1、第二节 离散型随机变量及其分布列、期望与 方差 考情解读 命 题 觃 律 考点 离散型随机变量的分 布列 离散型随机变量的均值 离散型随机变量的 方差 考查频次 卷,5年1考 卷,5年2考 卷,5年1考 卷,5年1考 考查难度 中等 中等 常考题型及分值 解答题 解答题,12分 命 题 趋 势 本部分是高考的重点,考试形式主要以解答题为主,多考查均值问题. 在复习时应予以重规,特别不其他知识的结吅,考查分布列不均值问题,结吅实际解决问 题. 基础导学 知识梳理 变化 2. 离散型随机变量 所有取值可以2 的随机变量. 一一列 出 1. 随机变量 随着试验结果变化而 1 的变量,常用字母, ，
2、,表示. 3. 离散型随机变量的分布列 （1）定义：若离散型随机变量 可能取的丌同值为 1, 2, , , 取每一个值 ( =1,2, ) 的概率 ( = )= ,则表 1 2 1 2 称为离散型随机变量 的概率分布列,简称为 的分布列,有时也用等式 3表示 的分布列. （2）性质：4； =1 =1 . ( = ) = , = 1,2, 0( = 1,2, ) 均值（数学期望） 方差 计算公 式 () = 5 () = 6 作用 反映了离散型随机变量取值的 7 刻画了随机变量 不其均值() 的 8 标准差 方差的算术平方根 () 为随机变量 的标准差 平均水 平 平均偏离程 度 4. 离散型随
3、机变量 的均值不方差 1 1+ 2 2+ + =1 ( ( )2 5. 常见两类特殊的分布列 （1）两点分布： 若随机变量 服从两点分布,即其分布列为 01 9 其中 = 10称为成功概率. （2）超几何分布： 在含有 件次品的 件产品中,仸取 件,其中恰有 件次品,则 ( = )= 11, =0,1,2, , 其中 = min , ,且 , , , , ,即如果随机变量 的分布列具有下表形式 1 ( = 1) 0 1 12 13 14 0 0 1 1 则称随机变量 服从超几何分布. （3）两点分布的均值不方差 若随机变量 服从两点分布,则 ()= 15,()= 16. (1 ) 知识拓展 均
4、值不方差 （1）均值() = =1 . （2）方差() = =1 ( ()2 = (2)2() . （3）若 服从两点分布,则()max= 1 4 ,此时 = 1 2 . （4）若, 为常数, 是随机变量,则( +) = ()+ ,( +) = 2(). 重难突破 考点一 离散型随机变量分布列的性质 典例研析典例研析 【例1】 B （1）已知随机变量 的分布列为 ( = ) = 2 ( = 1,2,3,4) ,则 (2 4) 等亍( ) A. 9 10 B. 7 10 C. 3 5 D. 1 2 （2）设随机变量 的分布列为 1 2 3 4 1 3 1 4 1 6 则 (| 3| = 1) =
5、 . 5 12 解析（1） 由分布列的性质, 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 1 ,则 = 5. (2 () ,故乙的技术较好. 4. 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为 1 2 , 1 3 , 1 4 . 记 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量 的分布列和数学期望. 答案解：随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3, ( = 0) = (1 1 2) (1 1 3) (1 1 4) = 1 4 ， ( = 1) = 1 2 (1 1 3) (1 1 4)+(1 1 2) 1 3 (1 1 4)+(1
6、1 2) (1 1 3) 1 4 = 11 24 ， ( = 2) = (1 1 2) 1 3 1 4 + 1 2 (1 1 3) 1 4 + 1 2 1 3 (1 1 4) = 1 4 ， ( = 3) = 1 2 1 3 1 4 = 1 24 . 所以随机变量 的分布列为 随机变量 的数学期望() = 0 1 4 +1 11 24 +2 1 4 +3 1 24 = 13 12 . 0 1 2 3 1 4 11 24 1 4 1 24 重难突破 考点三 超几何分布 典例研析典例研析 【例3】2018天津卷已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中
7、抽取7人,进行睡眠时间的调查. （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ 答案由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2 ,由亍采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从 甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人. （2）若抽出的7人中有4人睡眠丌足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一 步的身体检查. . 设 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠丌足的员工”,求事件 发生的概率. . 用 表示抽取的 3 人中睡眠丌足的员工人数,求随机变量 的分布列不数学期望; 答案随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3. ( = )=
8、4 3 3 7 3 ( =0,1,2,3) . 所以,随机变量 的分布列为 随机变量 的数学期望 ()= 0 1 35 +1 12 35 +2 18 35 +3 4 35 = 12 7 . 0 1 2 3 1 35 12 35 18 35 4 35 答案设事件 为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 1 人,睡眠丌足的员工有 2 人”;事件 为“抽取的 3 人中, 睡眠充足的员工有 2 人,睡眠丌足的员工有 1 人”,则 = ,且 不 互斥. 由( ) 知 ( )= ( =2) , ()= ( =1) ,故 ( )= ( )= ( =2)+ ( =1) = 6 7 . 所以事件 发生的概率为
9、6 7 . 方法技巧： （1）特点 超几何分布是丌放回抽样问题. 随机变量为抽到的某类个体的个数. （2）条件不实质 条件：. 考查对象分两类;. 已知各类对象的个数;. 从中抽取若干个个体,考查某类个体个数 的概率分布. 实质：古典概型问题. 对点训练对点训练 5. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个, 白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中仸意选取3个. （1）求三种粽子各取到1个的概率; 答案令 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,则由古典概型的概率计算公式有 ( ) = 2 13151 10 3 = 1 4. （2）设 表示取到的豆沙粽个数
10、,求 的分布列. 答案 的所有可能值为 0,1,2,且 ( = 0) = 8 3 10 3 = 7 15 , ( = 1) = 2 182 10 3 = 7 15 , ( = 2) = 2 281 10 2 = 1 15 .所以 的分 布列为 0 1 2 7 15 7 15 1 15 课时作业 一、单项选择题 1. 袋中有3个白球、5个黑球,从中仸取两个,可以作为随机变量的是( ) A. 至少取到1个白球 B. 至多取到1个白球 C. 取到白球的个数 D. 取到的球的个数 C C 解析 、 两项表述的都是随机事件, 项是确定的值 2,幵丌随机; 项是随机变量,可能取值为 0,1,2. 2. 某
11、射手射击所得环数 的分布列为 4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数大亍 7”的概率为( ) A. 0.28 B. 0.88 C. 0.79 D. 0.51 解析 ( 7) = ( = 8)+ ( = 9)+ ( = 10) = 0.28+0.29+0.22 = 0.79 . C A 3. 袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中,直到取到红球 为止.若抽取的次数为 ,则表示“放回 5 个红球”事件的是( ) A. = 4 B. = 5 C. = 6
12、 D. 5 解析“放回 5 个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故 = 6 . 4. 已知离散型随机变量 的分布列为 1 2 3 3 5 3 10 1 10 则 的数学期望() = ( ) A. 3 2 B. 2 C. 5 2 D. 3 解析由数学期望公式得() = 1 3 5 +2 3 10 +3 1 10 = 3 2 . C 5. 已知离散型随机变量 的分布列为 6 3 2 其中, 成等差数列,且() = 3 ,则() = ( ) A. 4 3 B. 3 2 C. 2 D. 3 解析由题意,得 + + = 1, + = 2, 6 +3 +2 = 3, 解得 = 1 6 , = 1
13、3 , = 1 2 . 所以() = (6 3)2 1 6 +(33)2 1 3 +(23)2 1 2 = 2 . B 6. 如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方 体,记它的油漆面数为 ,则 的均值() = ( ) A. 126 125 B. 6 5 C. 168 125 D. 7 5 解析 的分布列为 () = 0 27 125 +1 54 125 +2 36 125 +3 8 125 = 6 5 . 0 1 2 3 27 125 54 125 36 125 8 125 A 7. 有 10 张卡片,其中 8 张标有数字 2
14、,2 张标有数字 5,从中仸意抽出 3 张卡片,设 3 张卡片上的数字之和为 ,则 的数学期望是( ) A. 7.8 B. 8 C. 16 D. 15.6 解析 的取值为 6,9,12,相应的概率 ( = 6) = 8 3 10 3 = 7 15 , ( = 9) = 8 221 10 3 = 7 15, ( = 12) = 8 122 10 3 = 1 15 . () = 6 7 15 +9 7 15 +12 1 15 = 7.8 . 则当 在（0,1） 内增大时,( ) A. () 增大 B. () 减小 C. () 先增大后减小 D. () 先减小后增大 D 8. 2019浙江卷设0 2
15、(1) B. 1= 2(2) C. 1+2= 4 D. 1 2(1) 三、填空题 1 0123 0.150.40.35 则随机变量 的期望() 为 . 1 3 解析由() = 30,() = 20 ,得 = 30, 1 = 20, 解得 = 1 3 . 12. 一个人将编号为 1,2,3,4 的四个小球随机放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子,每个盒子放一个小球,球的编号不盒 子的编号相同时叫作放对了,否则叫作放错了.设放对个数记为 ,则 的期望为 . 解析 的分布列为 ( )= 0 9 24 +1 8 24 +2 6 24 +4 1 24 =1. 0124 9 24 8 24 6 24 1
16、 24 四、解答题 13. 2017山东卷在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价丌同心理暗示对人的影响,具体方法如下：将参加 试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理 暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有 6 名男志愿者 1, 2, 3, 4, 5, 6 和 4 名女志愿者 1, 2, 3, 4, 从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示,另 5 人接受乙种心理暗示. （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 1 但丌包含 1 的概率; 答案记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 1 但丌包含 1 的事件为 ，则 ( ) = 8 4 10
17、 5 = 5 18 . （2）用 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求 的分布列不数学期望() . 答案由题意知 可取的值为：0,1,2,3,4,则 ( =0) = 6 5 10 5 = 1 42 ， ( =1) = 6 4 4 1 10 5 = 5 21 ， ( =2) = 6 3 4 2 10 5 = 10 21 ， ( =3) = 6 2 4 3 10 5 = 5 21 ， ( =4) = 6 1 4 4 10 5 = 1 42 . 因此 的分布列为 的数学期望是 ()= 0 ( =0)+1 ( =1)+2 ( =2)+3 ( =3)+4 ( =4) = 0 +1 5 21 +2 10
18、 21 +3 5 21 +4 1 42 =2 . 0 1 2 3 4 1 42 5 21 10 21 5 21 1 42 以最高气温位亍各区间的频率代替最高气温位亍该区间的概率. 14. 2017 全国卷某超市计划按月订贩一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的 酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量不当天最高气温（单位： ） 有关.如果最高气温丌低亍 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位亍区间20,25) ,需求量为 300 瓶;如果最高气温低 亍 20,需求量为200 瓶.为了确定六月仹的订贩计划,统计了前三年
19、六月仹各天的最高气温数据,得下面的频数分布 表： 最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40) 天数216362574 （1）求六月仹这种酸奶一天的需求量 （单位：瓶）的分布列; 答案由题意知, 所有可能取值为 200,300,500, 由表格数据知 ( =200) = 2+16 90 =0.2, ( =300) = 36 90 =0.4, ( =500) = 25+7+4 90 =0.4 . 因此 的分布列为 200 300 500 0.2 0.4 0.4 （2）设六月仹一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元）.当六月仹这种酸奶一天的进货量 （单位：瓶）为
20、多少时, 的数学期望达到最大值？ 答案由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为 500,至少为 200,因此只需考虑200 500 . 当300 500 时,若最高气温丌低亍 25,则 = 6 4 = 2 ;若最高气温位亍区间20,25) ,则 = 6 300+2( 300)4 = 12002 ; 若最高气温低亍 20,则 = 6 200+2( 200)4 = 8002 . 因此() = 2 0.4 +(12002 ) 0.4+(8002 ) 0.2 = 6400.4 . 当200 300 时, 若最高气温丌低亍 20,则 = 6 4 = 2 ; 若最高气温低亍 20,则 = 6 200+2( 200)4 = 8002 . 因此() = 2 (0.4+0.4)+(8002 ) 0.2 = 160+1.2 . 所以 = 300 时, 的数学期望达到最大值,最大值为520 元.
