1、第二节 等差数列及前n项和 考情解读 命 题 规 律 考点 等差数列的通项公式及前n项和公式 等差数列的性质及应用 考查频次 卷,5年4考 卷,5年4考 卷,5年1考 考查难度 容易 中等 常考题型及分值 选择题,5分; 解答题,612分 填空题,5分 命 题 趋 势 预计新课标高考仍会对本部分的内容重点考查,一般是运用等差数列的性质求解数列 的项不通项公式,前n项和的最大、最小值等问题.近年来,保留了等差数列部分性质的“类 等差数列”等新颖题目值得关注. 复习的重点是在理解性质的基础上培养应用意识,巧用性质,减少运算量 基础导学 知识梳理 第2 项 差 同 1. 等差数列的有关概念 （1）定
2、义： 文字语言：从 1 起,每一项不它的前一项的 2 都等于 3 一个常数. 符号语言：4 （ , 为常数）. （2）等差中项：数列, 成等差数列的充要条件是 = + 2 ,其中 5 叫做 , 的等差中项. 2. 等差数列的有关公式 （1）通项公式：= 6 . （2）前 项和公式：= 1+ (1) 2 = 7 . 1+( 1) (1+) 2 3. 等差数列的性质 （1）通项公式的推广：= 8 (, ). （2）若 为等差数列,且 + = +(, ) ,则 9 . （3）若 是等差数列,公差为 ,则,+,+2, (, ) 是公差为 10 的等差数列. （4）若 为等差数列 的前 项和,则数列,2
3、,32, 也是等差数列. ( ) += + 知识拓展 1.两个重要技巧 （1）若奇数个数成等差数列,可设中间三项为 , + . （2）若偶数个数成等差数列,可设中间两项为 ,+ ,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 2.三个必备结论 （1）若等差数列 的项数为偶数 2 ,则 2= (1+ 2)= = (+1) ; 偶 奇= , 奇 偶 = +1 . （2）若等差数列 的项数为奇数 2+1 ,则2+1=(2+1)+1; 奇 偶 = +1 . （3）在等差数列 中,若10, 0 ,则满足 0, +1 0 的项数 使得取得最大值;若10 , 则满足 0, +1 0 的项数 使得取得最小值.
4、3.两个函数 等差数列 ,当 0 时,= +(1) 是关于 的一次函数; = 2 2+(1 2) 是无常数项的二次函数. 重难突破 考点一 等差数列的性质与基本量的运算 典例研析典例研析 【例1】 A （1）2019全国卷理记 为等差数列 的前 项和.已知4= 0,5= 5 ,则( ) A. = 2 5 B. = 310 C. = 228 D. = 1 2 22 解析 由题意知 4= 41+ 2 4 3 = 0, 5= 1+4 = 5, 解得 1= 3, = 2, 则 = 25 .故选 .本题也可用排除法解,对于 项,5= 5,4= 4(7+2) 2 = 10 0 ,排除 ;对于 项,4= 0
5、,5= 54= 2 528 50 = 10 5 ,排除 ;对于 项,4= 0,5= 54= 1 2 522 50 = 5 2 5 ,排除 .故选 . B D （2）2018全国卷理记 为等差数列 的前 项和,若33= 2+4,1= 2, 则5= ( ) A. 12 B. 10 C. 10 D. 12 （3）已知等差数列 的前 项和为, 若2+3+10= 9, 则9= ( ) A. 3 B. 9 C. 18 D. 27 解析 设等差数列 的公差为 ,则3 (31+3) = 21+ +41+6, 即 = 3 2 1, 1= 2, = 3. 5= 1+4 = 10 .故选 . 解析设等差数列 的首项
6、为1, 公差为 , 2+3+10= 9, 31+12 = 9 ,即1+4 = 3 , 5= 3, 9= 9(1+9) 2 = 925 2 = 27 .故选 . 方法技巧： 方法 解读 适合题型 基本量法 用1 和 表示条件和所求,用方程思想求出1 和 五个基本量,1, 中知三求二 性质法 用等差数列的性质将已知和所求联系起来,用性质表示 和 当已知中有“+ ”式的表达式 等差数列的计算技巧 对点训练对点训练 D B 1. 已知等差数列 中,2= 1, 前 5 项和5= 15 ,则数列 的公差为( ) A. 3 B. 5 2 C. 2 D. 4 解析设等差数列 的首项为1, 公差为 ,因为 2
7、= 1, 5= 15, 所以 1+ = 1, 51+ 54 2 = 15, 解得 = 4 ,故选 . 2. 等差数列 中,3(3+5)+2(7+10+13) = 24 ,则该数列的前 13 项和为( ) A. 13 B. 26 C. 52 D. 156 解析 3(3+5)+2(7+10+13) = 24, 64+610= 24, 4+10= 4 , 13= 13(1+13) 2 = 13(4+10) 2 = 134 2 = 26 ,故选 . 100 3. 2019全国卷文记 为等差数列 的前 项和,若3= 5,7= 13, 则10= . 解析设等差数列 的公差为 ,则 = 73 4 = 135
8、 4 = 2 , 于是1= 32 = 54 = 1 , 10= 10+ 109 2 2 = 100 . 重难突破 考点二 等差数列的判定与证明 典例研析典例研析 【例 2】已知数列 的前 项和为 且满足+21= 0( 2),1= 1 2 . （1）求证： 1 是等差数列. 答案证明：因为= 1( 2) ,又= 21, 所以1= 21, 0 .因此 1 1 1 = 2( 2) .故由等差数列的定义知 1 是以 1 1 = 1 1 = 2 为首项,2 为公差的等差数列. （2）求 的表达式. 答案解：由（1）知 1 = 1 1 +( 1) = 2+( 1) 2 = 2 ,即= 1 2 . 由于当
9、2 时,有= 21= 1 2(1), 又因为1 = 1 2 ,丌适合上式. 所以 1 2 , = 1. 1 2(1) , 2. 方法技巧： 判定数列 是等差数列的常用方法 （1）定义法：对仸意 ,+1 是同一个常数.（证明用） （2）等差中项法：对仸意 2, , 满足2= +1+1 .（证明用） （3）通项公式法：数列的通项公式 是 的一次函数. （4）前 项和公式法：数列的前 项和公式 是 的二次函数,且常数项为 0. 提醒：判断是否为等差数列,最终一般都要转化为定义法判断. 对点训练对点训练 4. 数列 满足1= 1,2= 2,+2= 2+1+2 . （1）设= +1, 证明 是等差数列;
10、 答案证明：由+2= 2+1+2, 得+2+1= +1+2 ,即+1= +2 .又1= 21= 1, 所以 是首项为 1,公差为 2 的等差数列. （2）求 的通项公式. 答案解：由（1）得= 1+2( 1) , 即+1= 21 . 于是 ( =1 +1) = ( =1 2 1), 所以+11= 2,即+1= 2+1. 又1= 1 ,所以 的通项公式为= 22+2 . 重难突破 考点三 等差数列的前n项和及综合问题 典例研析典例研析 【例3】 B （1）在等差数列 中,1+3+5= 105,2+4+6= 99, 以 表示 的前 项和,则使 达到最大 值的 是( ) A. 21 B. 20 C.
11、 19 D. 18 解析（1） 1+3+5= 33= 105, 3= 35 . 又2+4+6= 34= 99, 4= 33, = 43= 2 . = 4+( 4) = 33+( 4) (2) = 2 +41 . 20 0,21 0 知 0 ,求使得 的 的取值范围. 方法技巧： 关于等差数列前 项和问题,主要是求和方法及性质 的应用,其关键点为： （1）定性质,根据已知条件判断出数列具有哪些特性. （2）定方法,根据已知条件或具有的性质,确定解决问 题的方法. 求和：用哪个公式,需要哪些量. 求 最值：() 借助 的二次函数法;（ii）借用通项的邻项变号法 1 0, 0, 满足 0 +1 0
12、, 取得最大值; 1 0, 满足 0 +1 0 , 取得最小值 . 对点训练对点训练 5. 2018全国卷记 为等差数列 的前 项和,已知1= 7,3= 15 . （1）求 的通项公式; 答案设 的公差为 .由题意得 31+3 = 15 .由1= 7 得 = 2 . 所以 的通项公式为= 1+( 1) = 2 9 . （2）求, 并求 的最小值. 答案由（1）得= 1+ 2 = 28 = ( 4)216 . 所以当 = 4 时, 取得最小值,最小值为16 . 课时作业 一、单项选择题 B B 1. 等差数列 中,1= 1,= 100( 3) .若 的公差为某一自然数,则 的所有可能取值为( )
13、 A. 3,7,9,15,100 B. 4,10,12,34,100 C. 5,11,16,30,100 D. 4,10,13,43,100 解析由等差数列的通项公式得,公差 = 1 1 = 99 1 .又因为 , 3, 所以 1 可能为 3,9,11,33,99, 的所有可能取值为 4,10,12,34,100,故选 . 2. 在单调递增的等差数列 中,若3= 1,24= 3 4 ,则1 = ( ) A. 1 B. 0 C. 1 4 D. 1 2 解析由题知,2+4= 23= 2 .又 24= 3 4 ,数列* + 单调递增, 2= 1 2 ,4= 3 2 . 公差 = 42 2 = 1 2
14、. 1= 2 = 0 . A A 3. 设 是等差数列 的前 项和,若1+3+5= 3 ,则5= ( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 解析 是等差数列, 1+5= 23 ,即1+3+5= 33= 3 , 3= 1 , 5= 5(1+5) 2 = 53= 5 ,故选 . 4. 等差数列 的前 项和为, 若84= 36,6= 24, 则1= ( ) A. 2 B. 0 C. 2 D. 4 解析设等差数列 的公差为, 84= 36,6= 24, 81 + 87 2 41+ 43 2 = 36, 1+5 = 21+6, 解得 1= 2, = 2. .故选 . B C 5. 若等差数列 的
15、前 5 项之和5= 25 ,且2= 3 ,则7= ( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 解析由5= (2+4)5 2 , 得25 = (3+4)5 2 , 解得4= 7 ,所以7 = 3+2 ,即 = 2 ,所以7= 4+3 = 7+3 2 = 13 . 6. 已知等差数列 前 9 项的和为27,10= 8 ,则100= ( ) A. 100 B. 99 C. 98 D. 97 解析由题意可知, 1 +4 = 3, 1+9 = 8, 解得1 = 1, = 1 ,所以100= 1+99 1 = 98 . B D 解析设等差数列 的公差为 ,由题意得11= 11(1+11) 2
16、= 11(21+10) 2 = 22 ,即1+5 = 2, 所以3+7+ 8= 1+2 +1+6 +1+7 = 3(1+5) = 6 ,故选 . 8. 设等差数列 的前 项和为 ,1 0 且 6 5 = 9 11 ,则当 取最大值时, 的值为( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 解析由题意,丌妨设6= 9,5= 11 ,则公差 = 2 ,其中 0, 因此10= ,11= , 即当 = 10 时, 取得最大值,故选 . 7. 已知等差数列 的前 项和为, 若11= 22, 则3+7+8= ( ) A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 二、多项选择题 AC ABD 9. 已知
17、数列 是等差数列,前 项和为 ,且1+53= 8 ,下列选项正确的有( ) A. 10= 0 B. 10 最小 C. 7= 11 D. 20= 0 解析由已知得：1+51+10 = 81+28 ,即1= 9 ,又= 1+( 1) = ( 10) ,则有10= 0 , 正确;由于1 和 的符号丌能确定, 丌确定;又由= 1+ (1) 2 = 9 + (1) 2 = 2 (219) 可知7= 12 , 正确;而20= 10 , 错误.故选 . 10. 已知数列 是等差数列,是其前 项和,且5 8,则下列结论正确的是() A. 5D. 6不7均为的最大值 解析由5 0 ,又 6= 7, 7= 0,
18、= 76 5, 即6+7+ 8+9 0, 可得2(7+8) 0, 由结论7= 0,8 0 , 错误;又5 6 知6= 7 均为 的 最大值, 正确.故选 . 三、填空题 10 11. 已知等差数列 中, 0 ,若 2 且1+1 2 = 0,21= 38 ,则 等于 . 解析 是等差数列, 2= 1+1, 又 1+1 2 = 0, 2 2 = 0 ,即 (2) = 0. 0, = 2. 21= (2 1)= 2(21) = 38 ,解得 = 10 . 12. 设等差数列, 的前 项和分别为, ,若对仸意正整数 都有 = 23 43 ,则 9 5+7 + 3 8+4 的值 为 . 19 41 解析
19、因为, 为等差数列, 所以 9 5+7 + 3 8+4 = 9 26 + 3 26 = 9+3 26 = 6 6, 因为 11 11 = 1+11 1+11 = 26 26 = 2113 4113 = 19 41 . 所以 6 6 = 19 41 . 四、解答题 13. 已知等差数列的前三项依次为,4,3 ,前 项和为 ,且= 110 . （1）求 及 的值. 答案解：设该等差数列为 ,则1= ,2=4,3=3 , 由已知有 +3 =8, 得1= =2, 公差 4 2 2 ,所以= 1+ (1) 2 =2+ (1) 2 2= 2+ . 由=110, 得2+ 110 0, 解得 =10 或 11
20、 （舍去）,故 =2, =10 . 答案证明：由（1）得= (2+2) 2 = (+1) , 则= = +1, 故+1=(+2) ( +1) = 1, 即数列 是首项为 2,公差为 1 的等差数列, 所以= (2+1) 2 = (+3) 2 . （2）已知数列 满足= ,证明数列 是等差数列,并求其前 项和 . 14. 已知数列 满足1= 2,(+1 1) = ( +1)(+)( ) . （1）求证数列 是等差数列,并求其通项公式; 答案 (+1 1) = ( +1)( +)( ), +1( +1)= 2( +1), +1 +1 = 2, 数列 是等差数列,其公差为 2,首项为 2, = 2+2( 1) = 2 . （2）设= 215 ,求数列| 的前 项和 . 答案由（1）知=22, =215 2 15 , 则数列 的前 项和= (13+215) 2 = 214 . 令=2 15 0 ,解得 7 . 7 时,数列| 的前 项和 12 2+14 . 8 时,数列| 的前 项和 12 7+8+ + 27+ 2 (7214 7)+ 214 = 214+98 . = 14 2, 7, 214+98, 8.
