1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（理科）学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）命题“ 1 0,1xlnx x ”的否定是( ) A 00 0 1 0,1xlnx x B 00 0 1 0,1xlnx x 剠 C 00 0 1 0,1xlnx x D 00 0 1 0,1xlnx x 2 （3 分）设ab，0c ，则下列结论中正确的是( ) A cc ab B 22 acbc C 11 ac
2、bc D|a cb c 3 （3 分）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得 到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆C的中心为原 点，焦点 1 F， 2 F在x轴上，椭圆C的面积为2 3，且离心率为 1 2 ，则C的标准方程为( ) A 22 1 43 xy B 2 2 1 12 x y C 22 1 34 xy D 22 1 163 xy 4 （3 分）下列说法正确的是( ) A “若函数( )f x是奇函数，则(0)0f”的逆否命题是真命题 B命题“若 2 320 xx，则1x ”的逆命题是假命题 C若p为真命题，q为假命题，则()p
3、q 为真命题 D命题“若 2 10 x ，则1x 或1x ”的否命题是“若 2 10 x ，则1x 或1x ” 5 （3 分）已知1， 1 a， 2 a，4成等差数列，1， 1 b， 2 b， 3 b，4成等比数列，则 21 2 aa b 等于( ) A 1 2 B 1 4 C 1 2 D 1 2 或 1 2 6 （3 分）若0a ，0b ，则“4ab ”是“4ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7 （3 分）直三棱柱 111 ABCABC中，90BCA，M，N分别是 11 AB， 11 AC的中点， 1 BCCACC，则BM与AN所成角
4、的余弦值为( ) A 1 10 B 2 5 C 30 10 D 2 2 第 2 页（共 17 页） 8 （3 分）设0a ，0b ，若 3 是3a与 2 3 b的等比中项，则2 1 ab 的最小值为( ) A4 B5 C6 D7 9 （3 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，点E，F分别是AB， 1 CC的中点，则直线 1 AE与 平面 11 B D F所成角的正弦值是( ) A 15 5 B 15 10 C 5 5 D 30 10 10 （3 分）抛物线 2 4yx的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点， 当FPM为等边三角形时，其面积为( ) A2 3 B4 C6
5、 D4 3 11 （3 分）已知数列 n a是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， n b是以 1 为首项，2 为公 比的等比数列，设 n nb ca， 12nn Tccc， * ()nN，则当2019 n T 时，n的最小值 是( ) A9 B10 C11 D12 12 （3 分）已知椭圆 22 111 22 11 :1(0) xy Cab ab 与双曲线 22 22 22 22 :1(0 xy Ca ab ， 2 0)b 有 相同的焦点 1 F， 2 F，点P是两曲线的一个公共点， 1 e， 2 e又分别是两曲线的离心率，若 12 PFPF，则 22 12 4ee的最小值为( ) A 5
6、 2 B4 C 9 2 D9 二、填空题二、填空题 13 （3 分）若x，y满足约束条件 0 2 0 0 xy xy y ，则34zxy的最小值为 14（3 分） 平面的一个法向量是( 2n ，2，1)， 点( 1A ， 3，0)在平面内， 则点( 2P ， 1，4)到平面的距离为 15 （3 分）设数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， nn Sna为常数列，则 n a 16 （3 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 1 F的直线l与 C的左、 右两支分别交于A，B两点 若 22 |:|:| 3:4:5ABBFAF
7、 ， 则双曲线的离心率为 三、解答题三、解答题 第 3 页（共 17 页） 17已知命题p：方程 22 1 29 xy mm 表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线 22 1 5 yx m 的离心率 6 (, 2) 2 e （1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围 （2）若命题p，q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围 18数列 n a满足 1 1a ， n a是1与 1n a 的等差中项 （1）证明：数列1 n a 为等比数列，并求数列 n a的通项公式； （2）求数列2 n an的前n项和 n S 19 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 点 0 ( 2 , )A
8、y为抛物线C上一点， 且| 4AF （1）求抛物线C的方程； （2）不过原点O的直线: l yxm与抛物线C交于两个不同的点P，Q，若OPOQ， 求实数m的值 20已知函数 2 1 ( )(2) () 2 f xxmx mR （1）若关于x的不等式( )4f x 的解集为( 2,4)，求m的值； （2）若对任意0 x，4，( )2 0f x 恒成立，求m的取值范围 21如图 1，在直角ABC中，90ABC，4 3AC ，2 3AB ，D，E分别为AC， BD中点，连接AE并延长交BC于点F，将ABD沿BD折起，使平面ABD 平面BCD 如图 2 所示 （1）求证：AECD； （2）求平面AEF
9、与平面ADC所成锐二面角的余弦值 22椭圆 22 22 :(0) xy Eab ab 的离心率为 2 2 ，其左焦点 1 F到点(2,1)P的距离是10 （1）求椭圆E的方程； （2） 若直线: l ykxm被圆 22 :3O xy截得的弦长为 3， 且l与椭圆E交于A，B两点， 第 4 页（共 17 页） AOB面积S的最大值 第 5 页（共 17 页） 2020-2021 学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（理科）学年甘肃省张掖市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一、选择题（在每小题给出
10、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）命题“ 1 0,1xlnx x ”的否定是( ) A 00 0 1 0,1xlnx x B 00 0 1 0,1xlnx x 剠 C 00 0 1 0,1xlnx x D 00 0 1 0,1xlnx x 【解答】解：由全称命题的否定为特称命题得：命题“ 1 0,1xlnx x ”的否定是 0 0 x， 0 0 1 1lnx x ， 故选：A 2 （3 分）设ab，0c ，则下列结论中正确的是( ) A cc ab B 22 acbc C 11 acbc D|a cb c 【解答】解：ab，0c ， 对于A，例如0ab，则 11 ab ，
11、则 cc ab ，故A错误， 对于B，由于 2 0c ，ab，则 22 acbc，故B正确， 对于C，例如0ab，则 11 ab ，则 11 acbc ，故C错误， 对于D，例如1a ，2b ，则| |ab，则|a cb c，故D错误 故选：B 3 （3 分）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得 到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆C的中心为原 点，焦点 1 F， 2 F在x轴上，椭圆C的面积为2 3，且离心率为 1 2 ，则C的标准方程为( ) A 22 1 43 xy B 2 2 1 12 x y C 22 1 34 xy D 2
12、2 1 163 xy 【解答】解：由题意可得 1 2 c a ， 2 3 ab ，即2 3ab ， 222 abc， 解得： 2 4a ， 2 3b ， 所以椭圆的方程为： 22 1 43 xy ， 第 6 页（共 17 页） 故选：A 4 （3 分）下列说法正确的是( ) A “若函数( )f x是奇函数，则(0)0f”的逆否命题是真命题 B命题“若 2 320 xx，则1x ”的逆命题是假命题 C若p为真命题，q为假命题，则()pq 为真命题 D命题“若 2 10 x ，则1x 或1x ”的否命题是“若 2 10 x ，则1x 或1x ” 【解答】解：对于A： “若函数( )f x是奇函数
13、，在0 x 处有定义，则(0)0f”故原函数为 假命题，由于原命题和逆否命题等价，则该命题的逆否命题为假命题，故A错误； 对于B：命题“若 2 320 xx，则1x ”的逆命题为“若1x ，则 2 320 xx， ”该 命题为真命题，故B错误； 对于C：若p为真命题，q为假命题，则()pq 为真命题，故C正确； 对于D： 命题 “若 2 10 x ， 则1x 或1x ” 的否命题是 “若 2 10 x ， 则1x 且1x ” 故D错误； 故选：C 5 （3 分）已知1， 1 a， 2 a，4成等差数列，1， 1 b， 2 b， 3 b，4成等比数列，则 21 2 aa b 等于( ) A 1
14、2 B 1 4 C 1 2 D 1 2 或 1 2 【解答】解：1， 1 a， 2 a，4成等差数列，设公差为d， 可得 21 4( 1) 1 41 daa ， 1， 1 b， 2 b， 3 b，4成等比数列， 可得 2 2 1 ( 4)4b ，且 2 0b ， 解得 2 2b ， 则 21 2 1 2 aa b ， 故选：C 6 （3 分）若0a ，0b ，则“4ab ”是“4ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：0a ，0b ，42abab厖， 第 7 页（共 17 页） 2ab ，4ab，即44abab剟， 若4a ， 1
15、 4 b ，则1 4ab ， 但 1 44 4 ab， 即4ab推不出4ab ， 4ab 是4ab的充分不必要条件 故选：A 7 （3 分）直三棱柱 111 ABCABC中，90BCA，M，N分别是 11 AB， 11 AC的中点， 1 BCCACC，则BM与AN所成角的余弦值为( ) A 1 10 B 2 5 C 30 10 D 2 2 【解答】解：直三棱柱 111 ABCABC中，90BCA，M，N分别是 11 AB， 11 AC的中点， 如图：BC 的中点为O，连结ON， / 11 1 2 MNBCOB，则0MN B是平行四边形，BM与AN所成角就是ANO， 1 BCCACC， 设 1
16、2BCCACC，1CO，5AO ，5AN ， 2222 11 ( 2)26MBB MBB， 在ANO中，由余弦定理可得： 222 630 cos 210256 ANNOAO ANO AN NO 故选：C 8 （3 分）设0a ，0b ，若 3 是3a与 2 3 b的等比中项，则2 1 ab 的最小值为( ) A4 B5 C6 D7 【解答】解：因为 3 是3a与 2 3 b的等比中项， 第 8 页（共 17 页） 所以 222 3333 abab ， 则有22ab， 因为0a ，0b ， 所以 211211 4 (2 ) ()(4) 22 ba ab ababab 141 (24)(44)4
17、22 b a ab ， 当且仅当 4ba ab ，即 1 1, 2 ab时取等号， 故 21 ab 的最小值为 4 故选：A 9 （3 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，点E，F分别是AB， 1 CC的中点，则直线 1 AE与 平面 11 B D F所成角的正弦值是( ) A 15 5 B 15 10 C 5 5 D 30 10 【解答】解：以DA、DC、 1 DD方向，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为 2，则得各点坐标为 1(2 A，0，2)，(2E，1，0)， 1(2 B，2，2，)， 1(0 D， 0，2)，(0F，2，1)， 设 平 面 11 B D F的 法 向 量
18、为( , , )nx y z， 且 111 (2 ,2 , 0 ) ,(2 , 0 ,1 )B DB F， 则 11 1 220 20 B D nxy B F nxz 令1x ， 则1y ，2z ，(1, 1, 2)n ， 又因为 1 (0,1, 2)AE ， 设直线 1 AE与平面 11 B D F 第 9 页（共 17 页） 所成角为， 1 1 330 sin| | | |1065 AE n AEn ， 故选：D 10 （3 分）抛物线 2 4yx的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点， 当FPM为等边三角形时，其面积为( ) A2 3 B4 C6 D4 3 【解答】解：据
19、题意知，PMF为等边三角形，PFPM， PM抛物线的准线， 设 2 ( 4 m P，)m，则( 1,)Mm， 等边三角形边长为 2 1 4 m ，(1,0)F 所以由PMFM，得 2 22 1(1 1) 4 m m，解得2 3m ， 等边三角形边长为 4，其面积为4 3 故选：D 11 （3 分）已知数列 n a是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， n b是以 1 为首项，2 为公 比的等比数列，设 n nb ca， 12nn Tccc， * ()nN，则当2019 n T 时，n的最小值 是( ) A9 B10 C11 D12 【解答】解： n a是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
20、 21 n an， n b是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 1 2n n b ， 第 10 页（共 17 页） 1 12_1_2124 21(2 1 1)(22 1)(24 1)(221) n n nnbbb Tcccaaaaaaa n 1 2(1242) n n 12 2 12 n n 1 22 n n ， 2019 n T ， 1 222019 n n ， 解得9n 则当2019 n T 时，n的最小值是 10 故选：B 12 （3 分）已知椭圆 22 111 22 11 :1(0) xy Cab ab 与双曲线 22 22 22 22 :1(0 xy Ca ab ， 2 0)b
21、有 相同的焦点 1 F， 2 F，点P是两曲线的一个公共点， 1 e， 2 e又分别是两曲线的离心率，若 12 PFPF，则 22 12 4ee的最小值为( ) A 5 2 B4 C 9 2 D9 【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为 1 2a，双曲线实轴为 2 2a， 令P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义 122 | 2PFPFa， 由椭圆定义 121 | 2PFPFa， 又 12 PFPF， 222 12 |4PFPFc， 2 2 ，得 2222 1212 |22PFPFaa， 将代入，得 222 12 2aac， 222222 221212 12 2222 1212 4()4
22、4 22 aaaacc ee aaaa 22 21 22 12 25 22 aa aa 第 11 页（共 17 页） 22 21 22 12 259 2 222 aa aa 故选：C 二、填空题二、填空题 13 （3 分）若x，y满足约束条件 0 2 0 0 xy xy y ，则34zxy的最小值为 1 【解答】解：由34zxy，得 3 44 z yx，作出不等式对应的可行域（阴影部分） ， 平移直线 3 44 z yx，由平移可知当直线 3 44 z yx， 经过点(1,1)B时，直线 3 44 z yx的截距最大，此时z取得最小值， 将B的坐标代入34341zxy ， 即目标函数34zxy
23、的最小值为1 故答案为：1 14（3 分） 平面的一个法向量是( 2n ，2，1)， 点( 1A ， 3，0)在平面内， 则点( 2P ， 1，4)到平面的距离为 10 3 【解答】解：根据题意，可得 ( 1A ，3，0)，( 2P ，1，4)，( 1PA ，2，4)， 又平面的一个法向量( 2n ，2，1)，点A在内， ( 2P，1，4)到的距离等于向量PA在n上的投影的绝对值， 1 ( 2)( 2)( 2)4 110PA n ， 即 |10 |3 PA n d n ， 第 12 页（共 17 页） 故答案为：10 3 15（3 分） 设数列 n a的前n项和为 n S， 且 1 1a ，
24、nn Sna为常数列， 则 n a 2 (1)n n 【解答】解：数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 11 11 12Sa ， nn Sna为常数列，由题意知，2 nn Sna， 当2n时， 11 (1)2 nn Sna 两式作差得 1 (1)(1) nn nana ， 从而 32 121 1 21 3 41 n n aaan aaan ， 2 (2) (1) n an n n ， 当1n 时上式成立， 2 (1) n a n n 故答案为： 2 (1)n n 16 （3 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 1
25、F的直线l与 C的左、右两支分别交于A，B两点若 22 |:|:| 3:4:5ABBFAF ，则双曲线的离心率为 13 【解答】解： 22 |:|:| 3:4:5ABBFAF ，不妨令| 3AB ， 2 | 4BF ， 2 | 5AF ， 222 22 |ABBFAF， 2 90ABF， 又由双曲线的定义得： 12 | 2BFBFa， 21 | 2AFAFa， 11 | 345 |AFAF ， 1 | 3AF 12 | 3342BFBFa， 1a 在Rt 12 BFF中， 22222 1212 |6452FFBFBF， 22 12 |4FFc， 2 452c，13c 双曲线的离心率13 c e
26、 a 故答案为：13 第 13 页（共 17 页） 三、解答题三、解答题 17已知命题p：方程 22 1 29 xy mm 表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线 22 1 5 yx m 的离心率 6 (, 2) 2 e （1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围 （2）若命题p，q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）双曲线 22 1 5 yx m 的离心率 6 (, 2) 2 e 该命题q为真命题，则 56 (, 2) 52 m ， 解得 5 5 2 m （2）命题p：方程 22 1 29 xy mm 表示焦点在y轴上的椭圆为真命题， 所以920mm， 解得30m
27、 双曲线 22 1 5 yx m 的离心率 6 (, 2) 2 e 该命题q为真命题，则 5 5 2 m 由于命题p，q中有且只有一个为真命题， 所以p真q假， 5 0 2 m； p假q真，35m 故由得： 5 0 2 m或35m 18数列 n a满足 1 1a ， n a是1与 1n a 的等差中项 （1）证明：数列1 n a 为等比数列，并求数列 n a的通项公式； （2）求数列2 n an的前n项和 n S 【解答】解： （1）证明： n a是1与 1n a 的等差中项，可得 1 21 nn aa ，即 1 21 nn aa ， 可化为 1 12(1) nn aa ，又 1 1a ， 故
28、数列1 n a 是首项和公比均为 2 的等比数列，即有 1 12 22 nn n a ， 所以数列 n a的通项公式为21 n n a ； （2）由（1）可得2221 n n ann， 第 14 页（共 17 页） 则 2(12 )1 (2482 )(13521)(121) 122 n n n Snnn 12 22 n n 19 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 点 0 ( 2 , )Ay为抛物线C上一点， 且| 4AF （1）求抛物线C的方程； （2）不过原点O的直线: l yxm与抛物线C交于两个不同的点P，Q，若OPOQ， 求实数m的值 【解答】解： （1）已知抛物线
29、 2 2(0)ypx p过点 0 (2,)Ay，且| 4AF 则24 2 p ，4p，故抛物线的方程为 2 8yx； （ 2 ） 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 联 立 2 8 yxm yx ， 得 22 (28)0 xmxm， 22 (28)40mm，得2m ， 12 82xxm， 2 12 x xm， 又OPOQ，则 1212 0OP OQx xy y， 222 121212121212 ()()2()2(82 )0 x xy yx xxm xmx xm xxmmmmm， 8m 或0m ，经检验，当0m 时，直线过坐标原点，不合题意， 又82m ， 综上：m的值
30、为8 20已知函数 2 1 ( )(2) () 2 f xxmx mR （1）若关于x的不等式( )4f x 的解集为( 2,4)，求m的值； （2）若对任意0 x，4，( )2 0f x 恒成立，求m的取值范围 【解答】解： （1）本题等式( )4f x 可化为 2 (42 )80 xm x， 不等式( )4f x 的解集为( 2,4)， 由根与系数的关系有2442m ，1m， 经检验1m 满足题意，m的值为 1 （2）对任意0 x，4，( )2 0f x 恒成立， 2 1 (2)2 2 m xx对任意的0 x，4恒成立， 当0 x 时，0 2恒成立，符合题意； 第 15 页（共 17 页）
31、 当(0 x，4时，要使 2 1 (2)2 2 m xx恒成立， 则只需 12 2() 2 min mx x 成立， 而 1212 22 22 xx xx ，当且仅当2x 时取等号， 12 2()2 2 min mx x ，0m ， m的取值范围为0，) 21如图 1，在直角ABC中，90ABC，4 3AC ，2 3AB ，D，E分别为AC， BD中点，连接AE并延长交BC于点F，将ABD沿BD折起，使平面ABD 平面BCD 如图 2 所示 （1）求证：AECD； （2）求平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值 【解答】解： （1）证明：由条件可知ABAD，E为BD的中点， 所以AEBD，
32、 又面ABD 面BDC， 面ABD面BCDBD，且AE 面ABD， 所以AE 面BCD， 又因为CD 平面BCD， 所以AECD （2）以E为坐标原点O，EF，ED，EA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 在直角三角形ABF中，可得2 3tan302BF ， 可得2cos601EF ， 可得(0E，0，0)，(0A，0，3)，(0D，3，0)，(3C，2 3，0)，(0B，3，0)， 第 16 页（共 17 页） 由BE 平面AEF，可得平面AEF的法向量为(0EB ，3，0)， 33 35 (0AD ，3，3)，(3AC ，2 3，3)， 设平面ADC的法向量为(nx，y，) z，
33、 由 330 32 330 n ADyz n ACxyz ，令3y ，可取( 1n ，3，1)， 可得cosn， 3315 5| |35 n EB EB nEB ， 则平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值为 15 5 22椭圆 22 22 :(0) xy Eab ab 的离心率为 2 2 ，其左焦点 1 F到点(2,1)P的距离是10 （1）求椭圆E的方程； （2） 若直线: l ykxm被圆 22 :3O xy截得的弦长为 3， 且l与椭圆E交于A，B两点， AOB面积S的最大值 【解答】解： （1）由题意可得 2 2 c e a ， 2 (2)110c ， 解得1c ，2a ， 22
34、 1bac， 即有椭圆的方程为 2 2 1 2 x y； （2）圆O的圆心为坐标原点，半径为3， 直线: l ykxm被圆 22 :3O xy所截弦长为 3， 即有 2 32 3d，解得 3 2 d ， 即有 2 |3 2 1 m k ， 第 17 页（共 17 页） 即为 22 3 (1) 4 mk， 直线l代入椭圆方程，可得 222 (12)4220kxkmxm， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 2222 168(12)(1)0k mkm，即为 22 12km， 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 22 12 m x x k ， 22 1212 |1()4ABkxxx x 222 2 222 168(1) 1 (12)12 k mm k kk 2 2 2 2(15) 1 12 k k k ， 令 2 12(1)kt t，即 2 1 2 t k ， 则 2 53 1 232 2 |5 2 t t AB ttt 2 21116 3() 233t ， 当3t 时，即1k 时，|AB取得最大值 2 6 3 则AOB面积 13 | 24 SdABAB， 即有1k ， 6 2 m 时，S取得最大值 2 2
