1、第三节 等比数列及前n项和 考情解读 命 题 规 律 考点 等比数列的通项公式及前n项和公式 等比数列的性质及应用 考查频次 卷,5年4考 卷,5年2考 卷,2年1考 卷,5年2考 考查难度 容易 中等 常考题型及分值 选择题,5分; 填空题,5分; 解答题,612分 选择题,5分 命 题 趋 势 预计新课标高考仍会对本部分的内容重点考查,在考查基本运算,基本概念的基础上更 加注重考查函数不方程、等价转换、分类讨论等思想,非标准的等比数列可能成为命题的 新热点.复习时可对比等差数列的性质理解并灵活运用 基础导学 8 2. 等比数列的有关公式 （1）通项公式：= 7 1 18. （2）前 项和公
2、式： 1. 等比数列的有关概念 （1）定义：文字语言：从 1 起,每一项不它的前一项的 2 都等于 3 一个 常数. 符号语言：4 ( , 为非零常数）. （2）等比中项：如果 , 成等比数列,那么 5 叫做 不 的等比中项.即： 是 不 的等比中项 , 成等比数列2= 6 （ , , 丌为零）. 知识梳理 比 同 +1 = 11 第2 项 3. 等比数列的性质 （1）通项公式的推广：= (, ). （2）对仸意的正整数,. 若 + = + ,则 11 = 12 .特别地,若 + = 2 ,则 13 . （3）若等比数列前 项和为, 则,2,32 仍成等比数列,即(2)2= 14 ( ,公比
3、1 ）. （4）数列 是等比数列,则数列( 0, 是常数）也是 15 数列. （5）在等比数列 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即,+,+2,+3, 为等比数列,公比为 16 . 等比 = 2 (32) 知识拓展 1.（1）在等比数列求和时,要注意 = 1 和 1 的讨论. （2）当 是等比数列且 1 时,= 1 1 1 1 = . 2.当项数是偶数时,偶= 奇 ;当项数是奇数时,奇= 1+偶 . 重难突破 考点一 等比数列的基本运算与性质 典例研析典例研析 【例1】 C （1） 2019全国卷文已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 15,且5=33+41, 则3= () A.
4、 16B. 8C. 4D. 2 （2）2019全国卷文记 为等比数列 的前 项和.若1= 1,3= 3 4 ,则4 = . 5 8 解析 （1） 设正数的等比数列 的公比为, 则 1+1 +12+13= 15, 14= 312+41, 解得 1= 1, = 2, 则3 = 12=4 .故选 . 解析 （2） 设等比数列 的公比为, 由已知得3= 1+1 +12= 1+ +2= 3 4 ,即 2 + + 1 4 = 0 , 解得 = 1 2, 所以4 = 1(14) 1 = 1(1 2) 4 1(1 2) = 5 8. 解析因为数列1,1,2,9 是等差数列,所以1+2= 1+9 = 10 ;因
5、为数列1,1,2,3,9 是等比数列,所以2 2 = 1 9 = 9,又2= 1 2 0 (q 为等比数列的公比）,所以2= 3 ,则 2 1+2 = 3 10. （3）已知数列1,1,2,9 是等差数列,数列1,1,2,3,9 是等比数列,则 2 1+2 = . 3 10 方法技巧： 方法 解读 适合题型 基本量法 设出1 和 ,将已知条件用1 和 表示,建立方程组求出1 和 题设中有五个基本量1, 中的两个 性质法 利用等比数列的性质化简已知条件 题设中有“ ”型的表达式 解决等比数列的基本运算常用方法 对点训练对点训练 B A 1. 等比数列 的各项为正数,且56+47= 18 ,则lo
6、g31+log32+log310= ( ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log35 解析由题56+47= 18, 所以56= 9,log31+log32+log310= log3(1210) = log3(56)5= 5log39 = 10 . 2. 在等比数列 中,如果1+2= 40,3+4= 60 ,那么7+8= ( ) A. 135 B. 100 C. 95 D. 80 解析由等比数列前 项和的性质知,1+2,3+4,5+6,7+8 成等比数列,其首项为 40,公比为 60 40 = 3 2 . 所以7+8= 40 ( 3 2) 3 = 135 . 3. 2018全国卷记
7、 为数列 的前 项和.若= 2+1 ,则6= . 63 解析 = 2+1 ,当 2 时, 1= 21+1, = 1= 221, 即= 21, 当 = 1 时,1= 1= 21+1 ,得1= 1 . 数列 是首项1 为1 ,公比 为 2 的等比数列, = 1(1) 1 = 1(12) 12 = 1 2, 6= 1 26= 63 . 重难突破 考点二 等比数列的判定与证明 典例研析典例研析 【例 2】2019全国卷已知数列 和 满足 1= 1,1= 0,4+1= 3+4,4+1= 34 . （1）证明：+ 是等比数列, 是等差数列; 答案证明：由题设得4(+1+1) = 2(+) ,即+1+1=
8、1 2 (+) . 又因为1+1= 1 ,所以+ 是首项为 1,公比为 1 2 的等比数列. 由题设得4(+1+1) = 4()+8 ,即+1+1= +2 . 又因为11= 1 ,所以 是首项为 1,公差为 2 的等差数列. 答案解：由（1）知,+= 1 21 ,= 2 1 . 所以= 1 2 (+)+() = 1 2 + 1 2, = 1 2 (+)() = 1 2 + 1 2 . （2）求 和 的通项公式. 方法技巧： 方法 解读 适合题型 定义法 在 0( ) 前提下,若 +1 = （ 为非零常数）, 2 且 ）,则 是等比数列 已知中提供的递推关系式,或者是 不 的关系式 进行化简,转
9、化为数列 中相邻两项乊间的关系 等比中 项法 数列 中, 0 ,如果根据已知条件能化简得到+1 2 = +2( ) ,或者是证明此式成立,则数列 是等比数列 证明三项成等比数列 通项公 式法 观察已知信息,或者是计算出数列的通项公式,若可以写成= 1(, 均是丌为 0 的常数, ）,则 是等比数列 能明确通项公式,用于选择或填空题中 前 项 和公式 法 若数列 的前 项和= ( 为常数且 0, 0,1 ）,则数列 是等比数列 能明确前 项和公式,只用于选择或填空题中 等比数列的判断不证明的常用方法 对点训练对点训练 4. 2018全国卷已知数列 满足1= 1 ,+1= 2( +1). 设= .
10、 （1）求1,2,3; 答案由条件可得+1= 2(+1) .将 = 1 代入得2= 41, 而1= 1, 所以2= 4 .将 = 2 代入得3= 32, 所以3= 12. 从而1= 1,2= 2,3= 4 . （2）判断数列 是否为等比数列,并说明理由; 答案 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.由条件可得 +1 +1 = 2 ,即+1= 2 , 又1= 1 ,所以 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. （3）求 的通项公式. 答案由（2）可得 = 21, 所以= 21 . 重难突破 考点三 等比数列前n项和及综合应用 典例研析典例研析 【例3】 A （1）设等比数列 中,前 项和为 ,已
11、知3= 8,6= 7, 则7+8+9 等于( ) A. 1 8 B. 1 8 C. 57 8 D. 55 8 解析（1） 因为7+8+9= 96 ,且3,63,96 也成等比数列,即8,1 , 96 成等比数列,所以8(96) = 1, 即96= 1 8. 所以7 +8+9= 1 8. （2）2018全国卷等比数列 中,1= 1,5= 43 . . 求 的通项公式; 答案设 的公比为, 由题设得= 1 .由已知得4= 42 ,解得 = 0 （舍去）, = 2 或 = 2 .故 = (2)1 或= 21 . . 记 为 的前 项和.若= 63 ,求 . 答案若= (2)1, 则= 1(2) 3
12、.由= 63 得(2)= 188 ,此方程没有正整数解. 若= 21, 则= 21 .由= 63 得2= 64 ,解得 = 6 .综上, = 6 . 方法技巧： （1）涉及 不 的单独值,可以用基本量1 和 进行转化. （2）涉及等比数列“” 型问题,可利用性质转化. （3）涉及 不 的关系时,可利用= 1( 2) 转化. （4）涉及等比数列部分项的和,可利用性质转化. 对点训练对点训练 B 5. 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ,若= 2,3= 14, 则4 等于( ) A. 80 B. 30 C. 26 D. 16 解析（解法一） 3= 14 3= 6, 1. 依题意得 1(1) 1
13、 = 2, 1(13) 1 = 14. 又 0, 所以 1 1 = 2, = 2. 因此4= 1(14) 1 = (2) (124) = 30 .故选 . （解法二）由,2,32 成等比数列, 得(22)2= 2(142), 解得2= 6 （负根已舍）, 故43= 2(32) = 16, 4= 30 . 6. 已知 为数列 的前 项和,且2= 32( ). 求 和 . 答案解： 2= 32 = 1 时,21= 312 ,解得1= 2 ; 当 2 时,21= 312 , 221= 331 . 2= 331. = 31. 数列 是首项为 2,公比为 3 的等比数列. = 231,= 2(13) 1
14、3 = 31 . 课时作业 一、单项选择题 C D 1. 已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ,且3= 14,3= 8 ,则6= ( ) A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 解析由题意得,等比数列的公比为 ,由3= 14 , 3= 8, 则 1(1+ +2) = 14, 3= 12= 8, 解得1 = 2, = 2 ,所以6= 15= 2 25= 64 . 故选 . 2. 对仸意等比数列 ,下列说法一定正确的是( ) A. 1,3,9 成等比数列 B. 2,3,6 成等比数列 C. 2,4,8 成等比数列 D. 3,6,9 成等比数列 解析设等比数列的公比为 ,则3= 12
15、,6= 15,9= 18, 满足(15)2= 1218, 即6 2 = 39 A B 3. 在等比数列 中,已知3,7 是方程26 +1 = 0 的两根,则5= ( ) A. 1 B. 1 C. 1 D. 3 解析在等比数列 中,因为3,7 是方程26 +1 = 0 的两个根,所以3+7= 6 0,37= 1 0, 所以3 0,7 0,5 0 ,因为37= 5 2 = 1, 所以5= 1 . 4. 已知等比数列 满足1= 3,1+3+5= 21 ,则3+5+7= ( ) A. 21 B. 42 C. 63 D. 84 解析设数列 的公比为 ,则1(1+2+4) = 21 ,又1= 3 , 所以
16、4+26 = 0, 所以2= 2 （2= 3 舍去）,所以3= 6,5= 12,7= 24, 所以3+5+7= 44 .故选 . A D 5. 已知等比数列 的前 项和为= 21+ 1 6, 则 的值为( ) A. 1 3 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 2 解析当 2 时,= 1= 21 22= 22 ,当 = 1 时,1= 1= + 1 6 , 又因为 是等比数列,所以 + 1 6 = 2 ,所以 = 1 3 . 6. 数列 满足：+1= 1( , 且 0) ,若数列1 是等比数列,则 的值等于() A. 1B. 1C. 1 2 D. 2 解析由+1= 1 ,得+11 = 2 = (
17、 2 ) .由于数列 1 是等比数列,所以 2 = 1 ,得 = 2. D B 7. 设首项为 1,公比为 2 3 的等比数列 的前 项和为, 则( ) A. = 21 B. = 32 C. = 43 D. = 32 解析因为1= 1, 公比 = 2 3 ,所以 = ( 2 3) 1, = 1(1) 1 = 31( 2 3) = 32(2 3) 1 = 32, 故选 . 8. 在数列 中,1= 1,+1= 2, 则= 1 2 2 2 +3 2 4 2 +21 2 2 2 等于( ) A. 1 3 (21) B. 1 5 (124) C. 1 3 (41) D. 1 3 (12) 解析在数列 中
18、,由1= 1,+1= 2, 可得= 21, 则= 1 2 2 2 +3 2 4 2 +21 2 2 2 = 14+1664+422421 = 1(4)2 1(4) = 1 5 (142) = 1 5 (124) .故选 . 二、多项选择题 AD 9. 等比数列 中,3= 9, 前三项和3= 27 ,则公比 的值可以为( ) A. 1 B. 1 C. 1 2 D. 1 2 解析 当公比 =1 时, 1= 2= 3=9, 3=3 9= 27 . 当 1 时,3= 13 1 , 27 = 19 1 , 1=2718 , 3= 12, (27 18) 2=9 , ( 1)2(2+1) = 0 , =
19、1 2 . 综上, =1 或 = 1 2 .故选 . BC 10. 已知公比为 的等比数列 中,前 4 项的和为1+14 ,且2,3+1,4 成等差数列,则公比 可以取下面 选项中的( ) A. 1 B. 1 2 C. 2 D. 2 解析根据等差中项的性质有2(3+1) = 2+4, 即2(12+1) = 1 +13 ,易知 1, 所以4= 1(14) 1 = 1+14 ,由 组成的方程组解得 1 = 1, = 2 或 1= 16, = 1 2 . 故公比 为 2 或 1 2, 故选. 三、填空题 11. 已知等比数列 中,3= 3,10= 384 ,则该数列的通项公式= . 3 23 解析设
20、等比数列 的公比为 ,则 3= 12= 3, 10= 19= 384, 得7= 128 ,即 = 2 ,把 = 2 代入,得1= 3 4 ,所以数列 的通项公式为 = 11= 3 4 21= 3 23 12. 已知数列 是等比数列,2=2,5= 1 4 ,则123+234+ +1+2=. 64 7 (1 23) 解析设数列 的公比为 , 则3= 5 2 = 1 8 ,解得 = 1 2 ,1= 2 =4 .易知数列 +1+2 是首项为123=4 2 1= 8, 公比为3= 1 8 的等比数列,所以123+234+ +1+2= 8(1 1 8) 11 8 = 64 7 (1 23) . 四、解答题
21、 13. 数列 的前 项和为,1= 1 ,+1= 4+2( ) ,设= +12 . （1）求证： 是等比数列; 答案+2= +2+1= 4+1+242 = 4+14, +1 = +22+1 +12 = (4+14)2+1 +12 = 2+14 +12 = 2. 因为2= 1+2= 41+2, 所以2= 5 . 所以1= 221= 3 . 所以数列 是公比为 2,首项为 3 的等比数列. 答案由（1）知= 321= +12, 所以 +1 21 22 = 3 .所以数列 22 是等差数列,公差为 3,首项为 2.所以 22 = 2 +( 1) 3 = 3 1 .所以= (31)22, 所以= 22
22、 .所以 +1 = 21 22 = 2 .所以数列 为等比数列. （2）设= 31 ,求证： 是等比数列. （2）记数列 1 的前 项和为, 求使得| 1| 1 2 020 成立的 的最小值 答案由（1）得 1 = 1 2 ,且 1 为等比数列,首项为 1 2 ,公比为 1 2 . 所以= 1 21( 1 2) 11 2 = 1 1 2. 由|1| 1 2 020, 得|1 1 2 1| 2 020, 因为210= 1 024 2 020 2 048 = 211, 所以 11 . 于是,使|1| 1 2 020 成立的 的最小值为 11. 14. 设数列 是公比为 2 的等比数列,且4+1 是1 不5 的等差中项. （1）求数列 的通项公式; 答案由4 +1 是1 不5 的等差中项,可得2(4+1) = 1+5, 所以2(81+1) = 1+161, 解得1= 2 . 故= 2( ).
