ttt ， 焦点 1( 1,0) F 到DE的距离为 2 3 1 d t ， 则 1 2 2 3 214 2 DEF t S t ， 设 2 14mt，则 1 2 3 23 23 2 16 168 DEF m S m m m ， 当且仅当 16 m m ，即4m 时，取等号， 故 1 DEF的面积为 3 2 8
