1、第四节 数列求和 考情解读 命题 规律 考点 数列的求和 考查频次 卷,5年2考 卷,5年1考 卷,2年1考 考查难度 中等 常考题型及分值 解答题,12分左右 命题 趋势 预计高考对本部分内容的考查有两种形式:（1）以等差数列或等比数列为背景出现在选择题或填空题中,多用定义 法求解.（2）构造新数列或给出数列的递推关系求解,出现在解答题中,有一定难度.（3）高考主要以错位相减法和裂项 求和法求解 复习时,掌握各种求和方法适用的情况是解题的关键 基础导学 知识梳理 1. 等差数列的前 项和公式 = (1+) 2 = 1 . 1+ (1) 2 2.等比数列的前项和公式 = 1, = 1, 1 1
2、 = 2 _, 1. 1(1) 1 3. 一些常见数列的前 项和公式 （1）1 + 2 + 3 + 4 + + = 3 . （2）1 + 3 + 5 + 7 + + 2 1 = 4 . （3）2 + 4 + 6 + 8 + + 2 = 5 . （4）12+ 22+ + 2= (+1)(2+1) 6 . （5）13+ 23+ + 3= (1 + 2 + + )2 . (+1) 2 2 2+ 4.数列求和方法 （1）公式法求和： 使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法. （2）错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项乊积构成的,那
3、么这个数列的前 项和即可用此 法来求,如等比数列的前 项和就是用此法推导的. （3）倒序相加法： 如果一个数列的前 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前 项 和即可用倒序相加法,如等差数列的前 项和即是用此法推导的. （4）分组求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后 再相加减. （5）并项求和法： 一个数列的前 项和,可两两结合求解,则称乊为并项求和.形如= ( 1) () 类型,可采用两项合并求解. 知识拓展 1.先看数列通项特点,再想求和方法. 2.常见的拆项公式 （1）若 为各项都
4、不为 0 的等差数列,公差为( 0) ,则 1 +1 = 1 ( 1 1 +1) ; （2） 1 (+) = 1 (1 1 +) ; （3） 1 + +1 = + 1 ; （4）log(1 + 1 ) = log ( + 1) log （ 0 且 1 ）. 重难突破 考点一 分组、并项转化法求和 典例研析典例研析 考查角度一 分组转化法 【例 1】在等比数列 中,公比 1 ,等差数列 满足1= 1= 3,4= 2,13= 3 . （1）求数列 与 的通项公式; 答案设等差数列 的公差为 . 则有 3 + 3 = 3, 3 + 12 = 32, 解得 = 3, = 2 或 = 1, = 0 （舍
5、去） ， 所以= 3,= 2 + 1 . 答案由（1）知= (1)(2 + 1) + 3 ， 则2= (3 + 32+ 33+ + 32) + (3) + 5 + (7) + 9 + + (4 1) + (4 + 1) = 3(132) 13 + (5 3) + (9 7) + + (4 + 1 4 + 1) = 32+13 2 + 2 . （2）记= (1)+ , 求数列 的前2 项和2 . 考查角度二 并项转化法 【例 2】2016天津卷已知 是等比数列,前 项和为( ) ,且 1 1 1 2 = 2 3 ,6= 63 . （1）求 的通项公式; 答案设数列 的公比为 .由已知,有 1 1
6、 1 1 = 2 12 ,解得 = 2 ,或 = 1 .又由6 = 1 16 1 = 63, 知 1 , 所以1 126 12 = 63 ,得1= 1 . 所以= 21 . 答案由题意,得= 1 2 (log2+ log2+1) = 1 2 (log221+ log22) = 1 2, 即 是首项为1 2 ,公差为 1 的 等差数列. 设数列(1) 2 的前 项和为 ,则 2= (1 2 + 2 2) + (32 + 4 2) + + (212 + 2 2 ) = 1+ 2+ 3+ 4+ + 21+ 2 = 2(1+2) 2 = 22 . （2）若对任意的 , 是log2 和log2+1 的等
7、差中项,求数列(1) 2 的前2 项和. 方法 解读 适合题型 分组转化法 数列的每一项都可拆分成等差（等比）数列的和或差的形式 = ， = ,为奇数 ,为偶数 并项转化法 常见的有首末并项、隔项并项、分段并项、周期并项 并项后的数列构成一个特殊数列 方法技巧： 对点训练对点训练 C 1. 已知数列 的通项公式是= 2 (1 2) ,则其 20 项和为( ) A. 379 + 1 220 B. 399 + 1 220 C. 419 + 1 220 D. 439 + 1 220 解析令数列 的前 项和为, 则20= 1+ 2+ 3+ + 20= 2(1 + 2 + 3 + + 20) (1 2
8、+ 1 22 + 1 23 + + 1 220) = 420 (1 1 220) = 419 + 1 220 . 2. 已知数列 的通项公式为= (1)+1(3 2) ,则前 100 项和100 等于 . 150 解析因为1+ 2= 3+ 4= 5+ 6= = 99+ 100= 3, 所以100= 3 50 = 150 . 重难突破 考点二 裂项相消求和 典例研析典例研析 【例 3】2015全国卷 为数列 的前 项和,已知 0, 2 + 2= 4+ 3 . （1）求 的通项公式; 答案由 2 + 2= 4+ 3 ， 可知+1 2 + 2+1= 4+1+ 3 . 可得+1 2 2 + 2(+1
9、) = 4+1 ， 即2(+1+ ) = +1 2 2 = (+1+ )(+1 ) . 由 0 ，可得+1 = 2 . 又1 2 + 21= 41+ 3 ,解得1= 1 （舍去）或1= 3 . 所以 是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为= 2 + 1 . （2）设= 1 +1, 求数列 的前 项和. 答案由= 2 + 1 可知 = 1 +1 = 1 (2+1)(2+3) = 1 2 ( 1 2+1 1 2+3) . 设数列 的前 项和为 ,则 = 1+ 2+ + = 1 2 (1 3 1 5) + ( 1 5 1 7) + + ( 1 2+1 1 2+3) = 3(2+3) . 方
10、法技巧： 裂项相消法就是将数列的通项拆分成两个式子的差,然后通过累加抵消掉中间的许多项的求和方法,此种方法适用 于通项可以分裂成两式乊差,尤其是分母为等差数列的两项乊积的类型的数列求和问题.破解此类题的关键点： （1）定通项,即根据已知条件求出数列的通项公式. （2）巧裂项,即根据通项公式的特征进行准确裂项,把数列的每一项,表示为两项乊差的形式. （3）消项求和,即通过累加抵消掉中间的项,达到消项的目的,准确求和. 对点训练对点训练 3. 数列 的前 项和为= 2+1 2 ,数列 是首项为1, 公差为( 0) 的等差数列,且1,3,9 成等 比数列. （1）求数列 与 的通项公式; 答案当 2
11、 时,= 1= 2+1 2= 2 ， 又1= 1= 21+1 2 = 2 = 21 ，也满足上式, 所以数列 的通项公式为= 2 . 由1,3,9 成等比数列,得(2 + 2)2= 2 (2 + 8) ， 解得 = 0 （舍去）或 = 2 , 所以数列 的通项公式为= 2 . 答案由（1）得= 2 (+1) = 1 (+1) , 所以数列 的前 项和= 1 12 + 1 23 + 1 34 + + 1 (+1) = 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1 = 1 1 +1 = +1 . （2）若= 2 (+1) ( ) ,求数列 的前 项和 . 重难突破 考点三 错位相减法 典例
12、研析典例研析 【例 4】2017天津卷已知 为等差数列,前 项和为( ), 是首项为 2 的等比数列,且公比大于 0,2+ 3= 12,3= 4 21,11= 114 . （1）求 和 的通项公式; 答案设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 . 由已知2+ 3= 12 ,得1( + 2) = 12, 而1= 2, 所以2+ 6 = 0 . 又因为 0 ,解得 = 2 .所以= 2 . 由3= 4 21, 可得3 1= 8 , 由11= 114, 可得1+ 5 = 16 , 联立,解得1= 1, = 3 ,由此可得= 3 2 . 所以,数列 的通项公式为= 3 2 ,数列 的通项公式为=
13、2 . （2）求数列221 的前 项和( ) . 答案设数列221 的前 项和为 ，由2= 6 2,21= 2 41 ,有221= (3 1) 4 ,故 = 2 4 + 5 42+ 8 43+ + (3 1) 4 ， 4= 2 42+ 5 43+ 8 44+ + (3 4) 4+ (3 1) 4+1 ， 上述两式相减,得 3= 2 4 + 3 42+ 3 43+ + 3 4 (3 1) 4+1 = 12(14) 14 4 (3 1) 4+1 = (3 2) 4+1 8 . 得= 32 3 4+1+ 8 3 . 所以,数列221 的前 项和为32 3 4+1+ 8 3 . 方法技巧： 如果数列
14、是一个由等差数列 及等比数列 对应项乊积组成的数列,即= , 则其前 项和 的求解常用错位相减法.破解此类题的关键点： （1）巧分拆,即将数列的通项公式分拆为等差数列与等比数列积的形式,并求出公差和公比. （2）构差式,即写出 的表达式,再乘以公比或除以公比,然后将两式相减. （3）后求和,根据差式的特征准确进行求和. 对点训练对点训练 4. 已知正数等比数列 的前 项和 满足：+2= 1 4 + 3 2 . （1）求数列 的首项1 和公比 ; 答案 +2= 1 4 + 3 2 ， 3= 1 4 1+ 3 2 ,4= 1 4 2+ 3 2 ， 两式相减得:4= 1 4 2， 2= 1 4 ,又
15、 0 ,则 = 1 2 . 又由3= 1 4 1+ 3 2 ， 可知1+ 2+ 3= 1 4 1+ 3 2 ， 1(1+ 1 2 + 1 4 ) = 1 4 1+ 3 2 , 1= 1 . （2）若= ,求数列 的前 项和 . 答案由（1）知= (1 2) 1 . = 21 , = 1 + 2 2 + 3 22 + + 21 ， 1 2 = 1 2 + 2 22 + + 1 21 + 2 . 两式相减得1 2 = 1 + 1 2 + + 1 21 2 = 2 1 21 2 . = 4 +2 21 . 课时作业 一、单项选择题 B A 1. 已知数列 的前 项和为 ，通项公式= (1)+1 ,则
16、17= ( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 解析17= 1 2 + 3 4 + 5 6 + + 15 16 + 17 = 1 + (2 + 3) + (4 + 5) + + (14 + 15) + (16 + 17) = 1 + 1 + 1 + + 1 = 9 . 2. 数列 的通项公式是= 1 + +1 ,若前 项和为 10,则项数 为( ) A. 120 B. 99 C. 11 D. 121 解析= 1 + +1 = +1 ( +1+ )( +1 ) = + 1 ,所以1+ 2+ + = ( 2 1) + ( 3 2) + + ( + 1 ) = + 1 1 = 10 ，即
17、+ 1 = 11 ,所以 + 1 = 121, = 120 . C D 3. 若数列 的通项公式为= 2+ 2 1 ,则数列 的前 项和为( ) A. 2+ 2 1 B. 2+1+ 2 1 C. 2+1+ 2 2 D. 2+ 2 解析= 1+ 2+ 3+ + . = (21+ 2 1 1) + (22+ 2 2 1) + (22+ 2 3 1) + + (2+ 2 1) = (2 + 22+ + 2) + 2(1 + 2 + 3 + + ) = 2(12) 12 + 2 (+1) 2 = 2(2 1) + 2+ = 2+1+ 2 2 . 4. 已知数列 的前 项和为= 1 5 + 9 13 +
18、 17 21 + + (1)1(4 3), 则15+ 22 31 的值 是( ) A. 13 B. 76 C. 46 D. 76 解析因为= 1 5 + 9 13 + 17 21 + + (1)1(4 3) ,所以15= (1 5) + (9 13) + + (49 53) + 57 = (4) 7 + 57 = 29,22= (1 5) + (9 13)+ (17 21) + + (81 85) = 4 11 = 44,31= (1 5) + (9 13) + (17 21) + + (113 117) + 121 = 4 15 + 121 = 61 ，所以15+ 22 31= 29 44
19、61 = 76 . B 5. 已知数列 的通项公式是= 2sin(2+1 2 ) ,则1+ 2+ 3+ + 2 016= ( ) A. 2 0152 016 2 B. 2 0162 017 2 C. 2 0152 015 2 D. 2 0162 016 2 解析= 2sin(2+1 2 ) = 2,为奇数, 2,为偶数, 1+ 2+ 3+ + 2 016= 12+ 22 32+ 42 2 0152+ 2 0162= (22 12 + (42 32 + + (2 0162 2 0152 = 1 + 2 + 3 + 4 + + 2 016 = 2 0162 017 2 . C 解析 1 (+1)2
20、1 = 1 2+2 = 1 (+2) = 1 2 (1 1 +2) , 1 221 + 1 321 + 1 421 + + 1 (+1)21 = 1 2 (1 1 3 + 1 2 1 4 + 1 3 1 5 + + 1 1 +2) = 1 2 (3 2 1 +1 1 +2) = 3 4 1 2 ( 1 +1 + 1 +2) .故选 . 6. 1 221 + 1 321 + 1 421 + + 1 (+1)21 的值为( ) A. +1 2(+2) B. 3 4 +1 2(+2) C. 3 4 1 2 ( 1 +1 + 1 +2) D. 3 2 1 +1 + 1 +2 C 解析因为2 +1 2
21、= 1 + (1 2) , 所以= + 1 1 2 , 所以10+ 1 013 = 11 1 210 + 1 013 = 1 024 1 210 , 又 10+ 1 013 ， 所以整数 的最小值为 1 024. 故选 . 7. 已知 为数列2 +1 2 的前 项和,若 10+ 1 013 恒成立,则整数 的最小值为( ) A. 1 026 B. 1 025 C. 1 024 D. 1 023 8. 定义 1+2+ 为 个正数1,2, 的“均倒数”,若已知数列 的前 项的“均倒数”为 1 5 ,又 = 5 ,则 1 12 + 1 23 + + 1 1011 = ( ) A. 8 17 B. 9
22、 19 C. 10 21 D. 11 23 C 解析由定义可知1+ 2+ + = 52,1+ 2+ + + +1= 5( + 1)2 ，可求得+1= 10 + 5 .所以 = 10 5 ,则= 2 1 .又 1 +1 = 1 2 ( 1 1 +1), 所以 1 12 + 1 23 + + 1 1011 = 1 2 ( 1 1 1 2 + 1 2 1 10 + 1 10 1 11) = 1 2 ( 1 1 1 11) = 10 21 . 二、填空题 9. 若数列 是2,2 + 22,2 + 22+ 23,2 + 22+ 23+ + 2, 则数列 的前 项和 = . 2+2 4 2 解析= 2 +
23、 22+ 23+ + 2= 22+1 12 = 2+1 2, = (22+ 23+ 24+ + 2+1) (2 + 2 + 2 + + 2) = 222+2 12 2 = 2+2 4 2 . 10. 设函数 () = 1 2 + log2 1 ,定义 = (1 ) + ( 2 ) + + ( 1 ), 其中 ,且 2 ,则 = . 1 2 解析因为 () + (1 ) = 1 2 + log2 1 + 1 2 + log2 1 = 1 + log21 = 1 ,所以2= (1 ) + ( 1 ) + (2 ) + (2 ) + + (1 ) + (1 ) = 1 . 所以= 1 2 . 三、解
24、答题 11. 等差数列 中,2= 8,6= 66 . （1）求数列 的通项公式; 答案设等差数列 的公差为 ,则有 2= 1+ = 8, 6= 61+ 15 = 66, 解得1 = 6, = 2 , 所以= 1+ ( 1) = 2 + 4 . （2）设= 2 (+1) ,= 1+ 2+ 3+ + ，求 . 答案因为= 2 (+1) = 1 (+1)(+2) = 1 +1 1 +2 , 所以= 1+ 2+ 3+ + = 1 2 1 3 + 1 3 1 4 + + 1 +1 1 +2 = 1 2 1 +2 = 2+4 . 12. 已知数列 的前 项和= 2+ 2 , . （1）求数列 的通项公式;
25、 答案当 = 1 时,1= 1= 1 ； 当 2 时,= 1= 2+ 2 (1)2+(1) 2 = ,1 也满足= , 故数列 的通项公式为= . （2）设= 2+ (1), 求数列 的前2 项和. 答案由（1）知= ,故= 2+( 1) . 记数列 的前 2 项和为2， 则2(21+ 22+ + 22 + ( 1 + 2 3 + 4 +2) . 记 = 21+ 22+ + 22, =1 + 2 3+ 4 +2, 则 = 2(122) 12 = 22+12, = ( 1 + 2 + ( 3+ 4 + + (2 1 + 2= . 故数列 的前 2 项和2= + = 22+1+ 2 . 13. 数
26、列 的前 项和为, 已知+1= + + 2,1,2,5 成等比数列. （1）求数列 的通项公式. 答案因为+1= + + 2 ，所以+1 = 2 ， 所以数列 是公差为 2 的等差数列, 因为1,2,5 成等比数列,所以2 2 = 1 5 ， 所以(1+ 2)2= 1(1+ 8) ,解得1= 1 . 所以= 1 + 2( 1) = 2 1 . （2）若数列 满足 = ( 2)1+, 求数列 的前 项和 . 答案因为数列 满足 = ( 2)1+ ， 所以= (2 1)( 2)1+(21)= (2 1) 2 . 所以数列 的前 项和 = 2 + 3 22+ 5 23+ + (2 1) 2 ， 所以
27、2= 2 2 + 3 23+ + (2 3) 2+ (2 1) 2+1 ， 所以= 6 + (2 3) 2+1 . 14. 数列 中,1= 3,+1= 2+ 2( ) . （1）求证:+ 2 是等比数列,并求数列 的通项公式; 答案由+1= 2+ 2( ) 得 +1+ 2 = 2(+ 2) ， 1= 3,1+ 2 = 5 ， + 2 是首项为 5,公比为 2 的等比数列, + 2 = 5 21 ， = 5 21 2 . （2）设= +2 ,= 1+ 2+ 3+ + ，证明：对任意 ，都有1 5 4 5 . 答案由（1）可得 = 521 ， = 1 5 (1 + 2 2 + 3 22 + + 21) 1 2 = 1 5 (1 2 + 2 22 + 3 23 + + 2 ) - 可得 = 2 5 (1 + 1 2 + 1 22 + + 1 21 2 ) = 2 5 ( 1 1 2 11 2 2 ) = 2 5 (2 2+ 2 ) . 0 , 数列 单调递增, 1= 1 5 , 对任意 , 都有1 5 4 5 .
