2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高二（上）期末数学试卷.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 23 页） 2020-2021 学年湖北省新高考联考协作体高二（上）期末数学试学年湖北省新高考联考协作体高二（上）期末数学试卷卷一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）命题“ 1x ，0， 2 320 xx”的否定是( ) A 1x ，0， 2 320 xx B 1x ，0， 2 32 0 xx C 0 1x ，0， 2 00 32 0 xx D 0 1x ，0， 2 00 320 xx 2 （5

2、分）已知i为虚数单位，且复数 |34 | 12 i i z ，则复数z的共轭复数为( ) A12i B12i C12i D12i 3 （5 分）已知双曲线的： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的实轴长为虚轴长的 3 倍，则双曲线的离心率e为( ) A 2 2 3 B 10 3 C2 2 D10 4 （5 分）已知x与y之间的一组数据如表： x 3 4 5 6 y 30 40 60 50 若y与x线性相关，根据上表求得y与x的线性回归方程， ybxa中的b为 8，据此模型预报7x 时y的值为( ) A70 B63 C65 D66 5 （5 分）已知m，n是两条不同的直线，是两个

3、不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A若mn，m，n，则 B若/ /mn，n，则/ /m C若m，/ /mn，/ /n，则 D若m，n，/ /m，/ /n，则 / / 6 （5 分）在三棱柱 111 ABCABC中，侧棱垂直于底面，ABBC，ABBC，2 2AC ， 1 2AA ，点E为 11 AC的中点，点F在BC的延长线上且 1 4 CFBC，则异面直线BE与 1 C F 所成的角为( ) 第 2 页（共 23 页） A90 B60 C45 D30 7 （5 分）皮埃尔德费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王” ，对数学作出了重大贡献，其中在 1636 年发现了：

4、若p是质数，且a，p互质，那么a的(1)p 次方除以p的余数恒等于 1，后来人们称该定理为费马小定理依此定理若在数集2，3，5， 6中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为( ) A 7 12 B 3 4 C 2 3 D 1 2 8 （5 分）已知(1)( )yx fx的图象如图所示，其中( )fx是函数( )f x的导数，则所给选项的四个图象中，函数( )yf x的图象可能是( ) A B 第 3 页（共 23 页） C D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多

5、项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）已知函数( )cosf xxx，xR，则下列说法正确的有( ) A( )f x是奇函数 B( )f x是周期函数 C曲线( )yf x在点(，( )f处的切线方程为0 xy D在区间(, ) 2 上，( )f x单调递增 10 （5 分）下列说法正确的是( ) A向量(23 , , 4)a k k，(2, 1,2)b ，且a与b共线，则实数k为2 B “ 2 4a ”是“2a ”的必要不充分条件 C “02a”是“

6、 22 (1)(21)aa ”的充要条件 D对于命题“xR ， 22 42axx x”是真命题，则实数a的取值范围是 |3a a 11 （5 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 :1 925 xy C的两个焦点，过 1 F的直线l与椭圆C交于A， B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是( ) A椭圆C的离心率为 3 5 B存在点A使得 12 AFAF C若 22 | 8AFBF，则| 12AB D 12 AFF面积的最大值为 12 12 （5 分）如图，点M是棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中的线段 1 AD上的一个动点，则下列结论正确的是( ) 第 4 页（共 23

7、页） A存在点M，使/ /CM平面 11 ABC B不存在点M满足 1 CMAD C存在点M，使异面直线 1 C M与AB所成的角是60 D二面角 1 BC DM的正弦值为 2 2 3 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量(1,1,1)a ，( 1,0,2)b ，且abk与2ab互相垂直，则k 14 （5 分）用长为24cm的钢条围成一个长方体框架，要求长方体的长与宽之比为3:1，则长方体的宽为时，其体积最大 15 （5 分）抛物线 2 6yx的焦点为F，准线为l，经过点F的斜率为3的直线 1 l

8、交抛物线于A，B两点，交点B在x轴的下方， 1 BBl，垂足为点 1 B，则 1 BFB的面积为 16（5 分）已知( )yf x是定义在R上的奇函数，( 2)0f ，且当0 x 时， 2 ( )( ) 0 f xxfx x ，则不等式 2 (1)(1)0 xf x的解集是四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知函数 2 1 ( ) x xx f x e （1）求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线的方程；（2）求函数( )yf x的极

9、值 18 （12 分）在平面PAB 平面ABCD，ABAP；ABPA，PACD；BC 平面PAB，ABAP这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答如图，在四棱柱PABCD中，底面ABCD是梯形，点E在BC上，/ /ADBC，ABAD， 22244BCABADAPBE，且_ （1）求证：平面PDE 平面PAC；（2）求直线PE与平面PAC所成的角的正弦值第 5 页（共 23 页） 19 （12 分）已知抛物线 2 4xy，焦点为F，过点(0,2)M作直线l交抛物线于A，B两点（1）证明： OAOB KK为定值(O为原点， OA K， OB K为直线OA，OB的斜率）；（2

10、）求三角形AFB的面积 AFB S的最小值 20 （12 分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了解本次竞赛的学生成绩情况，从中随机抽取了n名学生的成绩（假设竞赛成绩均在50，100内）作为样本进行统计按照50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100分为五组作出了如图频率分布直方图，并列出了分数在50，60)和90，100的茎叶图（1）由图中数据求出n，a，b的值；（2）若从竞赛成绩在70，80)，80，90)，90，100的学生中用分层抽样的方法抽取 6 名学生组成环保知识宣传小组，定期在校内进行义务宣传，并在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生参加市

11、组织的环保知识竞赛，求竞赛成绩在80，90)内的学生至少有 1 名学生被抽到的概率第 6 页（共 23 页） 21 （12 分）已知函数 2 ( )(1)3(2)f xxalnx （1）若1a ，求函数( )f x的单调区间；（2）若( )f x有两个极值点，求实数a的取值范围 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F，且椭圆C上的点M满足 1 6 | 5 MF ， 12 120MFF （1）求椭圆C的标准方程；（2）作直线垂直于x轴，交椭圆C于点Q，R，点P是椭圆C上异于Q，R两点的任意一

12、点，直线PQ，PR分别与x轴交于S，T两点，判断| |OSOT是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由第 7 页（共 23 页） 2020-2021 学年湖北省新高考联考协作体高二（上）期末数学试学年湖北省新高考联考协作体高二（上）期末数学试卷卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）命题“ 1x ，0， 2 320 xx”的否定是( ) A 1x ，0， 2 3

13、20 xx B 1x ，0， 2 32 0 xx C 0 1x ，0， 2 00 32 0 xx D 0 1x ，0， 2 00 320 xx 【解答】解：命题 “ 1x ，0， 2 320 xx” 的否定是 “ 0 1x ，0， 2 00 32 0 xx ” 故选：C 2 （5 分）已知i为虚数单位，且复数 |34 | 12 i i z ，则复数z的共轭复数为( ) A12i B12i C12i D12i 【解答】解：因为 |34 | 12 i i z ，所以 22 3( 4) (12 )|34 |5(12 ) 12 12(12 )(12 )5 iii zi iii ，所以复数z的共

14、轭复数为12i 故选：D 3 （5 分）已知双曲线的： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的实轴长为虚轴长的 3 倍，则双曲线的离心率e为( ) A 2 2 3 B 10 3 C2 2 D10 【解答】解：双曲线的： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的实轴长为虚轴长的 3 倍， 3ba， 22 10 3 caba ， 10 3 c e a 故选：B 4 （5 分）已知x与y之间的一组数据如表：第 8 页（共 23 页） x 3 4 5 6 y 30 40 60 50 若y与x线性相关，根据上表求得y与x的线性回归方程， ybxa中的b为 8，据此模型预报7x 时y的

15、值为( ) A70 B63 C65 D66 【解答】解： 1 (3456)4.5 4 x ， 1 (30406050)45 4 y ，则样本点的中心的坐标为(4.5,45)，代入 ybxa中，得4584.5a，可得9a 89yx 取7x ，可得8 7965y 故选：C 5 （5 分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A若mn，m，n，则 B若/ /mn，n，则/ /m C若m，/ /mn，/ /n，则 D若m，n，/ /m，/ /n，则 / / 【解答】解：已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，对于A，若mn，m，n，则、的关系是垂直、相

16、交或平行，则A错误；对于B，若/ /mn，n，则m、的关系是平行或m在平面内，则B错误；对于C，若m，/ /mn，/ /n，则/ /m或m在平面内，因为m，所以、的关系是垂直，则C正确；对于D，若m，n，/ /m，/ /n，则、的关系是垂直、相交或平行，则D 错误故选：C 6 （5 分）在三棱柱 111 ABCABC中，侧棱垂直于底面，ABBC，ABBC，2 2AC ， 1 2AA ，点E为 11 AC的中点，点F在BC的延长线上且 1 4 CFBC，则异面直线BE与 1 C F 所成的角为( ) 第 9 页（共 23 页） A90 B60 C45 D30 【解答】解：在三棱柱

17、 111 ABCABC中，侧棱垂直于底面， ABBC，ABBC，2 2AC ， 1 2AA ， 2ABBC，点E为 11 AC的中点，点F在BC的延长线上且 1 4 CFBC， 5 2 BF，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴， 1 BB为z轴，建立空间直角坐标系，则 1(0 A，2，2)， 1(2 C，0，2)，(1E，1，2)，(0B，0，0)， 5 (2F，0，0)， (1BE ，1，2)， 1 1 (2C F ，0，2)，设异面直线BE与 1 C F所成的角为，则 1 1 3 |1 2 cos 2| |9 2 4 BE C F BEC F ， 60，异面直线BE与 1 C

18、F所成的角60 故选：B 第 10 页（共 23 页） 7 （5 分）皮埃尔德费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王” ，对数学作出了重大贡献，其中在 1636 年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的(1)p 次方除以p的余数恒等于 1，后来人们称该定理为费马小定理依此定理若在数集2，3，5， 6中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为( ) A 7 12 B 3 4 C 2 3 D 1 2 【解答】解：在数集2，3，5，6中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，基本事件总数 2 4 12nA，所取两个数符合费马小定理包含的

19、基本事件有： (2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(5,2)，(5,3)，(5,6)，共 7 个，所取两个数符合费马小定理的概率为 7 12 P 故选：A 8 （5 分）已知(1)( )yx fx的图象如图所示，其中( )fx是函数( )f x的导数，则所给选项的四个图象中，函数( )yf x的图象可能是( ) A 第 11 页（共 23 页） B C D 【解答】解：由图象知，当13x时，(1)( )0yx fx，则( )0fx，即此时( )f x为增函数，排除A，C，D，故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20

20、分分.在在每小题给出的选项中，有多项符合题每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）已知函数( )cosf xxx，xR，则下列说法正确的有( ) A( )f x是奇函数 B( )f x是周期函数 C曲线( )yf x在点(，( )f处的切线方程为0 xy D在区间(, ) 2 上，( )f x单调递增【解答】解：对于:()cos()cos( )A fxxxxxf x ，函数( )f x的定义域是R，故( )f x 是奇函数，故A正确；对于B：不存在非

21、零常数T，使得()( )f xTf x，故( )f x不是周期函数，故B错误；对于:( )cos( sin )cossinCfxxxxxxx，第 12 页（共 23 页） ( )1f ，( )f ，故( )f x在点(，( )f处的切线方程为：()yx ，即 0 xy，故C正确；对于:( )cossinD fxxxx，( 2 x ，)时，1cos0 x ，sin0 xx ，故( )0fx，故( )f x在( 2 ，)单调递减，故D错误；故选：AC 10 （5 分）下列说法正确的是( ) A向量(23 , , 4)a k k，(2, 1,2)b ，且a与b共线，则实数k为2 B “ 2

22、 4a ”是“2a ”的必要不充分条件 C “02a”是“ 22 (1)(21)aa ”的充要条件 D对于命题“xR ， 22 42axx x”是真命题，则实数a的取值范围是 |3a a 【解答】解：对于A：向量(23 , , 4)a k k，(2, 1,2)b ，且a与b共线，则(23 k，k， 4)(2，2，2)，整理得2 ，则实数k不为2，故A错误；对于B：当2a 时， 2 4a ，但是当 2 4a 时，得到2a 或2a ，故 “ 2 4a ” 是 “2a ” 的必要不充分条件，故B正确；对于C： “02a”是“ 22 (1)(21)aa ”的充分不充要条件，故C错误；对于

23、D：对于命题“xR ， 22 42axx x”是真命题，则 10& 168(1) 0& a a ，整理得3a，实数a的取值范围是 |3a a，故D正确；故选：BD 11 （5 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 :1 925 xy C的两个焦点，过 1 F的直线l与椭圆C交于A， B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是( ) A椭圆C的离心率为 3 5 B存在点A使得 12 AFAF C若 22 | 8AFBF，则| 12AB D 12 AFF面积的最大值为 12 【解答】解：由题意知，5a ，3b ， 22 4cab ，椭圆的离心率 4 5 c e a ，即选项A错误；设 1

24、AFm， 2 AFn，则210mna，第 13 页（共 23 页）在 12 AFF中，由余弦定理知， 222222222 12 2 4()24442227 cos11 22225 () 2 mncmnmncacmnbb F AF mn mnmnmnmn ，当且仅当mn，即点A为椭圆的上或下顶点时，等号成立，此时 12 F AF为钝角，存在点A使得 12 AFAF，即选项B正确；由椭圆的定义知， 22 | 420AFBFABa，| 20812AB，即选项C正确； 1 2 12 11 | |212 22 AF FA SFFyc b，当点A为椭圆的上或下顶点时，等号成立， 12 AFF面积

25、的最大值为 12，即选项D正确故选：BCD 12 （5 分）如图，点M是棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中的线段 1 AD上的一个动点，则下列结论正确的是( ) A存在点M，使/ /CM平面 11 ABC B不存在点M满足 1 CMAD C存在点M，使异面直线 1 C M与AB所成的角是60 D二面角 1 BC DM的正弦值为 2 2 3 【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC， 1 DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则 1(2 A，0，2)，(2B，2，0)， 1(0 C，2，2)，(0C，2，0)， 1(0 D，0，2)，(2A，0，0)，因为M

26、是线段 1 AD上的动点，设(M a，0，)b，且02a剟，02b剟，对于选项A， 11 ( , 2, ),(0,2, 2),( 2,2,0)CMab ABAC ，设平面 11 ABC的法向量( , , )nx y z，第 14 页（共 23 页）则有 1 1 220 220 n AByz n ACxy ，令1x ，则(1,1,1)n ，若1ab时，则(1, 2,1)CM ，所以1 1 1 ( 2)1 10CM n ，故CMn，所以存在点M，使得/ /CM平面 11 ABC，故选项A正确；对于选项B，( , 2, )CMab， 1 ( 2,0,2)AD ，若1a ，1b

27、时，(1, 2,1)CM ，又 1 1 ( 2)0( 2)2 10CM AD ，故 1 CMAD，所以存在点M满足 1 CMAD，故选项B错误；对于选项C， 1 ( , 2,2),(0,2,0)C MabAB，因为异面直线 1 C M与AB所成的角是60，所以 1 222 4 cos60|cos,| 2( 2)(2) C M AB ab ，化简可得 22 (2)12ab，因为02a剟，02b剟，所以不存在a，b的值使得 22 (2)12ab，故存在点M，使异面直线 1 C M与AB所成的角是60，故选项C错误；因为M是线段 1 AD上的动点，故二面角 1 BC DM即

28、二面角 11 BC DA，在正方体 1111 ABCDABC D中， 1 AC， 1 AD，BD， 1 BC， 1 C D均为面对角线，故 1111 2 2ACADBDBCC D，取 1 C D的中点O，连结 1 AO，BO，第 15 页（共 23 页）则 11 AOC D， 1 BOC D，所以 1 AOB即为二面角 11 BC DA的平面角，在 1 AOB中， 11 6,2 2AOBOAB，由余弦定理可得， 222 11 1 1 6681 cos 23266 AOBOAB AOB AO BO ，易知二面角 11 BC DA为锐二面角，所以 22 11 12 2 sin1

29、1( ) 33 AOBsinAOB，所以二面角 1 BC DM的正弦值为 2 2 3 ，故选项D正确故选：AD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量(1,1,1)a ，( 1,0,2)b ，且abk与2ab互相垂直，则k 3 5 【解答】解：向量(1,1,1)a ，( 1,0,2)b ， (1abkk，k，2)k， 2(3ab，2，0)， abk与2ab互相垂直， () (2)3(1)20ababkkk，解得 3 5 k 第 16 页（共 23 页）故答案为： 3 5 14 （5 分）用长为2

30、4cm的钢条围成一个长方体框架，要求长方体的长与宽之比为3:1，则长方体的宽为 1cm 时，其体积最大【解答】解：设宽为xcm，高为ycm，则长为3xcm，所以有4(3)24xxy，即226(0,0)xxyxy，所以长方体的体积为 23 3322 3322()6 443 xxy Vx x xyx yxx y ，当且仅当22xy，即1x ，2y 时取等号，此时长方体的宽为1cm，体积最大为 3 6cm 故答案为：1cm 15 （5 分）抛物线 2 6yx的焦点为F，准线为l，经过点F的斜率为3的直线 1 l交抛物线于A，B两点，交点B在x轴的下方， 1 BBl，垂足为点 1 B，则

31、 1 BFB的面积为 3 【解答】解：由抛物线的方程可得 3 (2F，0)，准线l的方程为 3 2 x ，则直线 1 l的方程为： 3 3() 2 yx，代入抛物线方程可得： 2 42090 xx，解得 1 2 B x ，(B在x轴下方），所以3 B y ，即 1 ( ,3) 2 B，由抛物线的定义可得 1 13 | |2 222 B p BBBFx，所以三角形 1 BB F的面积为 1 11 |233 22 B SBBy ，故答案为：3 16（5 分）已知( )yf x是定义在R上的奇函数，( 2)0f ，且当0 x 时， 2 ( )( ) 0 f xxfx x ，则不等式

32、 2 (1)(1)0 xf x的解集是 ( 1，1)(3，) 【解答】解：( )yf x是定义在R上的奇函数，( 2)0f ，则f（2）0， 2 ( )( )( ) 0 f xxfxf x xx ，即0 x 时 ( )f x y x 是增函数，当2x 时， ( )(2) 0 2 f xf x ，( )0f x ， 02x时， ( )(2) 0 2 f xf x ，( )0f x ，第 17 页（共 23 页）又( )f x是奇函数，所以20 x 时，( )()0f xfx ， 2x 时( )()0f xfx ，则不等式 2 (1)(1)0 xf x即(1)0f x，故12x 或210

33、x ，解得：3x 或11x ，故不等式的解集是( 1，1)(3，) 故答案为：( 1，1)(3，) 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知函数 2 1 ( ) x xx f x e （1）求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线的方程；（2）求函数( )yf x的极值【解答】解：（1）函数 2 1 ( ) x xx f x e 定义域为R 且 222 22 (1)(1)()(21)(1) ( ) () xxxx xx xxexxexexxe

34、 fx ee 2 2(1)(2) xx xxxx ee ，曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线斜率 02kf 切，又(0)1f ，则切点为(0, 1)，所求切线方程为( 1)2(0)yx 即210 xy （2） (1)(2) ( ) x xx fx e ，又0 x e ，由( )0fx，得1x 或2x ，当(, 1)x 和(2,)时，( )0fx，此时( )f x为减函数；当( 1,2)x 时，( )0fx，此时( )f x为增函数由( )f x的单调性知：( )1f xfe 极小值， 2 2 5 ( )25f xfe e 极大值 18 （12 分）在平面PAB 平面

35、ABCD，ABAP；ABPA，PACD；BC 平面PAB，ABAP这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答如图，在四棱柱PABCD中，底面ABCD是梯形，点E在BC上，/ /ADBC，ABAD， 22244BCABADAPBE，且_ （1）求证：平面PDE 平面PAC；（2）求直线PE与平面PAC所成的角的正弦值第 18 页（共 23 页）【解答】解：若选平面PAB 平面ABCD，又平面PAB平面ABCDAB，PA平面PAB，PAAB PA平面ABCD，若选：PAAB，PACD，又底面ABCD为梯形/ /ADBC，故两腰AB，CD必相交，又AB，CD 平面ABCD， PA

36、平面ABCD，若选：BC 平面PAB，又PA平面PAB， BCPA即PABC，又PAAB，AB，BC 平面ABCD，ABBCB， PA平面ABCD，以上任选一个都可证得：PA 平面ABCD；依题意：以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(0A，0，0) (2B，0，0) (2C，4，0) (0D，2，0) (2E，1，0) (0P，0，2)，（1）证明：由PA 平面ABCD，DE 平面ABCD，则PADE，即DEPA，又(2,4,0)AC ，(2, 1,0)DE 224( 1)000DE AC ，则DEAC，有DEAC，又PA，AC 平

37、面PAC，又PAACA， DE平面PAC，又DE 平面PDE，故平面PDE 平面PAC （2）由（1）可得平面PAC的一个法向量为(2, 1,0)DE ，又(2,1, 2)PE ， PE与平面PAC所成的角的正弦值为： |35 sin|cos,| 5| |35 PE DE PE DE PEDE 第 19 页（共 23 页） 19 （12 分）已知抛物线 2 4xy，焦点为F，过点(0,2)M作直线l交抛物线于A，B两点（1）证明： OAOB KK为定值(O为原点， OA K， OB K为直线OA，OB的斜率）；（2）求三角形AFB的面积 AFB S的最小值【解答】解：（1）证明

38、：依题意分析得直线l的斜率存在，设为k 又过点(0,2)M，则直线l的方程为2(0)yxk即2yxk 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 由 2 2 4 yx xy k 消去字母y得 2 480 xxk，直线l与抛物线交于A，B两点，则 2 12 12 16320 4 8 xx x x k k恒成立， 1212 1212 00 00 OAOB yyy y xxx x kk，又 2 11 4xy， 2 22 4xy，则 2 1212 ()16x xy y， 1212 12 81 16162 y yx x x x ，故 1 2 OAOB kk为定值（2）弦AB的长 2

39、22222 1212 |(1)()4(1)(1632)4 (1)(2)ABxxx xkkkkk，焦点F到直线: l yxmk即20 xyk的距离 22 |012|1 11 d kk ，第 20 页（共 23 页） 2 1 |22 2 AFB SAB d k Rk，则 2 0k ? 0k时，AFB的面积最小为()2 2 AFBmin S 20 （12 分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了解本次竞赛的学生成绩情况，从中随机抽取了n名学生的成绩（假设竞赛成绩均在50，100内）作为样本进行统计按照50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100分为五组作出了如图

40、频率分布直方图，并列出了分数在50，60)和90，100的茎叶图（1）由图中数据求出n，a，b的值；（2）若从竞赛成绩在70，80)，80，90)，90，100的学生中用分层抽样的方法抽取 6 名学生组成环保知识宣传小组，定期在校内进行义务宣传，并在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生参加市组织的环保知识竞赛，求竞赛成绩在80，90)内的学生至少有 1 名学生被抽到的概率【解答】解：（1）依题意得：样本容量 5 100 0.005 10 n ， 10 100.010b n ，又(0.0050.0350.020) 101ab，代入解得0.030a （2）第三组竞赛成绩在70，80

41、)内的人数为0.030 10 10030，第四组竞赛成绩在80，90)内的人数为0.020 10 10020，第五组竞赛成绩在90，100)内的人数为0.010 10 10010 从中抽取 6 人，则抽样比例为 61 30201010 第三组竞赛成绩在70，80)中抽取的学生人数为 1 303 10 ，设为 1 A， 2 A， 3 A 第四组竞赛成绩在80，90)中抽取的学生人数为 1 202 10 设为 1 B， 2 B 第 21 页（共 23 页）第五组竞赛成绩在90，100中抽取的学生人数 1 101 10 设为C 从 6 名学生中随机抽取 2 名的可能情况有： 1 (A， 21

42、)(AA， 31 )(AA， 11 )(BA， 21 )(BA， 2 )(CA， 32 )(AA， 12 )(BA， 2) B 2 (A， 3 )(CA， 13 )(BA， 23 )(BA， 1 )(C B， 21 )(BB， 2 )(C B，)C共 15 种，其中第四组竞赛成绩在80，90)中抽取的 2 名学生中至少有 1 名被抽到的事件有： 1 (A， 11 )(BA， 22 )(BA， 12 )(BA， 23 )(BA， 13 )(BA， 21 )(BB， 2 )(C B， 1 )(C B， 2) B共 9 种，其概率为 93 155 p 21 （12 分）已知函数 2 ( )(1)

43、3(2)f xxalnx （1）若1a ，求函数( )f x的单调区间；（2）若( )f x有两个极值点，求实数a的取值范围【解答】解：（1）当1a 时， 2 ( )(1)3 (2)(2)f xxlnx x ， 2 3221 ( )22 22 xx fxx xx ，当( )0fx时， 13 2 x ，当( )0fx时， 13 2 x 或 13 2 x ，此时( )f x为增函数，当( )0fx时， 1313 22 x ，此时( )f x为减函数， ( )f x的单调递增区间为 13 ( 2,) 2 ， 13 () 2 ，单调递减区间为 1313 (,) 22 ；（2）函数 2

44、( )(1)3(2)f xxalnx的定义域为|2x ， 2 12234 ( )223 22 xxa fxxa xx ，函数( )f x有两个极值点，则( )0fx，即方程 2 22340 xxa在( 2,)x 上由两个不等实根，设 2 ( )2234g xxxa，结合二次函数的性质分析可得： 048 340 1 2 2 2030 a x ga 对称轴，第 22 页（共 23 页）解得 3 0 2 a，故a的取值范围是 3 ( 2 ，0) 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F，且椭圆C

46、( )222cos120 555 a ，解得2a ，又 222 3bac，故所求椭圆方程为 22 1 43 xy （2）依题意得知：Q，R两点关于x轴对称，设 0 (P x， 0) y， 1 (Q x， 1) y，则 1 (R x， 1) y，则 22 00 1 43 xy ， 22 11 1 43 xy ， 22 00 4 (3) 3 xy，同理 22 11 4 (3) 3 xy，又直线PQ的方程为 10 00 10 () yy yyxx xx ，第 23 页（共 23 页）由0y 得点S的横坐标 1001 01 S x yx y x yy ，同理直线PR的方程为 10 00 10 () yy yyxx xx ，由0y 得点R的横坐标 1001 01 R x yx y x yy ， 10011001 0101 | | | | x yx yx yx y OSOT yyyy 10011001 0101 | x yx yx yx y yyyy 2222 1001 22 01 | x yx y yy 2222 1001 22 01 144 | (3)(3)| 33 yyyy yy 22 01 22 01 1 |4()| 4yy yy ，为定值

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